Zhilin_Fundamental_Laws_Book

дифференциальные операторы, и в конце предыдущей главы. Там же обсуждается принцип материальной объективности, где идет речь о замене системы отсчета.

4.5. Трансляционные и спинорные движения

Как уже неоднократно отмечалось в предыдущей главе, существуют два принципиально различных вида движения: трансляционные и спинорные. Первые определяются заданием векторов положений и описывают перемещения (трансляции) тел в системе отсчета. Спинорные движения определяются заданием функций времени, значениями которых являются собственно ортогональные тензоры размерности три. Сопутствующие спинорным движениям характеристики (векторы поворота, угловые скорости и т.д.) описываются с помощью понятия аксиального вектора, прообразом которого являются объекты, называемые ниже спин-векторами. Именно спин-векторы являются прямыми носителями физического содержания того или иного спинорного понятия. Чтобы определить спин-вектор необходимо в теле отсчета задать прямую, называемую осью спин-вектора, и в плоскости, ортогональной оси, задать круговую стрелку, охватывающую ось. Длина этой круговой стрелки называется модулем спин-вектора, а направление стрелки показывает направление поворота или вращения. Спин-векторы очень удобны для работы на интуитивном уровне, но на формальном уровне удобнее работать не с ними, а с так называемыми аксиальными векторами, сопоставляемыми по определенному правилу спин-векторам. Принятие этого правила называется ориентацией системы отсчета. Каждому спин-вектору a сопоставляется “обычный” вектор a:

1)a расположен на оси спин-вектора a ,

2)модуль a равен модулю a ,

3)a направлен так, чтобы при взгляде с его конца круговая стрелка спинвектора показывала движение либо против хода часовой стрелки (правоориентированная система отсчета), либо по ходу часовой стрелки (левоориентированная система отсчета).

Векторы, сопоставляемые по указанному правилу спин-векторам, называются аксиальными. Видим, что аксиальные векторы не зависят от выбора системы координат и не меняются при замене правой системы координат на левую и наоборот. Таким образом в ориентированной системе отсчета действуют два типа вектора (направленных отрезков): одни из них не реагируют на изменение ориентации системы отсчета и называются полярными, а другие при изменении ориентации умножаются на (− 1) и называются аксиальными. Спинорные движения определяются заданием собственно ортогонального

Тензор P(t) ниже будет называться тензором поворота. Согласно теореме Эйлера любой тензор поворота, отличный от E, однозначно представим в виде

где единичный вектор m = m(t), является неподвижным вектором тензора P(t), т.е. P(t) · m(t) = m(t), а угол θ = θ(t) называется углом поворота.

Вектор θ = θ(t)m(t) называется вектором поворота. Справедливо представление

где тензор R = −RT называется логарифмическим тензором поворота. Представление (4.5.3) часто оказывается необходимым при исследовании,

например, устойчивости. Все эти понятия подробно обсуждались в предыдущей главе.

векторы ω и Ω называются левой (истинной) и правой угловыми скоростями соответственно. Удобно пользоваться левым и правым уравнениями Пуассона

Вдинамике твердого тела вектор ω принято называть угловой скоростью

впространстве, а вектор Ω — угловой скоростью в теле.

Глава 5.

Тела и их динамические структуры

Следующим шагом после введения инерциальных систем отсчета является введение объектов, с которыми имеет дело рациональная механика. При этом важно подчеркнуть, что рациональная механика не понимает словесных формулировок. Например, слова “материальная точка” или “абсолютно твердое тело” остаются пустым звуком для рациональной механики до тех пор, пока они не определены посредством тех или иных математических структур. Ситуация здесь в точности напоминает работу на компьютере. Можно сколь угодно долго уговаривать компьютер решить какую-либо проблему. Но если эта проблема не сформулирована в понятных для компьютера терминах, то компьютер безжалостно откажет нам в нашей мольбе. Рациональная механика в этом отношении не отличается от компьютера. Поэтому наша задача в данной главе как раз и состоит в том, чтобы задать исходные объекты механики на языке, понятном для рациональной механики.

