Zhilin_Fundamental_Laws_Book

222 Глава 6. Воздействия

ла за исключением тел A и B, 2) мысленно “заморозить” тело A и превратить его в абсолютно твердое, 3) мысленно придавать всем точкам A всевозможные бесконечно малые смещения ξe, где e, произвольный единичный вектор. Если тело B как-то препятствует описанным смещениям тела A, то сила F (A, B) отлична от нуля. Если существует такое направление e , что тело B не препятствует смещению тела A в этом направлении, то проекция F (A, B) на e равна нулю. Для того, чтобы ощутить наличие собственно момента LP (A, B), необходимо: 1) и 2) как для силы; 3) закрепить точки приведения в теле отсчета и относительно тела A, т.е. тело A и точка P должны составлять абсолютно твердое тело с неподвижной точкой P; 4) мысленно поворачивать тело A вокруг P на всевозможные бесконечно малые векторы поворота ϕe, где |e| = 1. Если тело B как-то препятствует описанным поворотам тела A, то LP (A, B) отличен от нулевого вектора. Если существует такая ось, проходящая через P и натянутая на e , что тело B не препятствует повороту тела A вокруг этой оси, то проекция LP (A, B) на e равна нулю. Из определения момента следует, что при изменении точки приведения собственно момент меняется так, чтобы полный момент MQ (A, B) остался неизменным. Пусть P и S две разные точки приведения. Тогда имеем

Определение: воздействие тела B на тело A называется чисто силовым (или просто силовым), если существует такая точка приведения RP(t), что при любых движениях тела A воздействие тела B на тело A определяется заданием пары векторов

{F (A, B) ; (RP(t) − RQ) × F (A, B)} , LP (A, B) = 0 , (6.2.3)

причем такая точка P называется центром силового воздействия.

Во многих книгах по механике центр силового воздействия называют точкой приложения силы F (A, B). Строго говоря, это неправильно, ибо векторы F (A, B), MQ (A, B), LP (A, B) — суть свободные векторы и ни к каким точкам тела не прилагаются, а центр силового воздействия может находиться вне тела A. Отмеченная неточность не так безобидна, как кажется на первый взгляд: говоря о точках приложения, мы внушаем ученику принципиально неверное на интуитивном уровне представление о силе, что помешает ему, если он захочет изучать нетривиальные случаи, выходящие за рамки устоявшихся моделей. Сказанное дает интуитивно ясное представление о природе понятий сил и моментов. К сожалению, этого нельзя просто выучить, только настойчивая практика применения этих понятий ведет к успеху.

Определение: воздействие тела B на тело A называется чисто моментным, если F (A, B) = 0.

Для первичных понятий невозможно дать определения. В таких случаях даются не определения самих понятий, а перечисляются свойства, органически присущие этим понятиям. Важнейшим свойством сил и моментов, подтвержденным всем ходом развития механики, является их аддитивность как по телам, составляющим тело B, так и по телам, составляющим тело A.

Аксиома: сила F (A, B) и момент MQ (A, B) аддитивны по отделенным

Вычисление момента MQ (A, B) подразумевает выбор опорной точки и точки приведения. Опорная точка должна быть одна и та же в обеих частях (6.2.5). Выбор точки приведения осуществляется произвольно и для каждого из моментов MQ (A, C D), MQ (A, C), MQ (A, D) может производиться независимо.

Аксиома: сила F (A, B) и момент MQ (A, B) аддитивны по отделенным

Приведенными выше аксиомами исчерпываются все постулаты, относящиеся к воздействиям в общем случае. Введенные аксиомы не определяют конкретного вида сил и моментов, они только фиксируют их основные свойства. Заметим, что при традиционном изложении механики вышеуказанные аксиомы в явном виде формулировать не принято. Тем не менее, они активно, хотя и неявно, используются.

Обсудим подробнее введенное понятие воздействия применительно к частным случаям. Если в качестве тела A выбрана материальная точка, то собственно момент, действующий на материальную точку, равен нулю при условии, что точка приведения совпадает с вектором положения материальной точки. Это следует из того, что тела, окружающие материальную точку, не могут реагировать на повороты материальной точки вокруг самой себя, поскольку просто не замечают этих поворотов. Поэтому воздействие на материальную точку всегда является чисто силовым и определяется заданием пары векторов

F(A, Ae), MQ(A, Ae) = (R(A) − RQ) × F(A, Ae).

