s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

інших випадках, коли враховувати динаміку електронів провідності в металах із несферичними поверхнями Фермі. Тому поверхня Фермі досить часто використовується в сучасній теорії металів.

Відзначимо, що електропровідність твердих тіл є проявом ква- нтово-механічних властивостей квазічастинок. Дійсно, розглянемо електропровідність одновимірного провідника, яка згідно закону Ома дорівнює:

V

де І та V - струм та падіння напруги в одновимірному провіднику. Струм визначається проходженням заряду е крізь його поперечний переріз за одиницю часу, тоді

Якщо вважати, що є час між двома станами розсіяння квазічастинки, а (еV) є невизначеність її енергії, то згідно співвідношення невизначеності (еV) > h, і тому електропровідність буде дорівнювати:

Отже електропровідність є проявом квантомеханічних властивостей заряджених частинок, що підтверджується сучасними експеримен-

тами, а e2 h називається квантовою одиницею електропровідності.

20.10. Особливості власних напівпровідників

Напівпровідники отримали свою назву завдяки тому, що вони займають проміжне положення між металами (провідниками) і діелектриками (ізоляторами), які практично при Т→0 не проводять струму. Чисті вільні від домішкових енергетичних рівнів напівпровідники називаються власними на відміну від домішкових. У власних напівпровідниках між заповненою валентною і не заповненою електронами зоною провідності знаходиться заборонена зона шириною Еg. При Т = 0 К зона провідності вільна від електронів, тому напівпровідник при цій температурі поводить себе як діелектрик. При підвищенні температури частина електронів валентної зони збуджується й переходить до зони провідності. У зоні провідності утворюються квазічастинки - електрони з ефективною масою mе, які беруть участь у формуванні електронної частини електропровідності ( е). У валентній

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

зоні при збудженні електронів утворюються квазічастинки - дірки з ефективною масою mр, які відповідають за діркову частину електропровідності ( р). Повна електропровідність напівпровідника ( ) є сумою її електронної та діркової частин:

де nе та nр - концентрації електронів та дірок, а е та р - їхні рухливості відповідно.

Рухливості електронів та дірок залежать від процесів їхнього розсіяння фононами, іншими електронами, іонізованими домішками, дефектами ґратки, та поверхнею твердого тіла. Вони залежать від природи кристала, його зонної структури, дисперсійна залежність якої враховується ефективними масами квазічастинок домішкового складу, концентрації дефектів та температури, які визначають час релаксації квазічастинок - носіїв заряду ( е,р):

Концентрації електронів та дірок залежать від інтенсивності їхнього збудження. Наприклад, при тепловому збудженні nе та nр сильно залежать від температури. Ця залежність, здебільшого, більш сильна за температурні залежності рухливостей квазічастинок е та р. Тому температурна залежність електропровідності напівпровідників(n) визначається, головним чином, температурними залежностями концентрацій електронів nе(Т) та дірок nр(Т).

Розглянемо теплове збудження квазічастинок у бездомішковому ідеальному власному напівпровіднику. На рис. 20.16 наведені функції енергетичного розподілу густини станів та електронів та дірок у зонах провідності та валентній напівпровідника.

Рис. 20.16. Енергетичний розподіл густин станів (1 і 2) та концентрації електронів та дірок (3 і 4) у зонах провідності та валентній зоні.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Виберемо початок координат для енергії на дні зони провідності, коли Е = Ес. Густина станів у зоні провідності та валентній зоні згідно формули (20.27), мають такий вигляд

Концентрація електронів у зоні провідності з енергіями в інтервалі від Е до Е + dЕ є добутком густини станів при V = 1 та ймовірності їхнього заповнення fе(Е)

Тут - хімічний потенціал (положення рівня Фермі на шкалі енергій у напівпровіднику d = d(U - TS + PV)). При малих ступенях збудження, коли Е - >> kВТ, fс(Е) << 1. Цей випадок називається невиродженим електронним газом. Для нього функція Фермі зводиться до розподілу Больцмана

E

fc E exp . (20.51*)

kBT

Підставимо (20.52) у формулу для концентрації (20.51) і проінтегруємо її по всій зоні провідності від 0 до Ес:

Верхня границя в інтегралі вибрана нескінченною тому, що підінтегральна функція експоненціально затухає. Після підстановки у формулу (20.59) відповідних виразів для густини станів та функції розподілу Больцмана та інтегрування остаточно отримаємо

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

називається ефективним числом станів зони провідності, приведе-

ним до дна цієї зони. Для дірок імовірність мати незайняті стани у валентній зоні має вигляд:

Тоді аналогічно, як і для електронів, знайдемо концентрацію дірок у валентній зоні

ефективне число станів валентної зони, приведене до її стелі.

