Zhilin_Fundamental_Laws_Book
.pdf112 |
Глава 3. Кинематика: спинорные движения |
−→ −→
векторов m, n, e двойной материальный вектор (AB, BC) из положения, от-
меченного двойным вектором ( n, d), перевести тело в положение, где двой-
−→ −→
ной материальный вектор (AB, BC) совпадает с двойным вектором ( N, D). Для этого предварительно мысленно образуем коническую поверхность S, получающуюся вращением вектора N вокруг вектора m (рис. 3.5).
Искомый поворот тела осуществляем в виде последовательности трех по-
воротов. Первый поворот производим на угол ϑ вокруг вектора e так, чтобы
−→
база AB оказалась на конической поверхности S. Этот поворот задается тензором
Q(ϑ e) = (1 − cos ϑ) e e + cos ϑ E + sin ϑ e × E. |
(3.8.3) |
||
AB |
|
|
|
В результате −→ совпадет с вектором |
|
|
|
n = Q(ϑ e) |
· |
n. |
(3.8.4) |
|
|
|
|
−→
Второй поворот производим вокруг вектора m. В результате вектор AB
−→
скользит по конической поверхности S. После поворота на угол ψ вектор AB совпадает с вектором N. Этот поворот определяется тензором
Q(ψ m) = (1 − cos ψ) m m + cos ψ E + sin ψ m × E. |
(3.8.5) |
||
При этом имеем |
|
|
|
N = Q(ψ m) · n = Q(ψ m) · Q(ϑ e) · n. |
(3.8.6) |
||
|
AB |
|
AB, BC |
После поворота (3.8.5) база − |
двойного материального вектора (− − ) |
||
совпадает с вектором N. |
Однако кросс-вектор BC при этом не будет сов- |
||
→ |
− |
→ → |
|
падать с кросс-вектором |
D. Поэтому необходим→еще один поворот вокруг |
||
прямой, натянутой на N. Этот поворот дается тензором |
|
||
Q(ϕ N) = (1 − cos ϕ) N N + cos ϕ E + sin ϕ N × E. |
(3.8.7) |
||
Таким образом, в результате трех поворотов (3.8.3), (3.8.5) и (3.8.7) двой-
−→ −→
ной материальный вектор (AB, BC) из отсчетного положения ( n, d) перешел в актуальное положение ( N, D). Тем самым и само тело перешло из отсчетного положения в актуальное. Полный тензор поворота есть композиция описанных выше трех поворотов
Q(θ) = Q(ϕ N) · Q(ψ m) · Q(ϑ e). |
(3.8.8) |
По существу теорема доказана, но представление (3.8.8) пока не совпадает с утверждением теоремы (3.8.1). Осталось вспомнить тождество [18]
Q( S · θ) = S · Q(θ) · ST , S : S · ST = E. |
(3.8.9) |
3.8. Теорема о представлении тензора поворота |
113 |
Согласно (3.8.6) имеем
N = S · n, S = Q(ψ m) · Q(ϑ e). |
(3.8.10) |
Используя тождество (3.8.9) и равенство (3.8.10), получаем
Q(ϕ N) = Q(S · ϕ n) = S · Q(ϕ n) · ST =
= Q(ψ m) · Q(ϑ e) · Q(ϕ n) · QT (ϑ e) · QT (ψ m).
Подставляя это выражение в (3.8.8), приходим к утверждению теоремы (3.8.1). Доказательство завершено.
В литературе известно много частных случаев представления (3.8.1). Например, при m = n и векторе e таком, что e · m = 0, получаем известное представление, введенное еще Л. Эйлером в других, разумеется, терминах и представлениях. Тензор поворота, представленный через углы Эйлера, имеет вид
Q(θ) = Q(ψ m) · Q(ϑ e) · Q(ϕ m). |
(3.8.11) |
Здесь сначала производится поворот вокруг m на угол собственного вращения ϕ, затем вокруг e на угол нутации ϑ и, наконец, поворот вокруг того же вектора m на угол прецессии ψ. Обратим внимание, что все эти повороты производятся вокруг неизменных во времени векторов. В классическом представлении поворота через углы Эйлера повороты производятся в обратном порядке. При этом повороты производятся уже вокруг переменных во времени осей. Для того, чтобы получить это представление, достаточно умножить (3.8.11) справа на единичный тензор, записанный в следующем виде
E = QT (ϑ e) · QT (ψ m) · Q(ψ m) · Q(ϑ e) · QT (ψ m) · Q(ψ m).
