Zhilin_Fundamental_Laws_Book

Теперь предыдущее равенство принимает вид

Jk(rc + y) = Jk(rc) + m y · y − (k · y)2 ≥ Jk(rc),

причем знак равенства достигается либо при k × y = 0, либо при y = 0. Выражение (5.5.) справедливо при любом выборе вектора y. Таким образом,

доказана

Теорема: момент инерции тела, вычисленный относительно произвольной оси, принимает минимальное значение, когда в качестве полюса выбирается центр масс тела.

Эта теорема находит приложение на практике при динамическом определении центра масс. Введем еще несколько понятий, которые используются, как в теоретических построениях, так и в прикладных вопросах. Прежде всего, речь идет о понятии радиуса инерции. Момент инерции имеет размерность масса × квадрат длины. Поэтому его можно представить в следующем виде

где ρk называется радиусом инерции, а величина κk — модулем инерции [39]. Наконец, центробежным моментом инерции называется [39, 41] величина

Dmn = m · Θ0 · n, |m| = |n| = 1, m · n = 0,

которая в данной книге не понадобится и использоваться не будет.

5.6. Вычисление тензоров инерции простейших тел

Рассмотрим тело A, состоящее из n материальных точек с массами mk, k = 1, 2, . . . , n. Тело A считаем абсолютно твердым. Так будет, если все материальные точки соединены между собой нерастяжимыми безмассовыми (безынерционными) стержнями. В качестве полюса выбираем произвольную точку P, расстояние от которой до любой из материальных точек в процессе движения тела A остается неизменным. Вычислим эйлеров тензор инерции тела A в отсчетном положении. Для этого необходимо воспользоваться его

определением (5.5.2)

Θ0 = − (r − rP) × E × (r − rP) d m(r),

(m)

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку s стержня ортогонально оси стержня, вычисляется по формуле

Этот момент инерции часто называют экваториальным моментом инерции. Он достигает своего минимума при s = l/2, что соответствует центру масс стержня, т.е. центральному тензору инерции. Экваториальный момент инерции достигает своего максимального значения, когда полюс выбирается на одном из концов стержня, т.е. при s = 0 или s = l. Таким образом, имеем

Видим, что момент инерции существенно зависит от выбора полюса. В рассматриваемом случае он меняется в четыре раза. “Вращательная инерция” тела оказывается наименьшей, когда тело вращается вокруг своего центра масс. Центральный тензор инерции для тонкого стержня имеет вид

ml2

Θ0 = 12 (E − e e) .

Легко вычисляются тензоры инерции составных тел, если известны тензоры инерции каждого из тел, входящего в составное тело. Это будет простая сумма тензоров инерции. Вычислим, например, центральный тензор инерции гантели, состоящей из стержня длины 2l и массы m и двух материальных точек массой M каждая, закрепленных на концах стержня. В рассматриваемом случае центральный тензор инерции гантели есть сумма центрального тензора инерции стержня, определяемого формулой (5.6.3) при замене l на 2l, и двух тензоров инерции (5.6.2). Таким образом, имеем

Из приведенных выше примеров видим, что вычисление тензоров инерции для тел, состоящих из материальных точек и прямолинейных стержней, как, впрочем, и стержней произвольного вида, является весьма простой задачей, т.к. она сводится либо к простому сложению, либо к вычислению одномерных интегралов. В общем случае вычисление тензора инерции абсолютно твердого тела сводится к вычислению тройных интегралов по объему, занятому телом. Это уже более сложная задача, но часто она может быть значительно упрощена, если воспользоваться специальными приемами и соображениями симметрии, описанию которых излагается в следующем пункте.

5.7. Группы симметрии. Принцип Кюри–Неймана

Симметрия — одно из важнейших и древнейших представлений как в искусстве, так и в науке. Аргументы, основанные на соображениях симметрии, всегда считались весьма убедительными и достоверными, поскольку с аргументами такого рода легко соглашается наша интуиция. Приложения теории симметрии в физике чрезвычайно обширны, а сама теория симметрии по праву занимает одно из центральных мест в любой рациональной науке. В данном пункте описываются простейшие приложения теории симметрии к определению тензоров инерции. Введем в рассмотрение понятие о группе симметрии тензора второго ранга. При этом достаточно подробно будем рассматривать только полярные тензоры второго ранга [18], каковым и является тензор инерции.