Это воздействие не содержит собственно моментов и влияет только на трансляционные движения. Оно широко используется в ньютоновой механике. При переходе от одной материальной точки к системе материальных точек собственно момент уже появляется. Пусть

"n

A = Ak, Ak − отделенные материальные точки.

k=1

Использовав аксиомы аддитивности, получим следующее выражение для внешнего воздействия, действующего на тело A со стороны его окружения Ae

n

Здесь следует обратить внимание, что в (6.2.8) не входят силы F(Ai, Ak) взаимодействия между частицами, составляющими тело A. Составим выражение для момента, действующего на тело A со стороны его окружения

n

MQ(A, Ae) = (Rk − RQ) × F(Ak, Ae).

k=1

Это выражение перепишем в эквивалентном виде

k=1

Хотя величина LP и называется собственно моментом, действующим на тело A, но этот момент порождается силами и потому не выходит за рамки понятий ньютоновой механики.

Обратимся к рассмотрению односпиновых частиц, которые, подобно материальным точкам, являются точечными телами, но они наделены более богатым спектром свойств. Односпиновые частицы в ньютоновой механике уже не рассматриваются и являются атрибутом эйлеровой механики. Силы, действующие на односпиновые частицы, ничем не отличаются от сил, действующих на материальные точки. Меняется (не по форме, но по существу) понятие

момента. Пусть тело A есть односпиновая частица. Ее положение в системе отсчета определяется заданием вектора положения R, который характеризует трансляционное движение односпиновой частицы. Спинорное движение односпиновой частицы определяется заданием тензора поворота P. Момент, действующий на такую частицу, определяется выражением (6.2.1)

где величина L (A, Ae) выражает реакцию окружения на повороты односпиновой частицы.

Такая ситуация характерна, например, для поведения диполей в электромагнитном поле. Если тело A состоит из набора односпиновых частиц, то, в силу аксиом аддитивности, имеем то же самое выражение для момента, что и для системы материальных точек. Существенное различие заключается в формуле для собственно момента. А именно, вместо формулы (6.2.9) следует воспользоваться выражением

Примечания

1.В литературе часто встречается термин “сила инерции”. Последняя, согласно сказанному выше, может называться силой только весьма условно, ибо “силы инерции” не удовлетворяют главному требованию — они не порождены другими телами, да и вообще не существуют в инерциальной системе отсчета.

2.Аксиомы аддитивности в книгах по механике часто подменяются так называемым “принципом независимости сил”. Следует иметь в виду, что аддитивность воздействий всеобща, а независимость воздействий, как правило, не имеет места.

6.3.Мощность внешних воздействий

Важную роль в механике играет понятие мощности внешних воздействий. В школьном курсе физики вводится понятие работы. Оно широко используется во многих разделах физики и, особенно, в термодинамике. Тем не менее, это понятие является слишком сложным для того, чтобы принять его в качестве исходного определения. Значительно проще вводится понятие мощности, через которое и вводится понятие работы. Проиллюстрируем это понятие на примере материальной точки. Пусть F(A, Ae) есть сила, действующая на материальную точку A со стороны ее окружения. Тогда мощностью внешнего

воздействия на материальную точку называется величина

N(A, Ae) = F(A, Ae) · v(A).

Мощность — это работа, производимая в единицу времени. Поэтому работой силы F(A, Ae) называется интеграл по времени от мощности

t

A(A, Ae) = F(A, Ae) · v(A)d t.

0

В отличие от мощности, вычисление работы не такая простая задача, ибо надо знать движение материальной точки и закон изменения силы при движении. Но самое главное заключается в другом. Как мы увидим ниже, в формулировку фундаментальных законов входит именно мощность, но не работа.

При рассмотрении одной материальной точки понятие мощности внешних воздействий оказывается безальтернативным, ибо все воздействия на материальную точку являются внешними. Если тело A состоит из конечного числа материальных точек, то мощность внешних воздействий есть просто сумма мощностей, подводимых к каждой из точек от внешних источников

n

k=1

Здесь особое внимание следует обратить на то, что в выражение (6.3.1) не входят силы взаимодействия между частицами, составляющими тело A.