Умножая (3.8.11) на этот тензор справа и перегруппировывая сомножители,
получаем |
Q(θ) = Q(ϕ m ) · Q(ϑ e ) · Q(ψ m), |
|
|
|
||||
|
|
|
(3.8.12) |
|||||
где использовано тождество (3.8.9) и |
|
|
|
|
|
|||
m |
= Q(ψ m) |
· |
Q(ϑ e) |
· |
m, e = Q(ψ m) |
· |
e. |
(3.8.13) |
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение (3.8.12) дает нам классическое представление тензора через углы Эйлера. Следует, впрочем, указать, что углами Эйлера в литературе часто называют разные величины. Поэтому необходимо быть внимательным, чтобы избежать недоразумений. Возможные недоразумения связаны, в частности, с тем, что представления типа (3.8.12) в литературе не используются, а заменяются их матричными аналогами, в которых векторы m и e в явном виде не
114 |
Глава 3. Кинематика: спинорные движения |
фигурируют. При этом выбор этих векторов осуществляется в разных книгах по разному, что и приводит к изменению смысла углов Эйлера. Как видим, в классическом представлении повороты производятся в обратном порядке и вокруг вращающихся векторов e и m . В дальнейшем мы убедимся, что представление (3.8.11) значительно удобнее, нежели (3.8.12).
В заключение этого пункта предлагаем следующее
Упражнение. Пусть дана композиция поворотов
Q(θ) = Q(ϕ) · Q(ψ). |
(3.8.14) |
Показать, что вектор суммарного поворота θ связан с векторами составляющих поворотов ϕ и ψ следующими малопривлекательными формулами
1 + 2 cos θ = cos ϕ + cos ψ + cos ϕ cos ψ− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ sin ψ |
|
|
(1 − cos ϕ) |
|
|
|
(1 − cos ψ) |
(ϕ · ψ)2, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
ϕ · |
ψ + |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ϕ |
ψ |
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
ψ2 |
|||||||||||||||
2 θ |
|
θ = |
|
|
ϕ |
|
|
(1 + cos ψ) − ( |
−ϕ2 |
|
) |
|
|
ψ |
|
ϕ · ψ ϕ+ |
|
|||||||||||||||
|
sin |
θ |
|
|
sin ϕ |
|
|
1 |
cos ϕ sin |
ψ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ · ψ |
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
ψ (1 + cos ϕ) − ( −ψ2 |
) |
|
|
ϕ |
|
ψ+ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ψ |
|
|
1 |
cos |
ψ |
|
|
sin ϕ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ ϕ ψ − |
( −ϕ2 |
) |
( −ψ2 |
)ϕ · ψ ϕ × ψ, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ sin ψ |
1 |
cos |
ϕ |
1 |
|
|
cos ψ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где θ = |θ|, ϕ = |ϕ|, ψ = |ψ|.
Напомним, что
(3.8.15)
(3.8.16)
θ = |θ| < π, ϕ = |ϕ| < π, ψ = |ψ| < π. |
(3.8.17) |
В принципе, от ограничения (3.8.17) можно отказаться, если повороты происходят вокруг совпадающих и фиксированных во времени осей.
3.9. Дифференцирование тензоров второго ранга
Выше был введен в рассмотрение тензор поворота P(t). Поворот тела происходит во времени, поэтому время является аргументом тензора поворота. Чтобы ввести такое понятие, как угловая скорость, которая характеризует скорость изменения ориентации тела, необходимо научиться дифференцировать тензоры второго ранга по времени. Эта операция сводится к операции дифференцирования вектора.