Введем понятие ортогонального преобразования тензоров разных рангов. Пусть дан ортогональный тензор Q

Определение: ортогональными преобразованиями скаляра g, вектора a и тензора второго ранга A называются соответственно величины

g ≡ (detQ)αg, a ≡ (detQ)αQ · a, A ≡ (detQ)αQ · A · QT , (5.7.1)

где α = 0 для полярных объектов и α = 1 для аксиальных объектов.

Для полярных объектов вводимое определение ортогонального преобразования совпадает с общепринятым. Для аксиальных объектов оно было впервые введено в работе [16]. Для иллюстрации естественности вводимого определения ортогонального преобразования аксиальных объектов рассмотрим два простых примера. Рассмотрим аксиальный скаляр

f = a · (b × c).

Пусть векторы a, b, c полярны. Тогда ортогональное преобразование скаляра f можно определить непосредственно

f = a · (b × c ) = (Q· a)· [(Q · b) × (Q · c)] = (a· QT )· [(detQ)Q · (b × c)] = = (detQ)a · (b × c) = (detQ) f.

Здесь мы использовали тождество [18]

(Q · b) × (Q · c) = (detQ) Q · (b × c).

В результате пришли к определению (5.7.1). Типичным примером аксиального вектора является векторное произведение двух полярных векторов. В

этом случае также возможно дать определение ортогонального преобразования непосредственно на основе определения ортогонального преобразования полярных векторов

c = a × b = (Q · a) × (Q · b) = (detQ) Q · (a × b) = (detQ) Q · c.

Аналогично можно объяснить определение ортогональных преобразований для тензоров любого ранга [16].

Обратимся к введению важного физического понятия симметрии объектов. Интуитивное представление о симметриях тел имеется практически у каждого человека. Но в рациональной науке эти интуитивные представления должны быть однозначно определены в математической форме. Например, физической операции зеркального отражения, осуществляемой с помощью реального зеркала, должна соответствовать математическая операция, в которой реальному зеркалу должен соответствовать однозначно определенный математический объект. Реальному зеркалу соответствует плоскость, совпадающая с плоскостью зеркала, которую обычно определяют заданием вектора единичной нормали n. Математический объект, точно соответствующий реальному зеркалу, действительно существует и определяется заданием тензора второго ранга

Если тензором зеркального отражения (5.7.2) подействовать на вектор a, то получим вектор a = Q · a. Проекции векторов a и a на плоскость, ортогональную вектору n, совпадают, а проекции этих векторов на вектор n равны между собой по модулю, но противоположны по знаку.

Еще одним важным представлением о симметрии является симметрия тел относительно разного рода поворотов. Например, шар не меняется при произвольных поворотах вокруг своего центра. Этому представлению также отвечает вполне определенный математический объект, называемый тензором поворота, который в соответствии с теоремой Эйлера [18] может быть представлен в следующем виде

Q(ϕm) ≡ (1 −cos ϕ)m m+cos ϕE+sin ϕ m×E, Q· QT = E det Q = +1,

(5.7.3) где единичный вектор m определяет прямую, называемую осью поворота, а угол ϕ называется углом поворота.

Действие тензора поворота (5.7.3) на вектор a сводится к повороту этого вектора вокруг оси поворота на угол ϕ. Замечательным является тот факт, что любой элемент симметрии тела может быть представлен в виде композиции тензоров типа (5.7.2) и (5.7.3). Как видим, симметрии тел описываются тензорами второго ранга.

208 Глава 5. Тела и их динамические структуры

Определение: группами симметрии скаляра g, вектора a и тензора второго ранга A называются соответственно множества ортогональных решений

где скаляр g, вектор a и тензор второго ранга A считаются заданными, а ортогональные тензоры Q подлежат определению.

