s5_atomfiz_exam_nah_book

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Функція (20.3) називається функцією Блоха, а u(r ) - її амплі-

тудою, модуль квадрата якої u(r ) u(r ) характеризує густину ймо-

вірності знаходження електрона в точці кристала з координатами r . Таким чином, амплітуда функції Блоха описує квазічастинку - електрон, який належить усьому кристалу. Оскільки вона періодична (20.4), то її обчислюють у межах однієї елементарної комірки кристалу. А для визначення хвильової функції всього кристала u(r ) її потрі-

бно помножити на фазовий множник C(a) exp ik r . Функція

де k - хвильовий вектор, що визначає імпульс p і енергію Е електро-

на відповідно

k p

(20.13)

E p2 2m 2k2 2m

Тому вектор k функції Блоха називається хвильовим вектором квазічастинки-електрона в кристалі. Він визначає квазіімпульс електрона в кристалі. На відміну від імпульсу вільного електрона квазіімпульс електрона в кристалі визначається неоднозначно. Стани

кристалі визначає фазу хвильової функції. Коли k - дійсна величина, то функція Блоха (20.3) буде хвилею, що біжить (біжуча хвиля), модульованою з періодом, що збігається з періодом ґратки. Вона розпо-

всюджується в кристалі без затухання. Густина ймовірності 2 , щоб

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

знайти електрон, має однакову величину в кожній комірці кристала.

Отже, поки зберігається ідеальна періодичність, колективізований електрон не розсіюється й має нескінченну довжину вільного пробігу в кристалі. Розсіяння відбувається, коли електрон зіштовхується з дефектами ґратки, поверхнею кристала та фононами. Коли хвильовий

вектор уявний k ik , то хвильова функція необмежено затухає для

Це означає, що квазічастинка – електрон, що має уявне значення хвильового числа k, не може розповсюджуватись у цьому напрямку кристала. Для уявних k - це заборонені області енергій для руху колективізованих електронів. Таким чином, система енергетичних рівнів у кристалі розбивається на дозволені й заборонені зони енергетичних рівнів.

БЛОХ ФЕЛІКС (1905-1963)

Американський фізик.

У 1924 поступив до Технологічного інституту у Цюріху, вчився у П.Дебая та Е.Шредінґера, слухав лекції В.Гейзенберга. У 1928 захистив докторську дисертацію, у якій запропонував для опису руху електрона в полі кристалічної ґратки хвильову функцію (функція Блоха).

Блох вніс значний вклад у самі різні області фізики. Вчений теоретично обґрунтував закон, про залежність провідності металів від температури (співвідношення Блоха -Грюнейзена); за-

ймався надпровідністю (теорема Блоха), сформулював закон залежності намагніченості феромагнетиків від температури (закон Блоха); у 1928 разом із Л.Бріллюеном створив основи зонної теорії твердих тіл; у 1932, розвивши роботи Бете та Бора, одержав формулу, що описує гальмування заряджених частинок у конденсованих середовищах.

В 1936 став професором Стенфордського університету. Займався квантовою теорією електромагнітного поля, з 1936 теоретичним і експериментальним вивченням нейтрона. У 1939 р. разом із Л.Альваресом виміряв його магнітний момент. У 1946 р. запропонував високоточний метод вимірювання магнітного моменту ядра, заснований на новому принципі, який він назвав «ядерною індукцією» і який носить зараз назву ядерного магнітного резонансу (ЯМР). Незалежно від Блоха ЯМР відкрив Е.Парселл, і в 1952 Блоху та Парселлу була присуджена Нобелівська премія з фізики «за розвиток нових методів для точних ядерних магнітних вимірювань і пов’язані з цим відкриття». У 1952-1954 Блох був генеральним директором ЦЕРНа (Європейського центра ядерних досліджень у Женеві), був членом Національної академії наук США, Американської академії наук і мистецтв, Швейцарської академії природничих наук. Більшість відкриттів Блоха після 1946 р. пов’язані з застосуванням ядерної індукції.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

20.3. Модель Кроніга – Пені

Вплив періодичного потенціалу на енергетичний спектр розглянемо за допомогою одновимірного потенціалу у вигляді системи прямокутних потенціальних бар'єрів, які зображені на рис.20.2.

Рис.20.2. Періодичний потенціал моделі Кроніна-Пені.