3.9. Дифференцирование тензоров второго ранга |
115 |
Известно, что любой тензор второго ранга A(t) может рассматриваться как совокупность конечного числа диад
A(t) = a(t) b(t) + c(t) d(t) + . . . .
Операция дифференцирования линейна. Поэтому имеем
d |
d |
|
d |
|
|
|
A(t) = |
|
[ a(t) b(t)] + |
|
[ c(t) d(t)] + . . . |
dt |
dt |
dt |
|||
Чтобы продифференцировать тензор оказывается достаточным научиться дифференцировать диады. По определению производной имеем
d |
t |
t |
lim |
1 |
t t |
t t |
t |
t . (3.9.1) |
|
dt |
t |
||||||||
[ a( ) b( )] = |
t→0 |
[a( + ) b( + ) − a( ) b( )] |
|||||||
Правую часть (3.9.1) следует записать иначе, прибавив и отняв одну и ту же диаду
a(t + t) b(t + t) − a(t) b(t + t) + a(t) b(t + t) − a(t) b(t) = [a(t + t) − a(t)] b(t + t) + a(t) [ b(t + t) − b(t)].
Подставляя это выражение в (3.9.1) и вспоминая определение производной от вектора, получаем
lim |
1 |
{ |
t t |
t |
|
|
|
t |
t |
|
t |
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
t |
→ |
0 |
|
|
|
[ a( + ) − |
a( )] b( + ) + a( ) [ |
|||||||||||
|
|
|
a(t + t) − a(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
|
lim |
b(t + |
t) + a(t) |
|
||||||||||
|
t |
→ |
0 |
|
|
t |
t |
→ |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
d a(t) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b(t + t) − b(t)]} =
lim |
b(t + t) − b(t) |
= |
|
t→0 |
t |
d b(t) |
|
b(t) + a(t) |
|
. |
|
t |
|||
Итак, дифференцирование диады осуществляется с помощью обычного правила Лейбница дифференцирования произведения
d |
[ a(t) b(t)] = |
d a(t) |
b(t) + a(t) |
d b(t) |
(3.9.2) |
|
|
|
|
. |
|||
dt |
dt |
dt |
||||
В дальнейшем, как и раньше, дифференцирование по времени будем обозначать точкой
d |
˙ |
˙ |
˙ |
|
dt A(t) = A = a˙ |
b + a b + c˙ |
d + c d + . . . . |
(3.9.3) |
|
Упражнение. Доказать, что для любых тензоров второго ранга справед-
ливы формулы
116 |
Глава 3. Кинематика: спинорные движения |
|
|
( A · B)· = A˙ · B + A · B˙ , (AT )· = ( A˙ )T . |
(3.9.4) |
Как видим, правила дифференцирования тензоров второго ранга вполне стандартны. Единственное, о чем следует помнить, это о некоммутативности произведения тензоров.
3.10. Угловая скорость
При описании трансляционных движений понятие скорости не вызывает никаких затруднений. Оно кажется совершенно естественным с интуитивной точки зрения, а его формальное определение представляется единственно возможным. Запишем это определение в удобной для нас форме. С этой целью введем в рассмотрение вектор перемещения u(t) материальной точки. Пусть какое-то положение точки, определяемое вектором r, выбрано в качестве отсчетного. Тогда вектор перемещения u вводится следующим образом
R(t) = r + u(t).
Вектор скорости определяется как производная
˙ |
(t). |
(3.10.1) |
V(t) = R(t) = u˙ |
Видимо, можно придумать какие-то другие определения скорости трансляционного движения, но никакой нужды в этом не возникает.