Власний напівпровідник залишається нейтральним, тому n=р. Умова нейтральності дозволяє знайти вираз для хімічного потенціалу

Відлік енергії йде від дна зони провідності Ес = 0, тому Еv = Еg , де Еg – ширина забороненої зони. При однакових ефективних масах електронів та дірок рівень хімічного потенціалу знаходиться посередині забороненої зони. Підставивши вираз (20.58) для у формулу для концентрації (20.53), отримаємо

Появу в (20.59) замість Eg з’являється Eg/2 можна зрозуміти, коли згадати, що у рівновазі кількість актів іонізації NІ, яка пропорційна exp{-Eg/kBT}, рівна NR - кількості актів рекомбінації

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

електронів і дірок. NR np=n2. В рівноважних умовах NR=NІ,

звідки n (NR)1/2 exp{-Eg/2kBT}.

Аналогічний вираз легко отримати й для концентрації дірок у валентній зоні (р):

Індекс "і" означає приналежність власному напівпровіднику.

20.11.Домішкові напівпровідники

Уреальних напівпровідниках завжди присутні домішкові атоми, концентрація яких залежить від ступеня їх чистоти. Вони ство-

рюють у напівпровідниках локальні домішкові енергетичні рівні, які можуть знаходитись у забороненій зоні. В залежності від природи домішкових атомів, їх концентрації і інтенсивності збудження, наприклад теплового, суттєво залежать властивості напівпровідників: знак носіїв заряду, їх концентрація і рухливість. Домішки поділяються на дві групи: донорні і акцепторні.

Донорні домішки створюють донорні локальні центри у верхній половині забороненої зони, що знаходиться біля дна зони провід-

Рис.20.17. Схема локалізації домішок донорних (а) та акцепторних (б) у кристалі Si та енергетичні схеми (в) донорного і (г) акцепторного напівпровідників.

ності (рис.20.17). Вони здатні при іонізації передавати сої електрони у зону провідності, що призводить до збільшення концентрації квазіча-

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

стинок – електронів у зоні провідності. Тому напівпровідники з донорними домішками називаються донорними, електронними або n- типу напівпровідниками. Типовим прикладом донорних рівнів у кристалі Si є атоми As, які заміщують деякі атоми Si. Із п’яти валентних орбіталей As перекриваються з 4-ма орбіталями сусідніх атомів кристалу Si (рис.20.17.а), а електрон п’ятої орбіталі As може збуджуватись

узону провідності, внаслідок чого утворюється іон As+. При цьому, як видно з рис.20.17, витрачається менша енергія по зрівнянні зі збудженням електрона із валентної зони, бо Еd<Eg.

Акцепторні домішки створюють акцепторні локальні центри

унижній половині забороненої зони, що знаходиться ближче до стелі валентної зони (рис.20.17). На відміну від донорних домішок вони здатні приєднувати до себе від’ємно заряджені електрони із валентної зони, утворюючи від’ємно заряджені іони й дірки у валентні зоні. Прикладом акцепторних домішок у кристалі Si є домішки атомів бору, який заміщує атоми кристалу Si (рис.20.17).

Розглянемо на прикладі донорних домішок вплив температури на концентрацію носіїв. При низьких температурах основним джерелом електронів провідності будуть донорні домішки, а не валентна зона, бо Ed<Eg. Наявність домішок суттєво впливає на концентрацію носіїв та електропровідність напівпровідника. Зокрема, для донорного напівпровідника з концентрацією донорів Nd на глибині – Еd від дна зони провідності кількість іонізованих донорів, при умові Nd+ < Nd, дорівнює

де g - фактор виродження, який залежить від природи домішкового центру, наприклад, для мілких донорів g = 1/2. З умови нейтральності n =Nd+

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Видно, що рівень знаходиться між дном зони провідності й рівнем донорних домішок. Підставивши цей вираз для у (20.62), знайдемо концентрацію електронів у зоні провідності донорного напівпровідника

При збільшенні температур домішки виснажуються, і тому подальша температурна залежність буде визначатися збудженням електронів із валентної зони в зону провідності, тобто температурна залежність при високих температурах буде визначатися не енергією активації Еd а енергією активації Еg. Температурна залежність електропровідності в широкому інтервалі температур матиме такий вигляд, як показано на схематичному рис.20.18. При низьких температурах (область1) рівень хімічного потенціалу знаходиться між дном зони

ln

3

2

1

1/T

Рис. 20.18. Залежність T напівпровідника р-типу: 1- домішкова,

2 - насичення, 3 – власна (збудження носіїв із валентної зони).

