Zhilin_Fundamental_Laws_Book

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

(ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ)

П.А. ЖИЛИН

3.3.Тензор поворота и вектор поворота . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.Вектор поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.8.Теорема о представлении тензора поворота . . . . . . . . . . . . 109

3.9.Дифференцирование тензоров второго ранга . . . . . . . . . . . 114

3.10.Угловая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.11.Тензор спина и вектор угловой скорости . . . . . . . . . . . . . 117

3.12. Определение поворота по угловой скорости . . . . . . . . . . . 122

3.13.Вращение вокруг фиксированной оси . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.14.Связь угловой скорости с вектором поворота . . . . . . . . . . . 128

3.15.Угловая скорость композиции поворотов . . . . . . . . . . . . . 132

3.16.Скорости и ускорения точек твердого тела . . . . . . . . . . . . 138

3.17.Качение цилиндра по плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.18. Качение конуса по конусу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.18.1.Классическое решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.18.2.Альтернативное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.18.3.Определение поворотов в классическом решении . . . . 150

3.19.Шарнир Гука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.3.Инерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.4.Системы отсчета и системы координат . . . . . . . . . . . . . . 171

4.5.Трансляционные и спинорные движения . . . . . . . . . . . . . 172

5.1.Тела-точки и их размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.2.Тела и их динамические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.3.Классическая модель абсолютно твердого тела . . . . . . . . . . 187

5.4. Квазитвердое тело и его структуры . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.5.Тензоры инерции твердого тела и их свойства . . . . . . . . . . 196

5.6.Вычисление тензоров инерции простейших тел . . . . . . . . . 203

5.7.Группы симметрии. Принцип Кюри–Неймана . . . . . . . . . . 206

5.8.Тензоры инерции конкретных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.1.Основная аксиома механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.2.Силы и моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3.Мощность внешних воздействий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.1.Общая формулировка второго закона динамики . . . . . . . . . 249

8.2.Перманентные вращения твердого тела . . . . . . . . . . . . . . 252

8.3.Теорема об изменении момента количества движения . . . . . . 253

8.4.Иллюстрация неполноты механики Ньютона . . . . . . . . . . . 255

8.5. Динамические уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.6.Свободные вращения твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.7.Движение твердого тела в центральном поле тяготения . . . . . 264

8.8.Реакция в опоре свободно вращающегося тела . . . . . . . . . . 268

8.9.Быстровращающийся гироскоп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.3.Общая формулировка уравнения баланса энергии . . . . . . . . 282

9.4.Материальная точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

9.4.1.Классическая материальная точка . . . . . . . . . . . . . 287

9.4.2.Материальная точка, обладающая теплоемкостью . . . . 290

9.4.3. Материальная точка переменной массы . . . . . . . . . 295

9.5.Система материальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9.6.Система двух материальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

9.7.Механика и второй закон термодинамики . . . . . . . . . . . . . 319

Предисловие

У большинства выпускников технических вузов складывается устойчивое мнение о том, что теоретическая механика — это давно законченная и уже закрытая глава науки, что в ней нет места для развития и новых открытий. Между тем, классическая механика в XX веке развивалась весьма интенсивно

ипретерпела существенные изменения. Главное изменение связано с переходом на фундамент эйлеровой механики, являющейся естественным развитием ньютоновой механики. При этом все, что было достигнуто ранее, полностью сохраняется и не требует никаких изменений. Основное отличие эйлеровой механики от ньютоновой механики заключается в более полном и последовательном учете спинорных движений. Уравнения баланса количества движения

икинетического момента становятся независимыми законами. Понятие силы сохраняется, но момент уже не полностью определяется силами, а является самостоятельной сущностью. В дополнение к классической эйлеровой механике в данном курсе добавлен еще один фундаментальный закон — уравнение баланса энергии. Соответственно, в рассмотрение введены такие понятия, как внутренняя энергия, температура, энтропия и химический потенциал. Все они вводятся на элементарных примерах чисто механических задач.