Стаціонарні стани електрона з енергіями меншими висоти ба- р'єра (Е U0) описуються рівнянням Шредінґера

Функції u1(x) і u2(x) та їхні похідні повинні бути неперервними в місцях змін потенціалу, тобто в точках х = 0 і х = - b

Після підстановки u1(x) і u2(x) з (20.18) у (20.19), отримаємо 4 рівняння для довільних сталих А, В, С і D. Ця система рівнянь має не нульове рішення, коли її детермінант рівний нулю. Після алгебраїчних перетворень отримаємо рівняння, з якого визначимо закон дисперсії – залежність Е(k):

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Рис.20.3. Залежність правої частини рівняння (20.20) від а (a) та дозволені (заштриховані I,II,III,IV) й заборонені зони (б).

Для вузьких (b і високих бар'єрів U0 , коли U0·b залишається скінченим, закон дисперсії (20.20*) спрощується й набуває вигляду

де визначається за формулою (20.17). Трансцендентне рівняння (20.17) можна розв'язати графічно. На рис.20.3 наведена права час-

Його ліва частина – Ф( a) = сos(ka) не може бути більшою . Тому,

розбиваються на області дійсних і уявних значень хвильового вектора

k , тобто енергетичний спектр електронів розбивається на дозволені

зони (заштриховані I,II,III,IV), де k - дійсний, і заборонені зони, де k - уявний.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Рис. 20.4. Енергетичний спектр електронів Е(k) у моделі Кроніга – Пені (розширені зони) для одновимірного кристала (а) та дозволені й заборонені зони (б).

На рис. 20.4 наведена дисперсійна залежність Е( k ), отримана в цій

моделі. В її точках k = n a, де n - цілі числа, виникає розрив енергії, що вказує на появу заборонених зон.

Цей факт свідчить, як буде показано в наступному розділі, що

розриви залежності Е( k ) в точках k = n a, внаслідок чого з’являються зони, зв'язані із хвильовими властивостями електронів. За цих умов відбувається відбиття квазічастинкових - електронних хвиль через дифракцію на періодичній структурі потенціального ба- р'єра. Ширини заборонених зон (Еg) зменшуються, а дозволених збі-

льшуються для зон із більшими Е і k відповідно. У межах дозволеної

зони дисперсійна крива Е( k ) неперервна, але вона відрізняється від дисперсійної кривої Е(k) = 2k2/2m вільного електрона. При збільшенні висоти бар'єрів (U0) ширини дозволених зон зменшуються, і їх сукупність збігається із дискретними енергетичними рівнями для окремих потенціальних ям.

20.4. Зони Бріллюена

Розриви енергетичного спектра, що призводить до утворення заборонених зон, мають місце при умові

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

гр a

де n - ціле число. Підставимо у (20.21) значення k через довжину хвилі де Бройля (k = 2 / ). Тоді умова розриву зон стає подібною до формули Вульфа - Брегга для одновимірної ґратки (2а·sin = n при = /2 має вигляд 2а = n )

Отже, розрив зон виникає, коли замість біжучої електронної хвилі виникає стояча хвиля внаслідок дифракції Брегга на періодичній структурі кристалу. Електрон із хвильовим вектором k = n a знаходиться значний час біля атомних залишків або знаходиться в просторі між ними. Області значень хвильових векторів k квазічастинокелектронів (рис.20.5.а), у межах яких енергія електрона змінюється майже неперервно, а на її границях відбувається розрив, називаються

Рис. 20.5. Перші зони Бріллюена кристалів: а) – одновимірного, б) – квадратного, в) – кубічного.

зонами Бріллюена3. Для одновимірної ґратки (рис.20.5) перша зона Бріллюена знаходиться при - /а k /а, друга - при -2 /а k -/а і /а k 2 /а і т. д. Усі зони Бріллюена для одновимірної ґратки мають однакову протяжність, що дорівнює 2 /а. Вони можуть бути побудовані не тільки для одновимірної ґратки, але й для двовимірних і тривимірних ґраток, і мають у цьому випадку також рівні площі, або об'єми для всіх зон Бріллюена (рис.20.5). Для трьохвимірних кристалів границі зон Бріллюена – це замкнені багатогранні поверхні, що знаходяться одна в іншій.

