Zhilin_Fundamental_Laws_Book

92 Глава 3. Кинематика: спинорные движения

которые немедленно следуют из (3.1.3). Поэтому для взаимных векторов Em имеем

XmS = ( RS − RQ) · Em = gmn( RS − RQ) · En == gmn( RS − RQ) · (RAn − RQ) =

gmn( rS − rQ) · (rAn − rQ) = gmn( rS − rQ) · en = (rS − rQ) · em = xmS . (3.2.16)

Здесь также использовано равенство (3.1.3). Теперь равенство (3.2.5) может быть переписано в виде

RS(t) = RQ(t) + xmS Em(t) = RQ(t) + Em(t)[em · (rS − rQ)] =

= RQ(t) + (Em(t) em) · ( rS − rQ) .

где

Итак, мы ввели в рассмотрение некий объект P(t), являющийся совокупностью диад. Подобные объекты называются тензорами второго ранга, т.е. P(t) есть тензор второго ранга. Равенство (3.2.17) внешне совпадает с основным уравнением кинематики абсолютно твердого тела (3.2.6). Однако в теореме утверждается нечто большее, нежели в (3.2.17). Во-первых, тензор P(t) должен удовлетворять условиям (3.2.7). Во-вторых, тензор P(t) не должен зависеть от выбора точек Q, A1, A2, A3 в абсолютно твердом теле. Ни первого, ни второго мы еще не доказали. Докажем сначала, что P(t), определенный равенством (3.2.18), есть ортогональный тензор. Заметим, что

Операция транспонирования тензора и другие простейшие операции с тензорами второго ранга описаны в [18]. Напомним также, что для любой тройки линейно независимых векторов am справедливо тождество

E = am am = am am,

где E - единичный тензор 2-го ранга. Следовательно, для троек em и Em имеем

E = Em Em = Em Em = em em = em em.

Теперь находим

Тензоры, удовлетворяющие этому условию, называются ортогональными.

Понятие определителя тензора второго ранга введено в [18]. Из последнего равенства вытекает, что

Дифференцируя равенство (3.2.22) по времени, получаем

Заметим, что из (3.2.23) это равенство не вытекает, поскольку, в принципе, знаки в (3.2.23) могут меняться с течением времени. Однако (3.2.24) показывает, что это невозможно. Если в какой-то момент времени det P = +1, то он будет равен этому значению во все другие моменты времени. Тензор P(t) согласно (3.2.20) зависит от отсчетного и актуального положений тела. Рассмотрим его в момент времени t = τ, когда актуальное и отсчетное положения совпадали. Тогда

Ортогональные тензоры, определитель которых равен (+1), называются собственно ортогональными тензорами или тензорами поворота. Итак, тензор P(t), входящий в (3.2.17), является тензором поворота, что и утверждается в условии теоремы. Осталось доказать, что этот тензор не зависит от выбора точек Q, A1, A2, A3 в абсолютно твердом теле. Вообще говоря, из определения

тензора поворота (3.2.18) это обстоятельство формально не очевидно, поскольку точки Q и Am в нем присутствуют в явном виде. Покажем теперь, что P(t) не зависит от выбора точек Ak теле. С этой целью выберем какие-либо другие три точки Ak такие, что точки Q, Ak не лежат в одной плоскости. В точности повторяя все рассуждения, ведущие к представлению (3.2.19), вводим в

рассмотрение тензор

Здесь мы сначала воспользовались (3.2.27), а затем формулами (3.2.28). При этом мы убедились, что тензор P, построенный с помощью точек Q, Ak совпадает с тензором P , построенном с помощью точек Q, Ak . Поскольку выбор точек Ak и Am был совершенно произволен, то тензор P не зависит от выбора этих точек. Осталось показать, что тензор P(t) не зависит от полюса Q в теле. С этой целью запишем равенство (3.2.17) для двух точек A и B

где тензор P может, в принципе, зависеть от выбора полюса Q, что и указано в (3.2.29) явно.

Вычитая в (3.2.29) из первого равенства второе, получаем

RA(t) − RB(t) = P(t, Q) · (rA − rB).

Левая часть этого равенства не зависит от точки Q. Следовательно, и правая часть не зависит от точки Q. А это означает, что тензор P(t) не зависит от выбора точки Q. Основная теорема кинематики абсолютно твердого тела полностью доказана. Доказательство, хотя и длинное, но вполне элементарное. После того, как читатель убедился, что теорема и в самом деле правильна, он вполне может забыть о доказательстве и наслаждаться основным уравнением кинематики абсолютно твердого тела (3.2.6), извлекая из него массу полезнейших результатов.