Цель, которую ставил перед собой автор, заключается в том, чтобы представить современную рациональную механику в том виде, как она создавалось

исовершенствовалось на протяжении трех тысячелетий многими поколениями творцов, включая тех, кого не принято возводить в ранг великих. При этом автор стремился к предельной простоте изложения и тщательно избегал необязательной математической формализации. Под простотой понимается достаточно подробное изложение, но никак не упрощение фундаментальных понятий. Упрощенное изложение фундамента механики было бы оправданным, если бы в программах высшей школы был бы представлен полный курс рациональной механики. К сожалению, этого нет. Многочисленные спецкурсы по механике широко используют весьма непростые фундаментальные понятия механики в предположении, что эти понятия уже были введены ранее, что не соответствует действительности. В результате, многие важнейшие понятия остаются, по существу, чисто интуитивными представлениями с неясной областью применимости. В качестве общеизвестных примеров таких понятий

отметим понятия воздействий, энергии, температуры, энтропии. Более того, сложился устойчивый миф о том, что классическая механика базируется на трех законах Ньютона, хотя неполнота ньютоновой механики была указана Л. Эйлером еще в конце XVIII века. Более общая эйлерова механика с активным применением основных понятий термодинамики широко используется в научных исследованиях с конца XIX века, но до сих пор не отражена в существующих учебниках. Ограниченность ньютоновой механики ярко проявилась

вее неспособности дать полноценное описание явлений электромагнетизма, а в начале XX века к ним добавились явления, которые в настоящее время принято описывать в рамках квантовой физики. В настоящее время уже стало очевидным, что главной причиной ограниченности ньютоновой механики является игнорирование в ней спинорных движений, играющих главную роль

вмикромире. Поэтому переход механики на фундамент эйлеровой механики стал настоятельной необходимостью. В настоящее время фундамент механики существенно расширен и укреплен. В данном курсе автор видел свою задачу

втом, чтобы представить этот укрепленный фундамент механики в максимально ясной форме. При этом важно было подчеркнуть эволюционный и преемственный характер развития основных идей механики.

При изложении механики существует трудно преодолимое искушение как можно скорее перейти к демонстрации уникальных возможностей механики при решении конкретных задач, составляющих золотой фонд механики, принося при этом в жертву ясное описание основных понятий и фундаментальных законов рациональной механики. Существующие книги и учебники по механике, как правило, делают свой выбор в пользу экскурсии по золотой кладовой механики. В результате и сложилось мнение о том, что с фундаментальной точки зрения механика является завершенной главой современной науки, которая неспособна описывать, например, явления микромира. Многочисленные конкретные приложения механики могут быть изложены в спецкурсах механики. Но ни в одном спецкурсе не обсуждаются понятия времени и пространства, понятия сил и моментов, общие формулировки фундаментальных законов, понятия энергии, температуры, энтропии, химического потенциала и т.д. В спецкурсах все эти понятия широко используются, но остаются непонятными подлинный смысл и происхождение этих понятий. Более того, нетрудно убедиться, что все перечисленные фундаментальные понятия остались за рамками уже устоявшихся наук: механики, физики, термодинамики. В настоящее время ситуация такова, что единственным курсом, в котором уместно и возможно вводить эти понятия, является курс “Теоретическая механика”, назначение которого служить введением в рациональную механику и рациональную физику. Конечно, можно попытаться в рамках курса “Теоретическая механика” на-

учить студентов методам решения практических задач. Добиться этого можно, но только в результате жертвы, а именно ценой отказа от обсуждения фундаментальных понятий, ибо на то и другое времени просто не хватает. Жертва велика, а каковы плоды? Они не столь значительны и, к тому же, стремительно обесцениваются. В современном мире компьютерных технологий многие традиционные методы решения практических задач необратимо девальвируются.

Данное учебное пособие является непосредственным продолжением книги автора “Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве” [18], в которой содержался материал первого семестра курса “Теоретическая механика”. В пособии излагается большая часть содержания второго семестра курса, посвященная обсуждению фундаментальных понятий механики. Однако в пособие вошли и некоторые вопросы, которые изучались в первом семестре. К ним относятся первые три главы данного пособия. В частности, законы равновесия тел изучались сразу после изложения векторного языка и преследовали две цели: первая — предварительное знакомство с понятиями сил и моментов и вторая — тренировка в работе с векторами. После этого в первом семестре вводились тензоры второго ранга и изучалась кинематика, т.е. вторая и третья главы данного пособия. Оставшиеся семь глав данного пособия включают обсуждение фундаментальных законов механики и по времени занимают примерно три четверти второго семестра. Заключительная часть второго семестра и весь третий семестр посвящены обсуждению конкретных разделов механики, т.е. обсуждению и применению наиболее употребительных моделей, используемых в механике. Эти вопросы остались за рамками данного пособия.