К сожалению, аналогичная ясность и определенность для скорости спинорного движения (угловой скорости) вряд ли достижима. На первый взгляд, это кажется странным. В самом деле, относительно полным аналогом вектора перемещений при трансляционных движениях является вектор поворота при спинорных движениях. Поэтому естественным кажется следующее определение вектора угловой скорости
|
dθ(t) |
˙ |
(3.10.2) |
ω = |
dt |
= θ(t). |
Это определение формально аналогично определению (3.10.1). Определение (3.10.2) вполне может быть выбрано в качестве основного для угловой скорости. Тем не менее, в литературе оно практически не используется и, кроме того, не очень удобно. Ниже будет показано, что не менее естественными являются следующие два определения угловой скорости
˙ |
(3.10.3) |
P(t) = ω(t) × P(t) |
3.11. Тензор спина и вектор угловой скорости |
117 |
или |
|
˙ |
(3.10.4) |
P(t) = P(t) × Ω(t). |
Важно подчеркнуть, что все три вектора угловой скорости ω , ω и Ω, будучи различными, вполне допустимы в качестве исходных определений угловой скорости, ибо между этими векторами существует взаимно однозначное соответствие. В общем случае, как будет показано ниже, это соответствие выражается относительно сложными формулами. Однако в простейшем случае, когда повороты происходят вокруг фиксированной во времени оси, все три вектора угловой скорости тождественно совпадают. Впрочем, и в общем случае существует способ описания поворотов, когда все три вектора угловой скорости совпадают, но совпадают только в данный момент времени, оставаясь различными в любой другой момент времени. При таком описании в качестве отсчетного положения выбирается актуальное положение тела, т.е.
тензор поворота строится в следующем виде |
|
|
|
||||
P(τ − t), |
− |
< τ < |
|
, |
P(0) = E. |
(3.10.5) |
|
Определение угловой скорости∞(3.10.2) |
заменяется на следующее |
|
|||||
∞ |
|
|
|
||||
|
dθ τ − t) |
|
|
|
|
||
ω˜ = |
( |
|
τ=t |
, |
|
θ(0) = 0, |
(3.10.6) |
dτ |
|
|
|||||
где t есть данный момент времени, который считается фиксированным, а τ есть текущее время.
Аналогично можно изменить определения (3.10.3) и (3.10.4). При этом все три определения приведут к одному и тому же вектору угловой скорости. По существу, именно определение (3.10.6) принимается, но никогда не используется при решении задач, в большинстве книг и учебников. В данной книге описание поворотов в форме (3.10.5) и определение угловой скорости (3.10.6) использоваться не будут и потому их дальнейшее обсуждение опускается. Заметим только, что получаемые ниже результаты будут отличаться от приводимых в учебниках, но их можно согласовывать посредством перехода к описанию (3.10.5), (3.10.6).
После этих предварительных замечаний, показывающих, что природа понятия угловой скорости является не столь простой, обратимся к последовательному описанию угловой скорости и других характеристик спинорного движения.
3.11. Тензор спина и вектор угловой скорости
Основной теоремой кинематики введен в рассмотрение тензор поворота P(t), посредством которого выражался поворот твердого тела. Вместе с тем,
118 |
Глава 3. Кинематика: спинорные движения |
тензор P(t) не привязан ни к каким точкам твердого тела и живет вполне самостоятельной жизнью, поэтому и изучать его можно совершенно независимо от твердого тела. По определению тензор поворота удовлетворяет условию
PT (t) · P(t) = P(t) · PT (t) = E, P(τ) = E. |
(3.11.1) |
||||
Продифференцируем тождество (3.11.1) по времени и учтем, что |
˙ |
||||
E = 0, |
|||||
т.к. E — постоянный тензор. |
|
|
|
|
|
˙ |
T |
|
˙ T |
(t) = 0. |
(3.11.2) |
P(t) |
· P (t) + P(t) · |
P |
|||
Введем в рассмотрение тензор S |
|
|
|
|
|
|
˙ |
T |
(t) |
(3.11.3) |
|
|
S(t) = P · P |
||||
и назовем его левым тензором спина или просто тензором спина. Подставляя (3.11.3) в (3.11.2), получаем
S(t) + ST (t) = 0 ST (t) = −S(t). |
(3.11.4) |
Итак, тензор спина S(t) кососимметричен. Известно [18], что любой кососимметричный тензор, в том числе и тензор спина S(t), может быть представлен через сопутствующий вектор ω(t)
S(t) = ω(t) × E = E × ω(t). |
(3.11.5) |
Определение: вектор ω(t), сопутствующий левому тензору спина S(t), называется вектором левой угловой скорости, отвечающей тензору поворота
P(t).
