Zhilin_Fundamental_Laws_Book

симметрии. Если этот тензор обладает еще одной плоскостью зеркальной симметрии, ортогональной единичному вектору m, лежащему в плоскости, натянутой на векторы d1 и d2, и не совпадающему ни с одним из этих векторов, то такой тензор обязан быть трансверсально-изотропным Θ11 = Θ22. Наконец, если имеется еще одна плоскость зеркальной симметрии, ортогональная вектору n, который не ортогонален плоскости, натянутой на векторы d1 и d2 и не лежит в этой плоскости, то такой тензор обязан быть шаровым или, что то же самое, изотропным. Итогом всего сказанного является

Теорема. Если полярный тензор второго ранга обладает двумя не ортогональными между собой плоскостями симметрии, то он является трансверсально-изотропным с осью изотропии, являющейся линией пересечения плоскостей симметрии. Если полярный тензор второго ранга обладает тремя не ортогональными между собой плоскостями симметрии, то он является изотропным.

Как было показано выше соображения симметрии дают очень много информации о строении рассматриваемого тензора. Эти соображения легко воспринимаются интуицией и способствуют ясной визуализации, в частности, тензора инерции. Проблема, однако, в том, что интуиция ничего не знает о тензоре инерции, ибо в Природе такого объекта самого по себе не существует. Тензор инерции возник в результате принятого способа описания (моделирования) природных объектов. Поэтому может показаться, что все вышеприведенные рассмотрения повисают в воздухе, ибо мы лишены возможности увидеть какие-бы то ни было элементы симметрии тензора инерции. Здесь нам на помощь приходит совершенно замечательный и чрезвычайно важный в физике

Принцип Кюри–Неймана: группа симметрии причины принадлежит группе симметрии следствия.

Применительно к тензорам инерции речь идет о следующем. Тензор инерции абсолютно твердого тела является характеристикой этого тела, т.е. является следствием свойств тела. Тело является причиной, а его тензор инерции является следствием, вытекающем из строения самого тела. Вот на этом этапе и вступает в действие интуиция. Мы видим реальное тело и знаем о распределении массы внутри этого тела. Поэтому мы в состоянии увидеть (интуитивно ощутить) элементы симметрии реального тела. По Принципу Кюри–Неймана мы можем утверждать, что эти элементы симметрии обязательно принадлежат группе симметрии следствия, т.е. тензора инерции. Вместе с тем, Принцип Кюри–Неймана не утверждает, что группа симметрии следствия совпадает с группой симметрии причины, первая может быть значительно шире второй. Например, реальное тело может вообще не обладать плоскостями зеркальной

симметрии. Но тензор инерции, согласно теореме о спектральном разложении, обязательно обладает тремя плоскостями зеркальной симметрии, ортогональными собственным векторам тензора инерции.

Обратимся к вычислению тензоров инерции конкретных тел и посмотрим, чем нам помогут соображения симметрии.

5.8. Тензоры инерции конкретных тел

Центральный тензор инерции полого шара из однородного материала.

Рассмотрим шар радиуса a с концентрической полостью радиуса b. Шар выполнен из равномерно распределенного однородного материала. Масса шара равна m. Эйлеров тензор инерции вычисляется по формуле (5.5.2)

Θ = − (r − rc) × E × (r − rc) d m(r) =

(m)

В принципе, можно вычислить этот интеграл и найти тензор инерции. Но мы будем поступать иначе. У рассматриваемого шара любая плоскость, содержащая центр шара, является плоскостью зеркальной симметрии. Таким образом, реальный шар обладает несчетным множеством плоскостей зеркальной симметрии, включая тройки неортогональных между собой плоскостей. По Принципу Кюри–Неймана эти плоскости должны принадлежать к плоскостям зеркальной симметрии следствия, т.е. тензора инерции. Это возможно только для изотропного тензора инерции. Иными словами, тензор инерции полого шара имеет вид

Θ = Θ E tr Θ = 3Θ. (5.8.2)

Чтобы найти тензор инерции, нам достаточно вычислить только одно число — момент инерции Θ. Для этого нет нужды вычислять тензорный интеграл (5.8.1). Достаточно вычислить скалярный интеграл

(5.8.3) Осталось вычислить интеграл по массе. Будем поступать следующим образом. Объем полого шара равен 4π(a3 − b3)/3. Следовательно, массовая плотность равна 3m/4π(a3 − b3). Весь объем, занятый телом, разделим на тонкие

концентрические слои толщины d ρ. Масса одного слоя вычисляется по формуле

Используя этот результат, формулу для момента инерции (5.8.3) переписываем в виде одномерного интеграла

Θ = 2m(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4). 5(a2 + ab + b2)

Для сплошного шара при b = 0 получаем Θ = 2ma2/5.