Автор многим обязан своему Учителю — Анатолию Исаковичу Лурье, под влиянием которого формировалось научное мировоззрение автора. Автор выражает благодарность профессору В.А. Пальмову за неизменную научную поддержку, в том числе и при работе над этим курсом. Автор благодарен академику РАН Н.Ф. Морозову, профессорам Д.А. Индейцеву и П.Е. Товстику за помощь, важность которой может оценить только сам автор.

Разумеется, ответственность за все неточности и другие недостатки данного курса механики полностью лежит на авторе.

Глава 1.

Законы равновесия тел

Последовательное изложение законов статики и введение воздействий опирается на фундаментальные законы механики и будет рассмотрено позднее. Однако исторически статика, т.е. учение о равновесии, была разработана независимо от законов динамики и в относительно завершенном виде была представлена в книге Вариньона “Новая механика” (1725). Учение Вариньона было позднее усовершенствовано и в настоящее время оно обрело почти каноническую форму в учебниках механики. Эта форма вполне достаточна для правильного решения практических задач. Тем не менее, принятую форму учения о равновесии трудно признать удовлетворительной в теоретическом отношении. Поэтому излагаемая ниже трактовка учения о равновесии сильно отличается от того, что представлено в традиционных учебниках. Это касается прежде всего списка базовых понятий. Ниже не используются такие термины, как главный вектор сил, точка приложения силы, равнодействующая системы сил, эквивалентные системы сил и целый ряд других терминов. Понятие силы как вектора ввел Саймон Стевин в 1580 г. Можно сказать иначе. Понятие вектора возникло из желания описать понятие силы. Именно тогда С. Стевин установил закон для сложения сил, который вошел в науку как правило параллелограмма для сложения векторов. Поэтому изложение статики непосредственно после введения понятия вектора — см. [18] — можно рассматривать и как первые приложения векторного языка в механике, и как начальное изучение понятия воздействий. При этом важно понять, что векторный язык изучен не тогда, когда усвоены основные операции с векторами, а тогда, когда изучающий научится описывать на векторном языке элементы окружающего его мира.

1.1.Воздействия: силы и моменты

Вмеханике изучаются движение и равновесие материальных тел. Под телами, вообще говоря, понимаются материальные образования различной природы и строения. Например, в качестве тела может выступать объем газа или жидкости, заключенный внутри некоторой воображаемой замкнутой поверхности. Выделенную систему материальных точек также можно рассматривать как тело. Телами являются нити, стержни, твердые деформируемые тела, абсолютно твердые тела и многое другое. Однако в данной главе в качестве основного тела у нас будут фигурировать абсолютно твердые тела. Кроме того, в данной главе равновесие тела будет пониматься как состояние покоя в выбранной системе отсчета. Но если тело покоится, то всякое тело можно воспринимать как абсолютно твердое тело. Эту идею часто называют принципом замораживания.

Рассмотрим некоторое тело A, в которое мы можем включить все, что пожелаем. Все остальные тела во вселенной назовем окружением тела A и обозначим символом Ae. Центральной идеей в механике является представление о том, что влияние окружения Ae на само тело A можно моделировать заданием

пары векторов: вектора силы и вектора момента. Силу, действующую со стороны окружения Ae на тело A, будем обозначать символом F(A, Ae). К сожалению, принятое обозначение может ввести в заблуждение. В математике символ F(x, y) служит для обозначения векторной функции двух скалярных аргументов. Например, F(x, y) = sin x m + cos y n. Если мы теперь запишем функцию F(x, y2/x), то это означает следующее F(x, y2/x) = sin x m + cos(y2/x) n. Эти стандартные в математике соглашения не принимаются в обозначении силы. Например, F(A, B) — это сила, действующая со стороны тела B на тело A, а F(A, C) — это сила, действующая со стороны тела C на тело A. При этом тела A, B нельзя воспринимать как аргументы функции F. В частности, сила F(A, B) может не иметь ничего общего с силой F(A, C). В механике сила является первичным понятием и не выражается в терминах других понятий. Отсюда не следует, что первичные понятия вообще не определяются. Это не так. Первичные понятия определяются как объекты с заданными свойствами, причем последние вводятся аксиоматически.

Силы наделяются следующими свойствами:

1. Сила F(A, B) является свободным полярным вектором и моделирует силовое воздействие тела B на тело A.

2. Сила F(A, B) аддитивна по телам, составляющим тело B

F(A, B) = F(A, C D) = F(A, C)+F(A, D), B = C D, C D = (1.1.1)

где символ “ ” следует воспринимать как союз “и”.