s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

зщеплення енергетичних рівнів, на яких знаходяться валентні електрони, називається валентною зоною.

Якщо б електрони не підлягали принципу Паулі, то не виникало б різниці між металами й діелектриками. Принцип Паулі обмежує заповнення енергетичних рівнів і зон електронами, і тим самим створює різницю в заповненні енергетичних зон металів і діелектриків: метали мають напівзаповнені зони, а діелектрики - заповнені та не заповнені зони, розділені енергетичним інтервалом (Еg), який називається забороненою зоною. У заборонену зону не потрапляє жодна з гілок енергетичного спектра квазічастинок Е(k).

У залежності від заповнення валентної зони тверді тіла мають

Рис. 20.9. Заповнення зон металів (Na i Be), діелектриків (C-алмаз) і напівпровідників (Si). Еg – заборонена зона, EF – рівень Фермі.

різні електричні властивості. Тверді тіла поділяються на дві великих групи металів і діелектриків. У металах валентна зона не повністю заповнена електронами або вона перекривається з іншою не заповненою зоною (рис.20.7, 20.8 і 20.9). Її заповнення електронами має місце при нульовій температурі (Т = 0 К) до енергії, котра називається енергією або енергетичним рівнем Фермі (ЕF). У діелектриках між повністю заповненою валентною зоною й не заповненою зоною знаходиться заборонена зона (Еg). Найближча до валентної зони не заповнена зона називається зоною провідності. Метали проводять електричний струм, а діелектрики не проводять. Між цими двома групами речовин виділяють широкий клас речовин із менш широкою забороненою зоною, які називаються напівпровідниками. При низьких температурах вони схожі на діелектрики, а при підвищених температурах частина електронів із валентної зони збуджуються в зону провідності, внаслідок чого вони проводять струм. Стає зрозуміло, що поділ речовин на діелектрики й напівпровідники досить умовний.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

20.6. Густина станів

Кожна зона має свій енергетичний спектр - залежність енергії квазічастинок від квазіімпульсу Е(р) = Е( k), яку також називають дисперсійною залежністю. Дисперсійна залежність визначає таку важливу характеристику твердих тіл як густина станів g(Е). Густиною станів називається кількість можливих фізично нееквівалентних енергетичних станів у малому інтервалі енергій Е у одиниці об’єму, віднесеному до ширини інтервалу Е:

де Г - кількість станів з енергіями в інтервалі від Е до Е + Е з урахуванням виродження 2s+1, де s - спін частинки в одиницях (для електронів s = ½, тому 2s+1=2).

Так як квазічастинки підлягають законам квантової механіки, то відповідно до співвідношення невизначеності вони займають у фазовому просторі {рх,ру,рz,х,у,z} скінченний об’єм:

де V - об’єм, у якому квазічастинка вільно рухається. Для визначенняГ у формулі (20.23) потрібно знайти кількість елементарних фазових комірок в інтервалі квазіімпульсів від р до р +dр і помножити їх на (2s+1) - кількість спінових станів квазічастинки в елементарній фазовій комірці.

Виберемо у фазовому просторі дві ізоенергетичні поверхні - поверхні з Е = сonst, які відрізняються за енергією на величину Е. Виберемо на одній з ізоенергетичних поверхонь малу площу dS. Об’єм, обмежений dS і цими поверхнями, визначиться інтегралом:

dS

, (20.25)

p E p

де p E p - найкоротша відстань між двома ізоенергетичними по-

верхнями. Якщо цей об'єм поділити на об'єм елементарної комірки у фазовому просторі Vр (формула (20.24)) і помножити на виродження

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

- можливу кількість спінових станів у комірці (2s+1), то отримаємо густину станів, віднесену до одиниці об’єму

Формула (20.26) показує, що густина станів залежить від дисперсії

Е(р).