Тензор инерции шара относительно полюса, не совпадающего с центром шара. При вычислении этого тензора мы должны воспользоваться теоремой Гюйгенса–Штейнера (5.5.5). В данном случае она принимает вид

где l — расстояние от полюса до центра шара, e есть единичный вектор,

направленный от полюса к центру шара или наоборот.

Тензор инерции шара с шаровой, но не концентрической полостью. Рассмотрим шар с шаровой полостью, центр которой не совпадает с центром основного шара. Радиус шара равен a, радиус полости равен b. Пусть m есть масса шара с полостью. Вычислим тензор инерции шара с полостью относительно центра основного шара. Это, разумеется, уже не центральный тензор инерции. Начало системы отсчета поместим в центр основного шара. По определению эйлерова тензора инерции имеем

где m1 есть масса дополнительного материала, необходимого для заполнения полости. Первый интеграл в правой части этого выражения дает нам центральный тензор инерции шара без полости. Второй интеграл дает нам тензор инерции сплошного шара массой m1 относительно центра основного шара.

Оба тензора инерции мы уже умеем вычислять. Первый тензор инерции дается формулой (5.8.2), а второй тензор инерции определяется формулой (5.8.4). Поэтому выражение (5.8.5) окончательно принимает вид

где l есть расстояние между центрами основного шара и полости, а e есть направление от центра шара к центру полости.

Центральный тензор инерции однородного кругового цилиндра. Рассмотрим сплошной цилиндр радиуса a и высотой h. Очевидно, что у него есть две неортогональные плоскости зеркальной симметрии, пересекающиеся по оси цилиндра. Это означает, что его тензор инерции является трансверсальноизотропным с осью изотропии, совпадающей с осью цилиндра. Общий вид такого тензора дается выражением

Чтобы найти тензор инерции, достаточно вычислить осевой λ и экваториальный μ моменты инерции. Начало системы отсчета расположим в центре масс цилиндра. Вектор положения типичной точки цилиндра представим в виде разложения

r = ρ + ze, |r|2 = |ρ|2 + z2, z = r · e, 0 ≤ |ρ| ≤ a, −h/2 ≤ z ≤ h/2.

Подставляя определение эйлерова тензора инерции (5.8.1) в формулы для

При вычислении осевого момента весь цилиндр представим как совокупность концентрических слоев малой толщины. Масса этого слоя вычисляется по формуле

Тогда осевой момент инерции определяется одномерным интегралом

При вычислении экваториального момента инерции область, занятую цилиндром, удобно разбить на цилиндры высотой dz. Масса такого цилиндра равна

Теперь экваториальный момент инерции согласно (5.8.6) вычисляется посредством интеграла

Таким образом, центральный тензор инерции кругового цилиндра имеет

Если радиус цилиндра устремить к нулю, то выражение (5.8.) дает центральный тензор инерции тонкого стержня. Если положить λ = μ, то центральный

m.

Центральный тензор инерции однородного параллелепипеда. Вычислим центральный тензор инерции однородного параллелепипеда со сторонами a, b, c. Начало системы отсчета разместим в центре масс. Здесь также имеются три плоскости зеркальной симметрии, но они взаимно ортогональны. Поэтому тензор инерции параллелепипеда имеет более сложный вид

где векторы dk параллельны ребрам параллелепипеда. Вектор r представим в виде разложения

Здесь также достаточно вычислить три одномерных интеграла, если использовать рассуждения предыдущего пункта. Вычислим, например, интеграл по массе от функции x2

Аналогично вычисляются и два остальных интеграла. Окончательно для центрального тензора параллелепипеда имеем

Заканчивая этот пункт, обращаем внимание на то, что не следует торопиться с переходом от интегрирования по массе к интегрированию по объему. При интегрировании по массе следует активно использовать аддитивность тензора инерции по массе тела. Особенно важно полностью учитывать это обстоятельство при вычислении тензоров инерции составных тел.

Глава 6.

Воздействия

6.1. Основная аксиома механики

Отправной идеей в механике является представление о том, что в инерциальных системах отсчета закрытые тела, т.е. тела, не обменивающиеся частицами с окружающей средой, меняют характер своего движения только в результате влияния других тел. Если рассматриваемое тело изолировано (одинокое во всем мире по выражению Л. Эйлера), то тело самопроизвольно не может менять характер своего движения. Это интуитивное представление само по себе не может стать основой рациональной науки, ибо термин “характер движения” неопределен. Выше было введено понятие тела, которое определялось посредством задания неких динамических структур: кинетической энергии, количества движения, кинетического момента. Позднее будет введена дополнительная структура, называемая внутренней энергией тела. В рациональной механике при использовании термина “тело” подразумевается задание указанных выше структур. Все свойства тела должны быть отражены в этих структурах. Поэтому в рациональной механике нельзя говорить о заряженном теле, если в динамических структурах отсутствует параметр, характеризующий заряд тела. К этой важной мировоззренческой проблеме мы еще будем неоднократно возвращаться в дальнейшем. Сейчас нас интересует вопрос, какие-же из этих величин определяют то, что было названо характером движения. Этот вопрос не так прост, как может показаться с первого взгляда. Сначала ограничимся рассмотрением простейшего тела — материальной точки. Несколько десятилетий продолжалась дискуссия о том, что именно определяет характер движения у материальной точки: кинетическая энергия или количество движения (понятие кинетического момента тогда не существовало, да оно и не важно для материальной точки). Декарт и его последователи (картезианцы) полагали, что определяющим является количество движения, хотя правильно написать количество движения они не умели, поскольку векторная природа скорости в то время была еще не до конца ясной. Лейбниц и