3 Бріллюен Леон (1889-1969) – французький фізик. Наукові праці присвячені квантовій механіці, радіофізиці, фізиці твердого тіла, кібернетиці, філософським проблемам науки.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

На рис.20.6 наведені контури дисперсійних залежностей Е(kx,ky) для 1-ї та 2-ї зон Бріллюена для квадратної ґратки. При k 0

E kx ,ky наближається до квадратичного закона дисперсії, тобто ко-

нтури E kx ,ky стають коловими. Але біля границь зони Бріллюена залежності E kx ,ky стають більш складними і мають розрив, який

відповідає забороненій зоні. Картина повторюється і в 2-й і ще більш високих зонах Бріллюена.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

Рис.20.6. Перша та друга зони Бріллюена квадратної ґратки: а) – діелектрика, б) – одновалентного металу з незаповненою електронами 1-ю зоною, в) – двохвалентного металу, г) – ділянка залежності Е(kX). Лініями наведені контури станів з сталою енергією в еВ.

Коли електронні стани в 1-й зоні Бріллюена заповнюються електронами (рис.20.6.а), то внаслідок розриву енергії на границі зони електрони при низьких температурах не зможуть переходити на незаповнені рівні 2-ї зони. Цей випадок характерний для діелектриків. Коли 1-ша зона Бріллюена наполовину заповнена електронами (рис.20.6.бв) або перекривається з 2-ю не заповненою зоною (рис.29.6.в), то цей випадок характерний для металів. Контур

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

E kx ,ky , що розділяє заповнені і незаповнені стани відповідає рівню

Фермі.

Крім розширеної схеми зон (рис.20.4) використовують схему приведених зон. Виявляється, що хвильова функція (20.18) і функція

Блоха (20.12) періодично змінюються з періодом k k n 2 a . Ця обставина дозволяє переносити ділянки дисперсійної залежності Е(k)

на величину n 2 a до області значень квазіімпульсу першої зони Бріллюена, тобто до області значень 0 k a . Схема приведених зон наведена на рис. 20.12.

20.5. Заповнення зон електронами

Вже вказувалось, що внаслідок взаємодії N атомів кожний їхній енергетичний рівень розщеплюється на N близьких підрівнів.4 На ко-

Рис. 20.7. Енергетичні зони Na залежно від r - міжатомної відстані. Зона 1s розташована при – 63,4 еВ.

4 Розщеплення рівнів є квантомеханічним явищем. Його виникнення можна зрозуміти, якщо розглянути два зв'язаних осцилятори з однаковими власними частотами 0. Під дією зв'язку (взаємодії) в системі зв'язаних осциляторів утворюються коливання з частотами 0 + і 0 - , де характеризує зв'язок.

Глава 20. Квантові властивості твердих тіл

жному із підрівнів, згідно принципу Паулі, може знаходитись не більше двох електронів з протилежними спінами.

Таким чином, кожний енергетичний рівень ізольованого атома перетворюється на зону енергетичних рівнів кристала. Відстані між енергетичними рівнями в межах однієї зони значно менші відстаней між енергетичними рівнями різних зон (рис.20.7-20.9), хоча іноді різні зони перекриваються.

На кожному енергетичному рівні атома може знаходитись лише скінчена кількість електронів, яка визначається його квантовими числами. Наприклад, на s - рівні може знаходитись 2 електрона, на р - рівні 6 електронів, на d - рівні - 10 електронів і т. д. Тому в зонах, що походять від різних атомних рівнів, може знаходитись лише скінчена кількість електронів 2N в s - зоні, 6N в р - зоні тощо. Окремі атомні рівні не завжди повністю заповнені, що створює умови для появи не повністю заповнених зон у кристалах (рис.20.7-20.9).

Рис. 20.8. Утворення енергетичних зон при стисненні атомів Li 1s22s1, Be 1s22s2, С 1s22s22p2 (алмаз) і NaCl (Na 1s22s22p63s1 i Cl 1s22s22p63s23p5).

У Li один валентний електрон 2s1 утворює напівзаповнену зону, у Ве заповнена зона від 2s2 електронів перекривається з не заповненою зоною від 2р електронів, тому Li і Be – метали. У С між зонами від 2s і 2р електронів утворюється широка заборонена зона, у NaCl 3s електрон Na переходить у 3р зону Cl, і між зонами виникає широка заборо-

нена зона, тому С і NaCl – діелектрики.

Тому в кристалах можуть утворюватись заповнені, частково заповнені й не заповнені зони. Зона, що утворюється в результаті ро-