Zhilin_Fundamental_Laws_Book

Вычисляя по (2.4.5) скорость, получаем

где t(sA) — единичная касательная к кривой в точке с координатой sA. Из (2.4.6) видим, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. По (2.4.6) мы можем вычислить вектор ускорения

Здесь мы воспользовались формулой (2.4.3). Первое слагаемое в правой части (2.4.7) называется тангенциальным ускорением, а второе — нормальным ускорением. Из (2.4.7) видим, что если траектория имеет кривизну, то ускорение точки A отлично от нуля. В частности при равномерном движении точки A по траектории (s˙A = const, s¨A = 0), ускорение точки A отлично от нуля.

2.4.1. Движение частицы по окружности

Это движение уже было описано выше и задавалось выражением (2.3.26)

Здесь параметрическое уравнение траектории задано в функции параметра ϕ — угловой координаты. Чтобы задать уравнение в зависимости от дуговой координаты s, необходимо воспользоваться выражением

С другой стороны, по (2.4.8) имеем

Здесь вектор единичной касательной определяется выражением

t = − sin ϕ m + cos ϕ n.

Сравнивая (2.4.9) и (2.4.10), получаем, что ds = adϕ или s = aϕ. В данном случае результат был очевиден заранее. Действительно, длина дуги окружности s связана с угловой координатой ϕ соотношением s = aϕ, как это известно из школьного курса математики. Однако показанный здесь путь нахождения дуговой координаты s верен всегда, но далеко не всегда ведет к столь очевидному результату. Дальнейшее описание можно не приводить, поскольку оно следует из выражения (2.4.8) при замене ϕ = s/a.

2.4.2. Полет камня в поле силы тяжести

Рассмотрим задачу о прицельном метании камня. Обратим внимание, что эту задачу на интуитивном уровне умеет решать большинство мальчишек, которые ловко, но не всегда с благими намерениями, поражают выбранные цели. Здесь мы хотим рассмотреть эту задачу на интеллектуальном уровне, что в состоянии выполнить только те, кто получил соответствующее образование. При этом, забегая далеко вперед, мы воспользуемся известным из школьного курса физики вторым законом Ньютона:

Масса × Ускорение = Сила.

Понятия массы и силы также считаем (позднее эти понятия будут введены по возможности строго) интуитивно понятными из школьного курса физики. Поскольку камень бросается на малое расстояние, то Земля может считаться плоской, что совершенно недопустимо, например, при запуске баллистической ракеты на расстояние порядка 10 тысяч километров. Впрочем, полет ракеты имеет мало общего с полетом камня, поскольку ракета имеет собственные двигатели. Горизонтальное направление будем задавать единичным вектором n. Натянем на этот вектор прямую, расстояние вдоль которой будем задавать координатой x. Значению x = 0 отвечает точка, из которой бросается камень в положительном направлении n. Вертикальное направление будем задавать единичным вектором k, направленным вверх. На этот вектор натянем прямую, расстояние вдоль которой будем определять посредством координаты y. Точка y = 0 соответствует условно плоской поверхности Земли. Векторы n и k ортогональны между собой. Таким образом, положение камня в полете определяется радиус-вектором R(t)

Его скорость и ускорение определяются выражениями

соответственно. В полете на камень действует сила тяготения Земли, которая вычисляется по формуле

F = −mgk,

где m и g суть масса камня и ускорение свободного падения. Знак минус в выражении для силы показывает, что сила направлена вертикально вниз. Кроме силы тяжести на камень в полете действует сила трения камня о воздух, но влиянием силы трения мы, простоты ради, пренебрежем. Запишем теперь второй закон Ньютона

Здесь нам дан не сам закон движения камня, а только уравнение, которому он удовлетворяет. Чтобы найти закон движения, нам необходимо решить уравнение (2.4.13), которое выражено в дифференциальной форме. В таких случаях говорят, что необходимо проинтегрировать уравнение (2.4.13). Вообще говоря, нахождение решений дифференциальных уравнений представляет собой довольно сложную математическую проблему, но в данном случае уравнение (2.4.13) является очень простым и без труда интегрируется. Для этого достаточно знать, что производная от постоянного вектора равна нулю.

