Zhilin_Fundamental_Laws_Book

сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс и имеющая массу, равную массе всей системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

Аналогичные представления имеются для количества движения и кинетического момента тела A

Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Если тело A рассматривать как тело-точку, то его уже нельзя рассматривать как материальную точку, но можно рассматривать как своего рода односпиновую частицу. В самом деле, допустим, что точки тела A движутся по закону

где вектор uk(t) в некотором смысле мал и им можно пренебречь.

Тогда для кинетической энергии, количества движения и кинетического момента тела A получим

причем Θ есть тензор инерции. Таким образом, если система материальных точек движется так, что расстояния между материальными точками в процессе движения меняются незначительно, то при взгляде на эту систему издалека ее можно воспринимать как односпиновую частицу.

Обратимся к рассмотрению тел, состоящих из односпиновых частиц. Пусть все характеристики i-го тела-точки снабжаются индексом i. Тогда в соответствии с принятой аксиомой имеем

где Ki называется массовой плотностью кинетической энергии.

Количество движения определяется выражением

Для сплошных тел все суммы в (5.2.5) – (5.2.7) заменяются интегралами

где величина K называется массовой плотностью кинетической энергии, тензоры B, C суть массовые плотности тензоров инерции. Все величины под знаком интеграла вычисляются в той точке тела, окрестность которой обладает бесконечно малой массой d m.

Вформулах (5.2.8) – (5.2.10) величины под знаком интеграла вычисляются

втой точке тела, окрестности которой принадлежит бесконечно малая масса d m. К обсуждению тел, составленных из односпиновых частиц, мы еще вернемся при обсуждении понятия квазитвердого тела. Поэтому обсуждение тел из односпиновых частиц нельзя считать законченным.

Впоследние 30–40 лет сложилось мнение, что механику сплошных сред нельзя построить на основе “молекулярных” представлений. Это мнение обосновывается различными аргументами. В частности, К.Трусделл и Р.Тупин [69]

186 Глава 5. Тела и их динамические структуры

считают это невозможным, поскольку на микроуровне действуют законы квантовой, а не классической механики. Может быть, это и в самом деле так. Но автор полагает, что возможности классической механики далеко не исчерпаны. Если для тел-точек рассматривать модель односпиновой частицы (5.1.4) или даже вводить в рассмотрение многоспиновые частицы, то поведение таких тел-точек совсем не похоже на то, к которому мы привыкли. Есть основания думать, что использование тел-точек общего вида восстановит дееспособность классической механики и на микроуровне. Что касается перехода к сплошной среде, то здесь необходимо использовать так называемый нестандартный анализ, т.е. вернуться к языку, которым пользовался Л. Эйлер.

В качестве примеров использования моделей материальной точки и односпиновой частицы рассмотрим динамические структуры одномерных сплошных сред. В приложениях часто встречаются такие объекты, как нити, струны, канаты и т.д. Их основное свойство заключается в том, что они не сопротивляются изгибу. Нити можно представлять себе как деформируемые кривые в пространстве. Как отмечалось в главе 3, параметрическое задание кривой в пространстве определяется заданием вектор-функции R(s, t), где параметр s : 0 ≤ s ≤ l есть длина дуги кривой в недеформированном состоянии, l есть полная длина нити в недеформированном состоянии, а t есть время. Движение точки нити (или струны) с координатой s определяется заданием вектора положения R(s, t). Скорость этой точки вычисляется обычным обра-

то вектор R(0.38l, t) задает движение точки нити с координатой s = 0.38l. В качестве тела будем рассматривать часть нити, заключенную в замкнутом интервале [s1, s2]. Введем в рассмотрение неотрицательную функцию ρ(s) такую что масса d m бесконечно малой части нити d s равна d m = ρ(s)d s. Тогда

Еще одним весьма популярным в приложениях объектом является тонкий упругий стержень. Подобно нитям тонкий стержень рассматривается как линия в пространстве, но каждая точка этой линии реагирует не только на смещения, но и на повороты. Это означает, что каждая точка упругой линии-стержня

является односпиновой частицей. Динамические структуры стержня определяются следующими выражениями

s2

=[R(s, t) × (v(s, t) + B · ω(s, t)) + v(s, t) · B + C · ω(s, t)] ρ(s) d s,

s1

где массовые плотности тензоров инерции B(s, t) и C(s, t) подлежат определению и зависят от размеров и формы поперечного сечения стержня, который должен рассматриваться не как упругая линия, а как трехмерное тело.

В дальнейшем модели нити и стержня будут наделены дополнительными структурами: силовыми, моментными и внутренней энергии.

5.3. Классическая модель абсолютно твердого тела

Вычислим динамические структуры абсолютно твердого тела, являющегося наряду с материальной точкой одной из основных моделей, рассматриваемых в рациональной механике. В предыдущей главе было показано, что движение абсолютно твердого тела определено, если заданы вектор положения произвольно выбранной точки тела, жестко зафиксированной относительно тела и называемой полюсом, и тензор поворота тела. Там же была доказана основная теорема кинематики абсолютно твердого тела, которая позволяет найти вектор положения R(t) текущей точки тела

R(t) = RX(t) + P(t) · (r − rX) , r = R(0), rX = RX(0), P(0) = E, (5.3.1)

где RX(t) — вектор положения произвольно выбираемой точки X, называемой полюсом и зафиксированной в теле A; P(t) — тензор поворота тела.