Для тел, состоящих из односпиновых частиц, принимается следующее

Определение: мощностью внешних воздействий на тело A, состоящего из тел-точек Ai, называется билинейная форма скоростей и воздействий

k=1

Обратим внимание на то, что и здесь включены силы и моменты, действующие на тело-точку со стороны окружения всего тела A, а не со стороны Aek, т.е. окружения k-го тела-точки. Кроме того, под L (Ak, Ae) понимается собственно момент, когда в качестве точки приведения выбран вектор положения Rk тела-точки Ak, причем, напомним, L (Ak, Ae) не зависит от выбора опорной точки Q. Важно также обратить внимание на то, что в формулу (6.3.2) входит угловая скорость спинорного движения.

Наконец, легко видеть, что справедлива

Теорема. Мощность внешних воздействий аддитивна, как по телам, составляющим само тело A, так и по телам, составляющим его окружение

Aek.

При переходе к сплошным телам суммы в (6.3.1) и (6.3.2) должны быть заменены соответствующими интегралами. Вычислим, например, мощность внешних воздействий для абсолютно твердого тела, состоящего и бесспиновых частиц. Сначала вычисляем мощность внешних воздействий, подводимых к бесконечно малой части тела, занимающей положение R и имеющей массу dm(R)

N(dm(R), Ae) = F(dm(R), Ae) · v(R) = F(R, Ae) · v(R)dm(R).

Тогда мощность внешних воздействий, подводимая к телу A, вычисляется

Вспомнив основную теорему кинематики абсолютно твердого тела, мы можем переписать это выражение в следующем виде

(m)

а вектор RP определяет положение полюса в абсолютно твердом теле.

Глава 7.

Первый закон динамики Эйлера

7.1. Общая формулировка первого закона динамики

Первым фундаментальным законом механики принято называть уравнение баланса количества движения. Первоначально он возник как первый закон статики и применялся еще Архимедом. Применительно к задачам динамики этот закон в частных формулировках применялся Галилеем и Гюйгенсом. Знаменитым первый фундаментальный закон стал после выхода “Математических начал натуральной философии” (1686) Исаака Ньютона. В науке он утвердился под названием Второго закона Ньютона, который и поныне излагается в школьных курсах физики и на базе которого рассмотрено огромное количество важнейших явлений Природы и техники. Точнее говоря, широко употребительным в рациональной механике второй закон Ньютона стал гораздо позднее, а именно после того, как Л. Эйлер [76] придал ему математическую форму. Это произошло через 20 лет после смерти Ньютона. Что же касается мифа о Ньютоне, как единственном творце рациональной механике, то он был придуман в книге Э. Маха [43], опубликованной в 1883 г. и в которой утверждается, что после Ньютона в механике не было сделано ничего принципиально нового. Ошибочность этого утверждения следует хотя бы из того факта, что Ньютон до конца своей жизни отрицал сохранение количества движения у изолированного тела. Решающий шаг в формулировке законов динамики был сделан Л. Эйлером [79]1 в 1776 г. Именно в этой работе Л. Эйлер сформулировал законы механики в виде двух независимых утверждений, которые К. Трусделл предложил [86] называть первым и вторым законами динамики Эйлера. В данной книге поддерживается позиция К. Трусделла и используется именно эта терминология. Вместе с тем, нужно обратить внимание, что форма фундаментальных законов с развитием механики меняется и, видимо, никогда не обретет окончательный вид. Так происходит из-за того, что с развитием механики меняются наши представления о содержании входящих в фундамен-

1Цитируется по работе [45].

тальные законы понятий. Например, понятия количества движения у Декарта, Ньютона и Эйлера одинаковы по смыслу, но различны по формальным признакам. В данной книге используется определение количества движения, по форме отличающееся от многих других книг. Однако суть этого понятия у всех одинакова.