В дальнейшем эпитет “левый” у угловой скорости будет опускаться, т.е. термины вектор левой угловой скорости и вектор угловой скорости будут рассматриваться как равнозначные. Кроме того, вместо длинного термина вектор угловой скорости, отвечающей тензору поворота P(t), мы будем использовать более короткий термин — угловая скорость поворота P(t). Наряду с тензором S(t) можно ввести еще один кососимметричный тензор
Sr = P |
T |
˙ |
(3.11.6) |
|
(t) · P(t). |
Упражнение. Доказать, что Sr(t) кососимметричен.
Определение: тензор Sr(t) называется правым тензором спина. Здесь уже
эпитет “правый” должен всегда присутствовать.
Упражнение. Показать, что левый и правый тензоры спина связаны со-
отношением |
|
S(t) = P(t) · Sr(t) · PT (t). |
(3.11.7) |
3.11. Тензор спина и вектор угловой скорости |
119 |
Определение: вектор Ω(t), сопутствующий правому тензору спина, называется вектором правой угловой скорости, отвечающей тензору поворота
P(t).
Sr(t) = Ω(t) × E = E × Ω(t). |
(3.11.8) |
Между левым и правым векторами угловой скорости существует простая связь, которая немедленно устанавливается с помощью весьма полезного тождества
P · (a × E) · PT = (P · a) × E, |
(3.11.9) |
верного для любого вектора a и любого тензора поворота P. Подставляя (3.11.5) и (3.11.8) в (3.11.7), получаем
ω × E = P · (Ω × E) · PT = (P · Ω) × E |
|
ω(t) = P(t) · Ω(t). (3.11.10) |
|||
Если в отсчетный момент времени |
t |
= |
τ тензор поворота |
τ обращается |
|
|
|
|
P( ) |
||
в единичный, то из (3.11.10) получаем совпадение ω(τ) и Ω(τ): |
|||||
ω(τ) = PT (τ) · Ω(τ) = Ω(τ). |
(3.11.11) |
||||
При решении задач динамики твердого тела используются оба вектора угловой скорости. Уравнение (3.11.5) удобнее и нагляднее записать в другой форме
˙ |
T |
(t) = ω(t) × E |
˙ |
(3.11.12) |
S(t) = P · P |
P(t) = ω(t) × P(t). |
|||
Уравнение (3.11.12) носит название левого уравнения Пуассона или (в литературе) уравнения Пуассона. Аналогично может быть переписано и уравнение (3.11.8)
T |
˙ T |
(t) = E × Ω(t) |
˙ |
Sr(t) = P |
(t) · P |
P(t) = P(t) × Ω(t). (3.11.13) |
Уравнение (3.11.13) будем называть правым уравнением Пуассона.
Упражнение. Показать, что из левого уравнения Пуассона однозначно вытекает правое уравнение Пуассона, т.е. (3.11.12) и (3.11.13) — суть разные
записи одного и того же уравнения.
Определение: прямая, натянутая на вектор левой угловой скорости ω(t), называется левой осью вращения, а прямая, натянутая на вектор правой угловой скорости, называется правой осью вращения.
Левая ось вращения обычно называется просто осью вращения. Ни в коем случае нельзя смешивать понятия ось вращения и ось поворота. В общем (типичном) случае эти оси различаются. Иными словами, поворот тела и его вращение происходят вокруг разных осей. Кроме того, следует помнить, что
120 |
Глава 3. Кинематика: спинорные движения |
ни ось вращения, ни ось поворота, ни векторы угловых скоростей не связаны ни с какими точками тела. Иными словами, векторы угловых скоростей — суть свободные аксиальные векторы. Ось вращения — это множество параллельных прямых, любая из которых может с равным правом называться осью вращения. Если тензор поворота задан, то левый и правый векторы угловой скорости вычисляются относительно легко с помощью уравнений (3.11.12) и (3.11.13), которые, вспомнив определение [18] векторного инварианта тензора второго ранга, удобнее переписать в другой форме
ω(t) = − |
1 |
P˙ (t) · PT (t) × ; |
Ω(t) = − |
1 |
PT (t) · P˙ (t) × , |
(3.11.14) |
|
|
|||||
2 |
2 |
где ( a b)× ≡ a × b.