где постоянный вектор a может быть любым.

Здесь мы сталкиваемся с важнейшей особенностью, возникающей при отыскании решений дифференциальных уравнений. А именно, само по себе дифференциальное уравнение (2.4.13) не позволяет найти однозначного решения. Удивляться этому не приходится. В самом деле, уравнение (2.4.13) определяет изменение скорости камня в процессе полета. Однако любой мальчишка знает, что при прицельном метании многое определяется тем, как именно он кинет камень, и какую скорость (по величине и по направлению) он сообщит этому камню. На языке математики подобного рода информация называется начальными условиями. В уравнении (2.4.13) эта информация не содержится. Таким образом, чтобы найти однозначное решение задачи, необходимо знать не только закон (в данном случае второй закон Ньютона (2.4.13)), управляющий поведением камня в полете, но и начальные условия. Возможность выполнения начальных условий обеспечивается появлением в решении дифференциального уравнения неких произвольных элементов, называемых произвольными постоянными интегрирования. В решении (2.4.15) роль произвольной постоянной интегрирования играет постоянный вектор a. Обратим внимание, что в левой части (2.4.15) стоит функция времени, а в правой его части стоит постоянный вектор. Смысл последнего обнаруживается, если записать решение (2.4.15) в начальный момент времени t = 0, т.е. в момент времени, когда камень покидает руку бросающего. Тогда получим

76 Глава 2. Кинематика: трансляционные движения

Вновь получили дифференциальное уравнение, но уже более низкого порядка. В отличие от (2.4.13) в это уравнение входит только первая производная от радиус-вектора. При этом в (2.4.17) уже содержится информация о начальных условиях, т.к. в него входит начальная скорость камня. Уравнение (2.4.17)

где b есть произвольный постоянный вектор.

Для определения этого вектора необходимо вновь использовать начальные условия. А именно, нам необходимо знать начальное положение камня. Из (2.4.18) мы видим, что b = R(0) = 0, поскольку место вылета камня мы приняли за начало отсчета. Теперь (2.4.18) можно переписать в виде

Это выражение полностью описывает полет камня. Впрочем, необходимо иметь в виду, что решение (2.4.19) справедливо на ограниченном интервале времени. В самом деле, все знают, что полет прекращается, когда камень упадет на землю или даже раньше, если камень упадет, например, на балкон

дома.

Упражнение. Формально говоря, в выражении (2.4.19) содержится вся необходимая информация. Поэтому может показаться, что задача полностью решена. Это иллюзия. На самом деле, если иметь в виду какие-либо полезные цели, решение задачи с получением (2.4.19) только начинается. Начинающему весьма полезно, на основе (2.4.19), проанализировать ситуацию применительно к стрельбе из дальнобойного орудия и найти ответы на следующие вопросы. Каковы время полета снаряда и дальность его полета? Что определяет дальность полета? Понятно, что масса снаряда должна влиять на дальность его полета. Тогда почему в (2.4.19) не входит масса снаряда? Как поразить цель с заданными координатами? Полезно придумать дополнительные вопросы. Цель этого упражнения состоит не в том, чтобы тренироваться в вычислениях, а в том, чтобы читатель убедился, что его интуиция (здравый смысл) и математические вычисления находятся в полном согласии между собой.

Вернемся к траекторному описанию движения. Представим вектор V0 в виде разложения

V0 = Vnn + Vkk.

Тогда вместо (2.4.19) будем иметь

R(t) = Vntn + (Vkt − 12gt2)k.

Исключая отсюда время с помощью первого уравнения, получаем

Уравнение (2.4.22) определяет траекторию, но определяет ее не через параметр s, т.е. длину дуги траектории, а посредством координаты x.