Обсудим некоторые свойства движения абсолютно твердого тела, вытекающие из основной теоремы кинематики (3.2.6). Тензор поворота P(t) описывает поворот тела из отсчетной ориентации в актуальную. Если актуальная ориентация тела совпадает с отсчетной (независимо от положения тела в системе отсчета), то тензор поворота P(t) равен единичному тензору P = E. Если при движении тела его ориентация в пространстве не меняется, то P(t) = E при всех t. При таком движении из (3.2.6) следует, что все точки тела испытывают одинаковые смещения, определяемые вектором перемещения u(t)

Напомним, что S — это любая интересующая нас точка тела. Движение (3.2.30) называют плоско–параллельным. В этом движении все точки тела движутся по сколь-угодно сложным траекториям, но все эти траектории одинаковы и могут быть совмещены друг с другом жестким переносом. При этом все материальные отрезки в теле перемещаются оставаясь параллельными своим положениям во все моменты времени. Иными словами, ориентация тела при плоско–параллельном движении не меняется. Плоско–параллельное движение есть типичный пример трансляционного движения в чистом виде, когда все точки твердого тела меняют свои положения в пространстве. Полное движение тела, как показывает (3.2.6), есть композиция трансляционного и спинорного движений. При последнем полюс Q тела не меняет своего положения в пространстве, но само тело поворачивается вокруг полюса, меняя свою ориентацию в пространстве. Все сказанное является совершенно очевидным. Тем не менее, основная теорема кинематики не является ни самоочевидной, ни тривиальной. В самом деле, совсем не очевидно, что этот способ описания не зависит от выбора полюса в теле. Могло бы случиться и так, что при изменении выбора полюса у нас менялся бы и поворот (т.е. менялся бы тензор поворота) тела вокруг этого нового полюса. Однако теорема утверждает, что это не так, а тензор поворота не зависит от выбора полюса.

3.3. Тензор поворота и вектор поворота

Тензор поворота является характеристикой спинорного (вращательного) движения тела и может изучаться как вполне самостоятельный объект, не связанный с абсолютно твердым телом. Сейчас читателю полезно вернуться к тем параграфам книги [18], которые посвящены ортогональным тензорам и тензорам поворота. Ниже будут сообщены некоторые дополнительные сведения. В книге [18] была доказана теорема Эйлера, утверждающая, что любой поворот может быть реализован как поворот вокруг оси, натянутой на некоторый единичный вектор m, на некоторый угол θ. В математической форме теорема Эйлера выражалась так

Q(θ m) = (1 − cos θ) m m + cos θ E + sin θ m × E, −π < θ < π. (3.3.1)

Стандартное для данной книги обозначение Q(θ m) означает поворот на угол θ вокруг оси m. Обратим внимание, что ось поворота не привязана к каким-либо точкам тела или точкам системы отсчета. Фактически осью поворота является любая прямая из семейства параллельных прямых, натянутых на вектор m. На первый взгляд это обстоятельство кажется странным. В самом деле, если, например, цилиндр вращается вокруг собственной оси, то именно ось цилиндра и хотелось бы считать осью поворота, а вовсе не произвольную прямую, параллельную оси цилиндра. Тем не менее, определение оси поворота как семейства параллельных прямых, не только оправдано, но и необходимо. Представим себе, что мы рассматриваем вращение цилиндра в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга. В одной системе отсчета ось цилиндра покоится и ее естественно назвать осью поворота. В другой же системе отсчета ось цилиндра движется и в разные моменты времени совпадает с разными прямыми в системе отсчета. Поворот цилиндра абсолютен и одинаков во всех инерциальных системах отсчета, поэтому и характеристики поворота не должны зависеть от выбора инерциальной системы. Если читатель тщательно обдумает все сказанное, то он поймет, что только данное выше определение оси поворота является допустимым и совместимым с принципом независимости от выбора системы отсчета.

Достоинством представления (3.3.1) является то, что оно содержит все необходимые величины в явном виде. Использование тензора поворота начнем с двух простых иллюстраций.

Задача. Повернуть вектор d = a i + b j + c k, где i, j, k — ортонормированная тройка векторов, вокруг вектора 2 i + 3 j + 4 k на угол π/3.