Для майже вільних станів квазічастинок – електронів має місце квадратичний закон дисперсії Е(p)=р2/2m, для якого

p E p pm , а dS у сферичній системі координат дорівнює

dS=р2sin d d . Після інтегрування по d від 0 до 2 та по d від 0 до остаточно отримаємо таку формулу для густини станів:

Для металів густина станів у наближенні квазівільних електронів залежить від їхньої енергії за формулою (20.27). Ці стани заповнюються електронами при Т = 0 К до енергії Фермі, як це показано на рис.20.10. Інтеграл густини станів по всім енергіям від 0 до енергії Фермі дає N - повну кількість електронів у металі, що дозволяє зв’язати N з енергією Фермі ЕF

Рис. 20.10. Залежності g(E)f(E) у металі в наближенні квазівільних електронів: а) Т = 0, б) Т 0; g(E) – густина станів, f(E) - функція Фермі.

Енергетичний розподіл електронів у твердих тілах можна досліджувати за допомогою вимірювання тонкої протяжної структури країв рен-

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

тгенівських спектрів поглинання (§14.2), а також рентгенівських спектрів випромінювання. На рис.20.10.б зображена схема енергетичних рівнів у кристалі натрію. Стрілками на ньому позначені можливі електронні переходи з К рівня на вільні, не заповнені електронами рівні, які знаходяться вище рівня Фермі.

Розподіл інтенсивності рентгенівських спектрів, які утворюються цими переходами, пропорційний густині не заповнених електронних станів. Приклад такого розподілу показаний на рис.20.11.а.

Рис. 20.11. Рентгенівський спектр випромінювання Na (а) та його енергетичні рівні (б).

Видно, що поблизу енергії Фермі розподіл електронів у зоні провідності зростає приблизно пропорційно Е1/2, як і для випадку вільних частинок, але на дні зони провідності при малих Е спостерігаються відхилення.

20.7. Динаміка електронів, ефективна маса, електрони та дірки

Динаміка вивчає рух частинок або квазічастинок з урахуванням дискретної структури кристалів. У відсутності зовнішнього поля електрони (квазічастинки) в ідеальному кристалі з будь-якими хвильовими векторами k (або квазіімпульсами р = k) знаходяться в стаціонарних станах. Зовнішнє електричне поле Е змінює квазіімпульс електрона k=р, а це змінює його групову швидкість vгр

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

де m* - ефективна маса електрона, а F = еЕ - сила, що діє на електрон. Групова швидкість залежить від закону дисперсії Е(k)5.

Комбінуючи (20.23) і (20.24), отримаємо

де d ( k)dt dpdt F . Поділивши праву та ліву частини (20.32) на

F, остаточно отримаємо:

Отже, ми отримали, що електрон під дією зовнішньої сили рухається в періодичному полі кристала, як вільний електрон з ефективною масою m*. Ефективна маса - це параметр, який враховує особливості руху квазічастинки - електрона в кристалі. Вона залежить від дисперсії Е(k) і може суттєво відрізнятись від маси вільного електрона. Вона навіть може змінювати свій знак і бути від'ємною. На границях зон похідна dE/dk|гр = 0 , і закон дисперсії Е(k) наближається до квадратичного закону Е = Е0 + А k2 = Е0 + А( k)2, де Е0 - енергія квазічастинок на границі зони. Це означає, що на границях зон, де мають місце екстремуми дисперсійної залежності, дисперсійна залежність наближено може бути апроксимована квадратичним законом дисперсії, притаманним вільним квазічастинкам, але з ефективною масою m* відмінною від ефективної маси вільної частинки. Знак ефективної маси визначається знаком множника А у виразі для наближеного квадратичного закону дисперсії. Ефективна маса в цьому випадку враховує особливості зонної будови твердого тіла.