его последователи настаивали на том, что определяющим свойством является кинетическая энергия. Значительно позднее выяснилось, что применительно к изолированной материальной точке этот спор не имеет значения, поскольку правыми оказываются и те, и другие. Ситуация резко меняется, если мы говорим о телах общего вида. Механика ценой усилий многих и многих исследователей накопила громадный опыт решения самых различных задач. Этот опыт отчетливо показывает определяющую роль количества движения и кинетического момента тела. Время еще не пришло, а может и никогда не придет, говорить о том, кто и какой вклад внес в решение этой проблемы. Ясно только то, что первый и во многом все определяющий шаг был сделан Л. Эйлером. В настоящее время принято считать, что движение тела определяется его количеством движения и кинетическим моментом. Поэтому можно отказаться от традиционного (правильного, но длинного и довольно запутанного) подхода и принять нижеследующую аксиому, которая является неким дополнением к принципу инерции Галилея, распространяя его на тела общего вида.

Основная аксиома механики: в инерциальной системе отсчета любое изолированное (одинокое во всем мире) тело A движется так, что его количество движения и кинетический момент сохраняются неизменными.

Обычно эту аксиому предпочитают доказывать как теорему, но при этом введение воздействий становится расплывчатым и ведет к неясностям в трактовке сил и моментов.

Посмотрим, что дает основная аксиома механики, если ее применить к системе материальных точек. Последняя характеризуется заданием кинетической энергии K, количества движения K1 и момента количества движения K2, вычисленного, например, относительно начала в системе отсчета

Основная аксиома утверждает, что количество движения системы материальных точек в отсутствии других тел сохраняется неизменным

Утверждением (6.1.2) фиксируется следующая

Теорема: центр масс изолированной системы материальных точек движется в инерциальной системе отсчета с постоянной скоростью.

Основная аксиома утверждает также сохранение, т.е. постоянство, момента количества движения изолированной системы материальных точек. Преобразуем момент количества движения к другому виду. С этой целью введем

сформулирована И. Ньютоном, но особенно отчетливо она представлена у Л. Эйлера [78]. Для реализации этой идеи в механике вводятся специальные структуры, называемые воздействиями, и являющиеся первичными понятиями. Долгое время полагали, что воздействия сводятся к силам. Физики1 и до сих пор считают это мнение атрибутом механики. Иногда думают, что первичные понятия не требуют определения. Это заблуждение. На самом деле первичные понятия вводятся определением их свойств. Введение воздействий опирается на основную аксиому механики. А именно, принимаются следующие определения воздействий.

Определение: в инерциальной системе отсчета причина изменения количества движения закрытого тела A обусловлена исключительно наличием других тел, выражается посредством полярного вектора и называется силой F (A, Ae), действующей на тело A со стороны его окружения Ae.

Определение: в инерциальной системе отсчета причина изменения кинетического момента закрытого тела A, вычисленного относительно опорной точки Q, обусловлена исключительно наличием других тел, выражается посредством аксиального вектора и называется моментом MQ (A, Ae), действующим на тело A со стороны его окружения Ae. При этом момент MQ (A, B), действующий со стороны тела B на тело A, вычисляется по

где RQ определяет положение опорной точки Q; вектор RP — определяет произвольно выбираемую точку B, называемую точкой приведения; вектор LP (A, B) называется собственно моментом — он зависит от выбора точки приведения P, но не зависит от выбора опорной точки Q. Полный момент MQ (A, B) по определению не зависит от выбора точки приведения.

Силы и моменты сложны для восприятия начинающим. Трудность в том, что силы и моменты выражают совершенно конкретные физические идеи, являющиеся первичными понятиями и не поддающиеся математической формализации, но вполне доступные для объективного восприятия на интуитивном уровне. Ключом к пониманию сил и моментов являются следующие утверждения:

а) сила F (A, B) — это реакция тела B на изменение положения тела A; б) момент LP (A, B) — реакция тела B на повороты тела A вокруг точки

приведения P.

Для того, чтобы интуитивно ощутить наличие силы F (A, B) необходимо проделать следующую мысленную процедуру: 1) удалить из Вселенной все те-

1Чтобы ясно увидеть различие в точках зрения механики и физики на понятие воздействий, читателю полезно обратиться, например, к книге [14] и сравнить сказанное там с изложенным в данной книге.