Смысл введенного определения вполне ясен. Если ортогональное преобразование рассматриваемого объекта совпадает с исходным объектом, то ортогональный тензор, входящий в это преобразование, называется элементом симметрии данного объекта. Очевидно, что множество элементов симметрии объекта действительно образует группу. В самом деле, это множество не пусто, поскольку единичный тензор является элементом (тривиальным) симметрии любого объекта. Обратный элемент также существует для любого элемента симметрии. Осталось только убедиться, что если тензоры Q1 и Q2 являются элементами симметрии, то и их композиция Q3 = Q2 · Q1 является элементом симметрии, т.е. принадлежит к рассматриваемому множеству. Покажем это на примере тензора второго ранга A. Пусть тензоры Q1 и Q2 являются элементами симметрии тензора A, т.е. пусть они удовлетворяют уравнениям

Тогда имеем

(detQ3)αQ3 · A · QT3 = (detQ2)α(detQ1)αQ2 · Q1 · A · QT1 · QT2 =

= (detQ2)αQ2 · A · QT2 = A.

Здесь мы дважды использовали уравнения (5.7.5) и убедились, что тензор Q3 принадлежит к множеству элементов симметрии. Таким образом, множество элементов симметрии обладает всеми признаками, позволяющими назвать это множество группой.

Опишем группы симметрии скаляров, векторов и симметричных тензоров второго ранга. Для скаляров непосредственно из определения видим, что группа симметрии абсолютного скаляра совпадает с полной ортогональной группой, а группа симметрии аксиального скаляра совпадает с собственно ортогональной группой.

Группа симметрии полярного вектора a состоит из тензоров поворота вокруг a и зеркальных отражений от плоскостей, параллельных a, т.е. из тензоров (5.7.3) при m = a/|a| и тензоров (5.7.2) при n · a = 0.

Группа симметрии аксиального вектора a состоит из тензоров поворота вокруг a и зеркальных отражений от плоскостей, ортогональных a, т.е. из

тензоров поворота (5.7.3) при m = a/|a| и тензоров зеркальных отражений (5.7.2) при n = a/|a|. При экспериментальной проверке этого факта с помощью зеркала следует вспомнить, что прообразом аксиального вектора является спин-вектор, а зеркало ничего не знает о соглашении об ориентации, которое существует только в наших головах. Поэтому при работе с зеркалом следует использовать не аксиальный вектор, а его прообраз, т.е. спин-вектор. Таким образом, группы симметрии полярных и аксиальных векторов существенно различны.

Группа симметрии симметричного полярного тензора второго ранга, все собственные числа которого различны, состоит из зеркальных отражений от плоскостей, ортогональных собственным векторам этого тензора.

Здесь это понятие используется применительно к эйлерову тензору инерции, который является полярным тензором второго ранга.

Определение. Группой симметрии тензора инерции Θ называется множество ортогональных решений уравнения

В определении (5.7.6) и до конца этого параграфа тензоры инерции рассматриваются в отсчетном положении. Если тензор инерции задан, то нетрудно найти его группу симметрии. Например, для шарового тензора инерции имеем

Q · Θ · QT = Q · (ΘE) · QT = ΘE = Θ, Q : Q · QT = E.

Иными словами группой симметрии шарового тензора является полная ортогональная группа. Знание даже отдельных элементов симметрии у тензора инерции позволяет получить важную информацию о его структуре.

Пример. Допустим, что тензор инерции имеет одну плоскость зеркальной симметрии. Тензор зеркального отражения от плоскости, ортогональной единичному вектору n, имеет вид

Q = E − 2 n n, Q = QT , Q · n = −n.

Поскольку этот тензор, по условию, является элементом симметрии тензора инерции, то справедливо равенство (5.7.6)

Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор n, получаем

(E − 2n n) · (Θ · n) = − (Θ · n) Θ · n = λn.

Иными словами, если тензор инерции обладает зеркальной плоскостью симметрии, то вектор, ортогональный этой плоскости, является собственным вектором тензора инерции, а ось, ортогональная плоскости зеркальной симметрии, является главной осью тензора инерции. Допустим теперь, что тензор инерции обладает еще одной плоскостью зеркальной симметрии, ортогональной единичному вектору m такому, что m × n = 0. Тогда вектор m также является собственным вектором тензора инерции. Таким образом, имеем два равенства

Θ · n = λn, Θ · m = μm (λ − μ)m · n = 0.