2.5. Движение спутника Земли по круговой орбите

Рассмотрим задачу о движении спутника Земли по круговой орбите. Наше рассмотрение будет в высшей степени схематичным, поскольку мы просто изучаем различные типы движения, а не решаем реальные задачи. Запуск спутника осуществляется следующим образом. Спутник устанавливается на баллистической ракете–носителе, которая стартует с Земли и на расчетной высоте отстреливает спутник с заданной скоростью V0. Далее спутник движется по инерции в поле тяготения Земли. Траектория этого движения определяется начальными условиями, т.е. положением и скоростью спутника в момент отделения спутника от ракеты–носителя. В процессе движения на спутник действует только сила тяготения Земли.

Введем обозначения: m — масса спутника, M — масса Земли, Rg — радиус Земли, H — высота, на которой спутник отделяется от ракеты. В полете на спутник действует сила, определяемая по закону всемирного тяготения

где G — универсальная гравитационная постоянная; R — расстояние от центра Земли до спутника. Согласно второму закону Ньютона имеем

Получили нелинейное уравнение для определения вектора R(t), определяющего положение спутника относительно центра Земли, которую считаем

неподвижной. Принимаем, что спутник движется по плоской орбите, которая, очевидно, лежит в плоскости, натянутой на векторы R0 и V0. Введем в этой плоскости единичные ортогональные векторы m и n такие, что

Поскольку мы считаем, что спутник движется по круговой орбите, то для вектора положения R(t) имеем

где r = const. Угол ϕ(t) определяет положение спутника на орбите. Скорость и ускорение спутника вычисляются по формулам

Подставляя (2.5.4) и (2.5.5) в уравнение (2.5.2), получаем

−rϕ˙ 2(cos ϕn + sin ϕm) + rϕ¨ (− sin ϕn + cos ϕm) = −GMr2 (cos ϕn + sin ϕm). (2.5.6)

Заметим теперь, что векторы

имеют единичную длину и ортогональны между собой. Умножая обе части уравнения (2.5.6) скалярно на второй из векторов (2.5.7), получаем, что

Обратим внимание, что мы не использовали начальное условие по скорости. Это означает, что начальную скорость нельзя задавать произвольно, если мы хотим, чтобы спутник двигался по круговой орбите. Согласно (2.5.10) имеем

ограничения и рассмотрим более общую ситуацию. Сохраним обозначения предыдущего пункта. Задача сводится к нахождению решения уравнения

Сначала покажем, что векторы положения R(t), удовлетворяющие уравнению (2.6.1), при всех t лежат в одной и той же плоскости. Для этого векторно умножим обе части уравнения (2.6.1) на вектор R(t). В результате получим

Если вектор L умножить на массу тела, то он будет определять момент количества движения, но это понятие будет введено только в следующей главе.

Таким образом, мы видим, что вектор положения (t) и вектор скорости ˙ (t)

R R

всегда лежат в одной и той же плоскости, нормаль к которой совпадает с постоянным вектором L. В самом деле, умножая (2.6.3) скалярно на R(t),

Отсюда следует, что R(t) лежит в плоскости, ортогональной L. Легко видеть, что эта плоскость натянута на векторы R(0) и V0. Если векторы R(0) и V0 не лежат на одной прямой, то эта плоскость находится однозначно. Выберем в этой плоскости пару единичных ортогональных векторов m и n таких, что

R0 = R(0)n, m · n = 0.

Введем в рассмотрение единичные векторы

Видим, что они ортогональны между собой. Смысл векторов er и eϕ хорошо знаком тем, кто уже изучил полярную (цилиндрическую) систему координат; но сейчас мы будем использовать их совершенно формально. Вектор R(t), определяющий положение тела относительно Земли, будем искать в виде

Векторы скорости и ускорения находятся по выражениям