Согласно основной аксиоме механики, в инерциальной системе отсчета количество движения изолированного тела сохраняется неизменным. Если тело является материальной точкой, то это утверждение вытекает из Принципа инерции Галилея и позволяет ввести в рассмотрение инерциальные системы отсчета. Так что в этом случае основная аксиома не дает ничего нового. Для произвольного тела основная аксиома уже не вытекает из Принципа инерции Галилея и является новым постулатом. Наблюдение показывает, что, как правило, количество движения тела A меняется. В механике полагают, что причина этого заключается в наличии других тел во Вселенной. Но тела, сами по себе, в рациональной механике не обсуждаются. Их наличие моделируется воздействиями и, в некоторых случаях, потоками количества движения. Следует при этом иметь в виду, что под телами механика понимает не только тела типа твердых, жидких и газообразных тел. Электромагнитное поле и многие другие тонкие состояния материи также являются телами. Первый фундаментальный закон фиксирует связь между воздействиями (другими телами) и изменением количества движения рассматриваемого тела. При этом первый фундаментальный закон устанавливает баланс между изменением количества движения тела A и силой, действующей на тело A. Кроме того,

баланс учитывает и возможный подвод количества движения в тело A.

Уравнение баланса количества движения: скорость изменения количества движения тела A равна силе F(A, Ae) плюс скорость подвода количества движения k1(A, Ae) в тело A

В приведенной формулировке уравнение баланса энергии стало использоваться в научной литературе относительно недавно, но у него было много предшественников. Сначала частная форма этого закона применялась Галилеем и Гюйгенсом. Затем появился самый знаменитый в механике закон, получивший название второго закона Ньютона

(m v)· = F.

Второй закон Ньютона относится к материальной точке, так что на нее действуют только внешние силы. Поэтому не было нужды разделять силы на внешние и внутренние. Следует отметить, что второй закон у Ньютона был

Иными словами, сила, действующая на тело B со стороны тела C, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны тела B на тело C. Именно в такой форме сформулировал этот закон Ньютон [50]. Тела B и C у Ньютона совсем не обязательно являются материальными точками, что прямо следует из рассуждений Ньютона, непосредственно продолжающих формулировку трех законов. В современных учебниках третий закон Ньютона формулируют несколько иначе [41], сужая его на взаимодействующие материальные точки и добавляя утверждение о том, что силы взаимодействия направлены по прямой, соединяющей материальные точки. Это последнее добавление невозможно распространить на тела общего вида, входящие в (7.1.5), ибо разных прямых, соединяющих не точечные тела B и C, можно провести сколько угодно. Более того, если считать, что силы имеют точку приложения, то равенство (7.1.5) также теряет смысл. Это является одной из причин того, что в данной книге понятие “точка приложения силы” не используется, а сама сила рассматривается как свободный вектор. В таком случае равенство (7.1.5) имеет однозначный смысл. Наконец, из равенства (7.1.5) следует, что сила, действующая на тело B со стороны самого тела B, равна нулю, т.е. F(B, B) = 0. После формулировки второго закона динамики будет доказано, что в системе материальных точек силы взаимодействия между точками направлены вдоль прямых, соединяющих эти точки. Иными словами, в системе материальных точек внутренние силы центральны. Ничего подобного не имеет места для тел, отличных от материальных точек.

Применительно к закрытой материальной точке уравнение (7.1.1) есть второй закон Ньютона. Рассмотрим систему материальных точек и запишем первый закон динамики для каждой из материальных точек, входящих в систему

(7.1.6) Уравнения (7.1.6) впервые [68] были сформулированы Л. Эйлером в 1747 г., а затем были воспроизведены в работе [76]. Складывая все уравнения в систе-

ме (7.1.6) и учитывая равенство (7.1.5), приходим к первому закону динамики (7.1.1) при k1(A, Ae) = 0. Таким образом, первый закон динамики заменяет собой все три закона Ньютона, но обладает большей общностью. На базе только первого закона динамики можно исследовать огромное количество важных задач. В частности, он позволяет, при добавлении закона Всемирного тяготения, построить теорию движения Луны и планет, т.е. небесную механику. На этом законе базируется механика сплошных сред, гидроаэромеханика и т.д. Некоторые задачи, имеющие историческую ценность, будут рассмотрены ниже в этом параграфе. Огромные возможности, открываемые первым законом