5.1.Тела-точки и их размерность

Сдревних времен прослеживается стремление свести все тела к неким совокупностям первичных неделимых тел — атомов. В настоящее время имеется много оснований полагать, что это невозможно. Тем не менее, идея первичных тел оказалась весьма полезной и плодотворной. При этом само первичное тело можно определять по разному. Поскольку первичное тело нельзя определить через уже известные понятия, то оно вводится посредством задания неких математических структур. Например, в ньютоновой механике первичным объектом является материальная точка, движение которой полностью характеризуется заданием одного вектора положения R(t) в некоторой инерциальной системе отсчета. По вектору положения стандартным образом находится ско-

рость = ˙ . Далее материальная точка наделяется следующими динамиче- v R

Здесь величина K называется кинетической энергией, K1 называется количеством движения, величина KQ2 называется моментом количества движения, вычисленным относительно опорной точки Q. В кинетическую энергию входит скалярный параметр m, называемый массой. Масса считается объективной характеристикой материальной точки, т.е. она не зависит от выбора системы отсчета и, следовательно, не может зависеть от скорости. В то же время, кинетическая энергия, количество движения и момент количества движения не объективны и меняются при переходе к другой системе отсчета. Это означает, что сами по себе они не могут описывать объективную реальность, которая вообще ничего не знает ни о каких системах отсчета. Поэтому законы механики, имеющие своей целью изучение реальности и формулируемые с использованием динамических структур, должны иметь специальный вид, гарантирующий независимость получаемых результатов от выбора системы отсчета. Обратим внимание на то, что никакие эксперименты не могут ни подтвердить, ни опровергнуть правильность динамических структур (5.1.1). В частности, никто и никогда не измерял кинетическую энергию, хотя ее можно вычислить по измеряемым величинам. Тем не менее, это одна из важнейших структур в механике. Динамические структуры материальной точки, как это видно из выражений (5.1.1), предельно просты, но они очень долго и трудно утверждались в механике. Можно только поражаться тому, что такой простой первичный элемент позволяет ньютоновой механике объяснить огромное количество явлений, в том числе и весьма трудных. В то же время ньютонова механика оказалась неспособной адекватно описывать электричество и магнетизм и многие другие явления микромира. Впрочем, и в пределах макромира ньютонова механика иногда вынуждена привлекать чуждые ей элементы и допускать логические противоречия. Например, законы статики абсолютно твердого тела в рамках ньютоновой механики получить невозможно, но они, тем не менее, используются и приводят к правильным результатам. На неполноту ньютоновой механики впервые указал Л. Эйлер еще в 1771 г., но и по настоящее время это обстоятельство не учитывается в должной мере в учебниках механики и, особенно, физики.

Материальную точку можно назвать бесспиновой частицей, поскольку она не реагирует на спинорные движения. Видимо, можно утверждать, что динамические структуры (5.1.1) дают наиболее общую модель бесспиновой части-

где симметричный тензор второго ранга m A называется тензором инерции. Тензор инерции любого тела, в том числе и материальной точки, должен

быть объективной характеристикой тела. Это означает, что при повороте тела тензором поворота P тензор инерции должен поворачиваться вместе с телом, т.е. должно выполняться условие

A = P · A0 · PT ,

где тензор A0 вычислен в отсчетном положении, т.е. не зависит от движения. Динамические структуры (5.1.2) при подобном задании тензора инерции кажутся интуитивно неприемлемыми, поскольку они реагируют на поворот, но не реагируют на интенсивность поворота, т.е. на угловую скорость. Хотя чисто умозрительно модель (5.1.2) кажется допустимой, но она ведет к множеству неприятностей при попытке ее использовать. Только в том случае, когда тензор A является единичным, т.е. модель (5.1.2) переходит в модель материальной точки, все неприятности исчезают. Желательно, конечно, найти простые и убедительные аргументы, заставляющие отбросить модель (5.1.2). Так или иначе, но в данной книге на основании огромного опыта, накопленного в механике, в качестве безальтернативной модели бесспиновой частицы

рассматривается модель материальной точки.