Скористаємося законом дисперсії моделі Кроніга-Пені (рис.20.12) і згадаємо, що квазіімпульс визначається з точністю до 2 /а, тобто k = k' + 2 /а. Тому, крім розширених зон Е(k), у яких різні енергетичні зони зміщені в різні зони Бріллюена, використовують ще й так званні приведені зони, у яких усі енергетичні зони розміщені в 1-й зоні Бріллюена. Крім розширених і приведених зон на рис.20.12

5Хвильова функція в кристалі це функція Блоха, яку, згідно (20.3), рівна

u(r) exp ikr exp iEt , тоді vгр 1 d dk 1 dEdk .

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

наведена ще й періодична зонна структура, у якій кожна енергетична зона повторюється у всіх зонах Бріллюена.

Рис. 20.12. Спектр електронів Е(k) у моделі Кроніга – Пені: а) – дисперсія, б) - приведені зони, в) – періодична зонна схема. 1-ша, 2-га і 3-тя заборонені та дозволені зони.

При побудові приведених зон ділянки дисперсійної кривої переносяться вздовж осі k на величину n2 /а в область першої зони Бріллюена, де 0 < |k| < /а. Наприклад, рис.20.12.б Е(k) в 2-й зоні Бріллюена зміщена на 2 /а по осі k, а в 3 - й зоні на 3 /k. Нехай 1- ша й 2-га дозволені зони заповнені, а 3-тя дозволена зона незаповнена. Тоді 2-га зона буде валентною, 3-тя зона зоною провідності. Видно, що на дні зони провідності залежність Е(k) має мінімум, тому

d 2 Edk2 k 0 0 і ефективна маса на дні цієї зони буде позитивною

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

(m* 0). Залежність Е(k) біля стелі заповненої валентної зони прохо-

дить через максимум, тому d 2 Edk2 k 0 0 і ефективна маса біля

стелі цієї зони буде негативною (m* 0) (рис.20.13). Від'ємна ефективна маса означає, що квазічастинка рухається в електричному полі, як позитивно заряджена частинка.

Рис.20. 13. Найпростіша дисперсійна крива (а) та залежність ефективної маси носіїв заряду від хвильового вектора (б) біля країв зони Бріллюена.

Квазічастинка з від'ємною ефективною масою називається діркою.

Вона розглядається, як квазічастинка з m* 0 і позитивним зарядом q = +е = 4,8 10-10 CGSE. Квазічастинка з позитивною ефективною масою m* 0 і негативним зарядом q = - е = - 4,8·10-10 CGSE назива-

ється електроном.

Величина ефективної маси квазічастинок вимірюється за допомогою циклотронного резонансу (§16.7), бо його циклотронна час-

тота залежить від ефективної маси m* ( ц = еB /сm*). Вона залежить ще й від напрямку в кристалі, бо m* це тензор, тому що ізоенергетичні поверхні в тривимірному кристалі можуть мати складну форму.

20.8. Ефект Холла

Безпосередній експериментальний доказ існування квазічастинок із від'ємною ефективною масою - дірок (або квазічастинок із позитивною ефективною масою, але додатнім зарядом) дає ефект Холла. В ефекті Холла вимірюється різниця потенціалів Vхол, що виникає в провіднику зі струмом у перпендикулярному до напрямку проходження струму магнітному полі B. На рис 20.13 зображена схема для

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Рис. 20.14. Схема вимірювання ефекту Холла (а), дія магнітного поля на дірки (б) та на електрони (в).

вимірювання ефекту Холла. Нехай струм густиною j, що тече вздовж осі х провідника, створюється рухом позитивних зарядів (рис.20.11.б). Сила Лоренца F = evB/c, що виникає під дією магнітного поля Bу , відхиляє позитивні заряди до нижньої поверхні зразка. Виникає електричне поле Еz 0, що називається полем Холла, яке в рівноважних умовах компенсує дію сили Лоренца (відхиляючий вплив магнітного поля)

де I - струм, Rхол - опір Холла, b - розмір провідника в напрямку вздовж магнітного поля, а d - товщина зразка. Отже, з (20.35) бачимо:

знак напруги Холла визначається за даними умовами досліду знаком носіїв струму, а величина опору Холла дозволяє визначити концентрацію цих носів. Досліди показали, що є такі речовини, у яких струм створюють дірки (позитивні заряди). Якщо в проходженні струму беруть участь одночасно електрони та дірки, то ефект Холла стає більш складним, і може навіть дорівнювати нулеві за умовою, що ne = np.