По выражению (5.3.1) вычисляем распределение скоростей в твердом теле

Кинетический момент, вычисленный относительно опорной точки Q, определяется по формуле

KQ2 (A) = (R − RQ) × (v + ω × (R − RX)) dm =

(m)

= (RX(t)−RQ) × K1(A) + v · B + Θ · ω. (5.3.8)

Сравнивая полученные выражения (5.3.4), (5.3.7) и (5.3.8) с соответствующими выражениями для односпиновой частицы, видим их внешнее совпадение. Различие только в том, что для абсолютно твердого тела тензоры инерции конкретизированы формулами (5.3.5) и (5.3.6). При этом тензор B для абсолютно твердого тела оказался антисимметричным, в то время как у односпиновой частицы он, в принципе, может быть любым. В частности, для кинетической энергии (5.1.9) он был симметричным B = qE. Поэтому такие односпиновые частицы в классической механике не рассматривались.

5.4. Квазитвердое тело и его структуры

При первых чтениях этот параграф можно просто просмотреть или даже пропустить без ущерба для понимания основного содержания.

Выше при определении динамических структур абсолютно твердого тела мы благополучно избежали некоей ошибки, которую мог бы совершить человек, неясно чувствующий различие между трансляционным и спинорным движением. Трудность в том, что и в трансляционном движении, и в спинорном движении имеет смысл понятие угловой скорости. Именно поэтому и понадобилось вводить специальный термин “спинорное движение” вместо не вполне определенного термина “вращательное движение”. Ниже различие между этими терминами проявится весьма отчетливо. Чтобы проявить это затруднение, рассмотрим пример квазитвердого тела, которое состоит из вращающихся частиц, расстояние между которыми не меняется в процессе движения.

Предварительно рассмотрим абсолютно твердое на основе способа, отличающегося от подхода предыдущего параграфа. Как и в предыдущем параграфе, будем исходить из определения кинетической энергии (5.3.3), но перепишем его с учетом (5.3.2) в следующем виде

Сравнивая выражение (5.4.2) с выражением (5.2.8) для кинетической энергии тела, составленного из односпиновых частиц, видим, что они совпадают при B = S и C = − S2. Воспользуемся в таком случае формулами (5.2.9) и (5.2.10) соответственно для определения количества движения и кинетического момента. Для количества движения имеем

где тензор B дается выражением

B = Sdm = m (RX − RC) × E.

(m)

Сравнивая выражения (5.3.7) и (5.4.3), видим, что оба подхода ведут к одинаковым результатам при вычислении количества движения. Обратимся к вычислению кинетического момента и воспользуемся формулой (5.2.10) для тела из односпиновых частиц. Имеем

(m)

где тензор Θ определен формулой (5.3.6).

Сравнивая выражения (5.4.4) и (5.3.8), видим, что они не совпадают: произошло удвоение динамического спина. Разумеется, правильным является выражение (5.3.8). Следовательно, выше мы совершили какую-то ошибку. Особенно неприятно то, что формально мы сделали все правильно. Допущенная ошибка имеет не формально-математический характер, но имеет чисто физическую природу: необходимо было использовать не формулу (5.2.10) для тел из односпиновых частиц, а определение кинетического момента для тела, составленного из бесспиновых частиц, т.е. из материальных точек. В этом случае

(m)

На этом примере ясно видно, что наличие в выражении для кинетической энергии вектора угловой скорости не является признаком учета спинорных движений. Например, движение материальной точки по окружности можно описать с помощью вектора угловой скорости, но это движение является трансляционным.

Чтобы еще лучше выявить различие между телами, составленными из бесспиновых частиц, и телами, составленными из односпиновых частиц, рассмотрим квазитвердое тело, составленное из вращающихся частиц, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. Квазитвердое тело можно представить себе следующим образом. Пусть дано абсолютно твердое тело, которое будем называть несущим. Для наглядности можно представлять себе несущее тело в виде тела, в котором имеется множество маленьких полостей. Пусть в каждой полости установлен миниатюрный гироскоп, центр масс которого неподвижен относительно несущего тела. Гироскоп состоит из вращающегося ротора, закрепленного в специальной конструкции, называемой кардановым подвесом. При вращении ротора его ось может поворачиваться. Если ось ротора закреплена относительно несущего тела, а сам ротор является телом вращения, то распределение массы в таком квазитвердом теле не меняется в процессе движения. Квазитвердое тело, распределение массы в котором не меняется в процессе движения, называется гиростатом. Если квазитвердое тело состоит из односпиновых частиц, то более точным образом квазитвердого тела является кристаллическая решетка (безынерционное несущее тело), в узлах которой находятся быстровращающиеся атомы. На самом деле атом нужно моделировать многоспиновой частицей, но в иллюстративном примере можно ограничиться и односпиновыми атомами, которые в Природе не встречаются. Итак, рассмотрим тело, состоящее из множества вращающихся частиц. Допустим, что в момент времени t = 0 положение центра масс типичной частицы определялось вектором положения r. Ориентацию этой частицы относительно системы отсчета при t = 0 определим заданием