Таким образом, введены понятия левой и правой угловых скоростей. Формально мы, конечно, имели право это сделать. Но пока что неясно, насколько эти понятия удобны. Заранее это предвидеть трудно. Ситуация прояснится немного позднее, когда мы увидим, что именно эти величины будут естественным образом возникать в приложениях. Тем не менее, один вопрос мы должны выяснить немедленно. По определению тензора поворота, он зависит существенным образом от выбора отсчетного положения. Интуитивно ясно, что вектор угловой скорости, при любом разумном определении не должен зависеть от выбора отсчетного положения. Если это не так, то такое определение нельзя признать удовлетворительным. Покажем, что левая угловая скорость действительно не зависит от выбора отсчетного положения, а правая угловая скорость, хотя и зависит от выбора отсчетного положения, но зависит весьма простым и понятным образом. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3.6.
Пусть тензор поворота P поворачивает тело из отсчетного положения 1 в актуальное положение, а тензор Q поворачивает тело из отсчетного положения 2 в то же самое актуальное положение. Очевидно, что поворот P может быть осуществлен в виде композиции поворота P0, переводящего тело из положе-
ния 1 в положение 2, и последующего поворота |
Q. Иными словами, имеем |
представление |
|
P(t) = Q(t) · P0. |
(3.11.15) |
Используя определение левой угловой скорости (3.11.14), получаем
ωP(t) = − |
1 |
P˙ (t) · |
|
||
2 |
T |
( ) × |
= − |
1 |
|
˙ |
( |
|
|
2 |
1 |
|||||
P t |
|
|
|
Q t) |
|||
= −2
·P0 · PT0
˙ (t) ·
Q
· QT (t) × =
QT (t) × = ωQ(t), (3.11.16)
т.е. левая угловая скорость не зависит от выбора отсчетного положения.
3.11. Тензор спина и вектор угловой скорости |
121 |
Отсчетное положение 2
Q
Актуальное
положение
Po
P
Отсчетное положение 1
Рис. 3.6. Замена отсчетного положения
Для правой угловой скорости, согласно (3.11.11) и (3.11.16), имеем
ΩP = PT · ωP = P0T · QT · ωQ = P0T · ΩQ, |
(3.11.17) |
т.е. правая угловая скорость зависит от выбора отсчетного положения. Вектор угловой скорости ω(t) можно представить в виде
ω(t) = ω(t) n(t), | n(t)| = 1, |
(3.11.18) |
где ω(t) называется величиной угловой скорости.
Если ω(t) > 0, то вращение происходит против движения часовой стрел-
ки, если смотреть с конца вектора n(t). Иногда в качестве |
n(t) выбирают |
направляющий вектор вектора ω(t) |
|
n(t) = ω(t)/|ω(t)|. |
(3.11.19) |
В этом случае ω(t) в (3.11.18) есть модуль вектора ω(t). Представление (3.11.19) неудобно, т.к. в этом случае направляющий вектор n(t) не является в общем случае непрерывной функцией времени: если модуль |ω(t)| в какой-то момент времени обращается в нуль, а сам вектор ω(t) при этом меняет направление на противоположное, то n(t) скачком меняет свою величину, ибо | n(t)| = 1 при всех t. В представлении (3.11.18) знак будет менять величина ω(t), а вектор n(t) будет меняться непрерывно. Итак, по заданному тензору поворота P(t) векторы угловых скоростей вычисляются однозначно по формулам (3.11.14). Сложнее обстоит дело с обратной задачей: по заданному вектору ω(t) восстановить тензор поворота.