Здесь возможны два случая.

Первый случай. Если m · n = 0, то λ = μ. В этом случае легко убедиться, что любой вектор, являющийся линейной комбинацией векторов m и n, является собственным вектором тензора инерции. Это означает, что в рассматриваемом случае имеется несчетное множество плоскостей зеркальной симметрии, пересекающихся по одной прямой, которая, в свою очередь, является главной осью тензора инерции. Этот факт вытекает из следующего рассуждения. Выберем пару ортогональных векторов d1 и d2, лежащих в плоскости, натянутой на векторы m и n. Тогда тензоры

Q1 = E − 2d1 d1, Q2 = E − 2d2 d2, Q3 = Q2 · Q1 = − (E − 2d3 d3) ,

где d3 = d1 × d2, также являются элементами симметрии тензора инерции, а вектор d3 является собственным вектором тензора инерции.

По теореме о спектральном разложении [18] тензора второго ранга имеем

Θ = λ(d1 d1 + d2 d2) + λ3d3 d3 = λ(E − d3 d3) + λ3d3 d3. (5.7.8)

Тензоры такого строения называются трансверсально-изотропными с осью изотропии, натянутой на вектор d3. Название объясняется тем, что тензор (5.7.8) не меняется при произвольных поворотах вокруг оси изотропии d3. Иными словами, тензор поворота

Q = (1 − cos ϕ)d3 d3 + cos ϕE + sin ϕd3 × E

принадлежит к группе симметрии тензора инерции. Вот такие удивительные следствия вытекают из существования у тензора инерции двух неортогональных между собой плоскостей зеркальной симметрии.

Второй случай. Если m · n = 0, то λ уже не обязано равняться μ. В этом случае из существования двух плоскостей зеркальной симметрии вытекает только то, что тензор инерции обязан иметь вид

Сдругой стороны, эйлеров тензор инерции является симметричным тензором второго ранга. Следовательно, для него справедлива теорема о спектральном разложении [18], из которой вытекает, что любой тензор второго ранга и тензор инерции в частности имеет, как минимум, три плоскости зеркальной симметрии. Заметим, что теорема о спектральном разложении никак не связана с соображениями симметрии, но она, в более узкой трактовке, может быть получена на основании соображений симметрии. В отличие от соображений симметрии, при доказательстве теоремы о спектральном разложении не использовалось допущение, что у тензора имеются какие-либо плоскости симметрии.

Сучетом важности умения использовать соображения симметрии, приведем прямое построение полученных выше представлений. Итак, пусть тензор инерции имеет одну плоскость зеркальной симметрии, ортогональную единичному вектору n. Введем в рассмотрение ортонормированную тройку векторов dk такую, что n = d1. Тогда любой тензор второго ранга, не обязательно симметричный, может быть представлен в виде разложения

Θ= Θ11d1 d1 +Θ12d1 d2 +Θ13d1 d3 +Θ21d2 d1 +Θ22d2 d2 +Θ23d2 d3+

+Θ31d3 d1 + Θ32d3 d2 + Θ33d3 d3.

По условию, тензор

Q = E − 2 d1 d1 Q · d1 = −d1, Q · d2 = d2, Q · d3 = d3

должен принадлежать к группе симметрии тензора Θ. Иными словами, при замене d1 на (− d1) тензор Θ не должен меняться. Так будет тогда и только тогда, когда

Θ12 = Θ21 = Θ13 = Θ31 = 0.

Тензор Θ принимает вид

Θ = Θ11d1 d1 + Θ22d2 d2 + Θ23d2 d3 + Θ32d3 d2 + Θ33d3 d3.

Пусть теперь тензор зеркального отражения E − 2 d2 d2 от плоскости ортогональной вектору d2 также принадлежит группе симметрии тензора Θ. Это возможно только при условии, что

Θ23 = Θ32 = 0, Θ = Θ11d1 d1 + Θ22d2 d2 + Θ33d3 d3.

Итак, если полярный тензор второго ранга обладает двумя ортогональными плоскостями зеркальной симметрии, то он симметричен и обладает, по крайней мере, тремя ортогональными между собой плоскостями зеркальной