Решение. В данной задаче нам задана ось поворота — это прямая, натя-

Тензор поворота потому и имеет такое название, что при действии на вектор d он поворачивает его заданным образом. Таким образом, повернутый вектор d — это вектор d , определяемый формулой

Вычисляя скалярное и векторное произведения, входящие в (3.3.4), получаем

√

m · d = (2a + 3b + 4c)/ 29,

√

m × d = − [(4b − 3c) i + (2c − 4a)j + (3a − 2b) k] / 29.

Подставляя эти выражения в (3.3.4) и собирая члены при одинаковых ортах, получаем

Как видим, операция поворота вектора d привела к относительно громоздким выражениям для координат повернутого вектора, но все вычисления при

этом носили стандартный характер и легко проверяемы.

Упражнение. Построить решение данной задачи каким-либо способом (их много), не использующими тензора поворота. Сравнить оба подхода с точки зрения простоты и надежности получения конечного результата.

3.4. Вектор поворота

Тензор поворота, записанный в форме (3.3.1), не имеет каких-либо ограничений и может применяться всегда, т.е. описание поворотов с помощью тензора второго ранга является наиболее общим. Тем не менее, интуитивным образом поворота является не тензор второго ранга, а некий спин-вектор. В самом деле, чтобы задать поворот в его, так сказать, чистом виде, мы должны задать ось в пространстве (системе отсчета), направление и величину поворота, т.е. задать так называемый спин-вектор [18]. Спин-вектору по стандартным правилам можно сопоставить аксиальный вектор, называемый вектором поворота. Итак, вектором поворота уместно назвать вектор

где единичный вектор m определяет ось поворота, а величина θ задает угол поворота в радианах. Если поворот происходит против часовой стрелки при взгляде с конца m, то в правоориентированной системе отсчета θ > 0, но в левоориентированной системе отсчета этот же поворот считается отрицательным θ < 0. Поскольку поворот выражает реальное явление, то наличие двух способов его описания возможно только при условии, что эти два способа связаны взаимно однозначным образом. Иными словами, тензор поворота может быть выражен через вектор поворота и, наоборот, вектор поворота может быть вычислен по тензору поворота. Проще всего решается первая задача. В самом деле, принимая во внимание определение вектора поворота (3.4.1), выражение (3.3.1) переписываем в следующем эквивалентном виде

Хотя выражение (3.4.2) эквивалентно (3.3.1), тем не менее оно выявляет одно важное свойство. А именно, в (3.3.1) θ есть угол поворота и может иметь любой знак. Аналогично может восприниматься величина θ в (3.4.2). Однако здесь она может восприниматься иначе. Заметим, что справедливы тождества

Поэтому в (3.4.2) величину θ можно рассматривать как модуль вектора поворота θ. Отсюда следует, что тензор поворота действительно выражается только через вектор поворота без дополнительных разговоров, необходимых при использовании (3.3.1), где θ нельзя отождествить с модулем вектора поворота. Выражение (3.4.2) удобно записать в другой форме. Введем в рассмотрение кососимметричный тензор

который будем называть логарифмическим тензором поворота. Смысл этого названия будет понятен немного ниже. Кроме того, имеем тождество

Используя (3.4.4) и (3.4.5), выражение (3.4.2) переписываем в виде

Представлением (3.4.6) тензор поворота определен как функция логарифмического тензора поворота, причем θ можно выразить через норму тензора R. Действительно, нормой тензора A называется величина

Кстати, обратим внимание, что норма тензора поворота

√ √Q = tr ( Q · QT ) = tr E = 3

всегда одинакова и никак не характеризует величину поворота. Выражение (3.4.6) в приложениях часто бывает удобнее, нежели (3.3.1) или (3.4.2). Оно любопытно еще как пример тензорной функции тензорного аргумента. Функцию (3.4.6) можно записать в другом и, в некотором смысле, более знакомом виде. Хорошо известна скалярная функция скалярного аргумента

Скалярную экспоненту exp x можно определять разными способами. Один из наиболее распространенных способов состоит в том, чтобы определить ее

с помощью ряда

∞

exp x = k1!xk. (3.4.8)

k=0

Известно, что этот ряд имеет бесконечный радиус сходимости и абсолютно сходится вместе со всеми своими производными. Функцию (3.4.8) легко обобщить на тензорный случай. Пусть дан тензор второго ранга A. Определим

тензорную экспоненту

∞

exp A = 1 Ak, (3.4.9)

k=1 k!