20.9. Електропровідність металів

Під дією електричного поля Е в металі протікає електричний струм. У його утворенні беруть участь електрони провідності. Вони прискорюються електричним полем і переходять на вакантні місця, звільнюючи при цьому свої попередні місця для нових вакансій, які

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

заповнюються іншими електронами й так далі. В ідеальному кристалі з абсолютною періодичною ґраткою при нульовій абсолютній температурі (Т = 0 К) електрони не розсіюються, тобто вони мають нескінченну довжину вільного пробігу. Їхня функція Блоха буде біжучою хвилею, модульованою з періодом, що збігається з періодом кристалічної ґратки. Вона розповсюджується в кристалі без затухання. Досліди показали, що в бездомішкових кристалах металів при Т 0 К опір прямує до нуля.

У реальних кристалах електричне поле прискорює електрони лише протягом середнього часу їхнього життя між двома послідовними актами розсіяння ( ). Після великої кількості актів прискорення та розсіяння встановлюється середній імпульс або середня дрейфова швидкість у напрямку електричного поля Е, що прискорює

де е - елементарний заряд, m* - ефективна маса квазічастинки. Дрейфова швидкість визначає густину електричного струму (j), що протікає в провіднику під дією електричного поля

тобто має місце закон Ома j= Е, де - питома електропровідність. Вона залежить від дрейфової швидкості в одиничному полі = vdr/Е, яку прийнято називати рухливістю квазічастинок, та n - концентрації вільних, здатних рухатися квазічастинок (електронів) у не заповненій або частково заповненій зоні

визначається процесами розсіяння ( ) та зонною структурою m*. Оцінка за допомогою (20.39) швидкості електронів у полі E = 1 [В\см]

дає vdr 1,6 104 смс , тобто квазічастинка – електрон дуже повіль-

но, як „черепаха”, дрейфує в металі. Аналіз формул (20.38) показує, що концентрація електронів у металах слабко залежить від температури, і тому температурна залежність електропровідності визначається, головним чином, температурної зміною рухливості. Рухливість залежить від процесів розсіяння електронів, які змінюються зі зміною

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

температури. Дійсно, у вираз для рухливості (20.39) входить час релаксації , зв’язаний з довжиною вільного пробігу та середньою швид-

кістю носіїв заряду vF . У металі електронний газ вироджений,

тому в знаменнику стоїть vdr vF , де vF - швидкість носіїв із енергі-

єю Фермі. При високих температурах розсіяння носіїв відбувається, головним чином, на фононах – квазічастинках, які зіставляються з хвилями зміщення атомів (іонів) ґратки із рівноважних положень. Рух атомів у кришталевій ґратці в нормальних координатах можна звести до коливань гармонічного осцилятора, енергія кожного з яких має

дискретні значення E n 1/ 2 , де - частота нормальних коли-

вань. Отже, моди коливань можуть змінюватись лише порціями , які називаються фононами. Енергія коливань кристала приблизно рівна сумі енергій фононів, бо не прийнято включати енергію нульових

коливань ґратки 2 . Залежність числа теплових фононів з енергі-

де pF і EF – імпульс і енергія Фермі відповідно.

Згідно формули (20.28), концентрація електронів n залежить від енергії Фермі

Після підстановки цього виразу для n у формулу для із урахуванням (20.41) отримаємо

Формула (20.42) показує, що перенесення електронів у металах здійснюється квазічастинками - електронами, що знаходяться на ізоенергетичній поверхні Фермі. Вона була доведена у випадку сферичної поверхні Фермі, але виявляється, що вона має такий самий вигляд і в