провідності й рівнем домішкових центрів. Нахил цієї залежності в напівлогарифмічному масштабі становить Еd/2, тому що концентрація електронів у зоні провідності утворюється іонізацією донорних домішок. При збільшенні температури, коли домішки стають іонізованими й n = Nd, утворюється 2-га область, яка називається областю насичення. У цій області електропровідність слабо залежить від температури. При ще більших температурах починається збудження носіїв із валентної зони. Рівень хімічного потенціалу опускається нижче рівня домішок, і температурна залежність електропровідності визначається, головним чином, енергією активації , що дорівнює половині ширини забороненої зони як для власного напівпровідника (формула (20.64)). Аналогічні залежності можна отримати й для напівпровідників р-типу з акцепторними домішками.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

20.12. p-n переходи

На границі розділу напівпровідників n та р типів внаслідок впливу контактної різниці потенціалу eVK e p n виникає р-n

перехід. Електрони з напівпровідника n-типу будуть дифундувати до напівпровідника р-типу, а дірки з напівпровідника р-типу до напівпровідника n-типу до тих пір, поки на границі розділу не виникне електричне поле просторового заряду, яке гальмуватиме подальший перехід електронів та дірок. У рівновазі рівні хімічних потенціалів двох напівпровідників вирівняються (d n = d р). Виникне контактне електричне поле р-n переходу, при якому крізь перехід не проходитиме сумарний струм (рис.20.20).

Напруга на переході залежно від знака або буде збільшувати

eVK e p n

Рис. 20.20. Енергетичні схеми напівпровідників n- та р-типів (а), n–р перехід при V=0 (б), при прямому зміщенні V 0 (в) та його

I(V) характеристика.

поле на переході (запірна напруга), або буде зменшувати це поле (прохідна напруга). При запірних напругах крізь перехід можуть іти електронні струми, утворені неосновними носіями в областях р- та n- типів. При прямих зміщеннях крізь перехід ідуть струми основних носіїв. Тому такий перехід має нелінійну вольт-амперну характеристику, яка широко використовується для створення напівпровідникових діодів. Із двох р-n переходів будують транзистори та інші напівпровідникові прилади та різноманітні електронні системи.

Коли розміри зразків стають сумірними або меншими за довжину електронної хвилі де Бройля, то зони розбиваються на окремі розмірні підзони як в обмеженому потенціальному бар’єрі (див. (7.16)), що змінює властивості речовини. Ці ефекти називаються ква-

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

нтовими розмірними ефектами. Вони почали широко використо-

вуватися у сучасній наноелектроніці.

20.13.Магнітні властивості твердих тіл

Углаві 17 було показано, що сукупності атомів з магнітними моментами j 0 мають парамагнітні властивості. Їх магнітна сприятливість визначається орієнтацією атомних магнітних моментів. А сукупність атомів, які мають наведений магнітний момент, мають ві- д'ємну магнітну сприятливість, притаманну діамагнетикам. Діамагнетизм чітко спостерігається, коли парамагнітними властивостями сукупності можна знехтувати. Парамагнетизм і діамагнетизм проявляються в присутності магнітного поля.

Проте є клас твердих тіл - феромагнетиків, які мають значний спонтанний магнітний момент навіть у відсутності магнітного поля.

Вони мають такі властивості

значну спонтанну намагніченість М0, тобто вони намагнічені навіть у відсутності магнітного поля (таблиця 20.1)

нелінійну залежність магнітного моменту одиниці об'єму М від напруженості магнітного поля Н, або В від Н, тобто магнітна про-

никність нелінійно залежить від Н (рис.20.21) і має великі максимальні значення, наприклад, у заліза m 5000 350 000

неоднозначні залежності В(Н) і М(Н), які називається магнітним гістерезисом (рис.20.21);

-H C H C H

H H H

Рис. 20.21. Залежності: 1 – М(H), 2) - B(H), 3) - (H) і 4) – B(H) - петля гіс-

терезису.

коерцитивна сила - магнітне поле НС, необхідне для перемагнічування речовини

скінченний інтервал температур, в якому виявляється феромагнетизм. При температурах більших за температуру Кюрі (Т ТС) феромагнетики стають парамагнетиками, і їхня магнітна сприятли-

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Феромагнетизм притаманний лише конденсованому стану речовини. Сукупність вільних атомів феромагнетиків не мають феромагнітних властивостей. Їхні атомні магнітні моменти майже не відрізняються від магнітних моментів інших атомів. Значні спонтанні магнітні моменти одиниці об’єму конденсованих фаз феромагнетиків свідчать, що в них існують внутрішні взаємодії, внаслідок чого виникають внутрішні поля, які спричиняють появу спонтанних магнітних моментів. Внутрішнє поле Hі можна оцінити за температурою Кюрі, за якою магнітна енергія дорівнює тепловій енергії

gS 0Hі kBTс, , (20.65)

де g - гіромагнітний фактор, S =1, 0 - магнетон Бора, Tc - температура Кюрі. Для Fe Тс = 1000 К, g = 2 внутрішнє поле досить значне Hі 5 106 е = 4 108 А/м, появу якого не вдається пояснити в межах класичної фізики.

20.14. Обмінний гамільтоніан Гeйзенберга. Спонтанна намагніченість, феромагнетизм та антиферомагнетизм

Гейзенберг показав, що сильна взаємодія магнітних моментів у феромагнетиках виникає через електростатичну обмінну взаємодію.

Обмінна енергія двох атомів i i j зі спіновими моментами Si i S j за-

лежить від обмінного інтегралу J

який, як і в (18.10*) для двох електронів має вигляд