В эйлеровой механике в качестве исходного объекта вводится тело-точка, которое реагирует не только на трансляционные, но и на спинорные движения. Такое тело-точку будем называть односпиновой частицей. Относительно односпиновой частицы считается, что она существует и занимает нулевой объем в теле отсчета. Движение односпиновой частицы определено, если заданы ее вектор положения R(t) и тензор поворота P(t). Трансляционная и угловая скорости тела-точки находятся по формулам

Определение: кинетической энергией односпиновой частицы называется

где тензоры второго ранга mB, mC называются тензорами инерции односпиновой частицы, а скалярный множитель m выделен просто для удобства и называется массой тела.

Тензоры инерции, будучи объективными характеристиками тела-точки, должны зависеть от тензора поворота

где B0, C0 — значения тензоров инерции в отсчетном положении, т.е. при тех значениях t0, при которых P(t0) = E.

В принципе, на выражение для кинетической энергии налагаются очень слабые требования: C = CT и (5.1.5). Кроме того, потребуем, чтобы квадратичная форма (5.1.4) была бы положительно определенной

Условие (5.1.6) будет выполнено, если тензор C− BT ·B положительно определен и m > 0. В ряде идеализированных задач можно вместо (5.1.6) принимать более слабое условие неотрицательности тензора C − BT ·B. Например, кинетическая энергия односпиновой частицы в виде цилиндра бесконечно малого радиуса (в пределе нулевого радиуса) не зависит от составляющей угловой скорости вдоль оси цилиндра. Но при этом теряется единственность решения, а проекция угловой скорости на ось цилиндра остается неопределенной.

Придавая тензорам инерции те или иные значения, приходим к различным исходным объектам. Поэтому посредством квадратичной формы (5.1.4) вводятся не только те тела-точки, которые традиционно рассматриваются в механике, но и множество других тел-точек. Ниже будет приведен пример тела-точки, которое не встречается в механике. Кинетическая энергия (5.1.6) содержит десять независимых параметров: массу m, шесть инвариантов тензора B и три собственных числа симметричного тензора C.

Определение: число независимых параметров, определяющих кинетическую энергию тела-точки и не зависящих от движения тела-точки, называется размерностью тела-точки.

Материальная точка характеризуется всего одним параметром. Поэтому размерность материальной точки равна единице A = E, B = C = 0, причем единственным параметром является масса. Размерность абсолютно твердого тела, модель которого будет рассмотрена в следующем параграфе, равна четырем: B = 0, C — центральный тензор инерции; параметрами являются масса и три главных центральных момента инерции. Размерность частиц, необходимых для построения электродинамики, заведомо больше четырех. В общем

случае, размерность частицы (5.1.4) равна 10. Следовательно, квадратичная форма (5.1.4) описывает 10! = 3628800 различных частиц. Правда, многие из них образуют классы эквивалентности и потому не различаются.

Определение: количеством движения K1 тела-точки называется линейная форма скоростей

Несколько более сложным понятием является понятие кинетического момента, которое в случае материальной точки сводится к понятию момента количества движения. При определении кинетического момента в рассмотрение вводится некая точка в теле отсчета Q, которая выбирается произвольно, но неподвижна относительно тела отсчета. Эту точку Q в дальнейшем будем называть опорной.

Определение: кинетическим моментом KQ2 тела-точки, вычисленным относительно опорной точки Q, зафиксированной в данном теле отсчета, называется линейная форма скоростей, вычисляемая по формуле

= m [ (R(t) − RQ) × (v + B · ω) + v · B + C · ω] . (5.1.8)

Здесь первое слагаемое в правой части называется моментом количества движения тела-точки, а второе слагаемое, т.е. величина m (v · B + C · ω), называется собственным кинетическим моментом или, короче, динамическим спином тела-точки.

В качестве чисто иллюстративного примера этого пункта приведем пример воображаемого тела-точки, кинетическая энергия которого задается выражением

где m — масса тела-точки; J — момент инерции, q есть новый параметр, который не встречается в телах-точках, используемых в классической механике.

Иными словами, параметр q определяет некое новое свойство частицы, которое условно будем называть зарядом. Этим примером мы хотим подчеркнуть, что новые свойства частиц нельзя вводить голословно, но они должны описываться теми или иными параметрами в динамических структурах, которые определяют тело-точку. Например, если мы хотим ввести такие свойства частицы, как “шарм”, “заряд” и т.д., то это должно быть отражено в динамических структурах частицы. Кинетическая энергия, по определению, является положительно определенной функцией своих аргументов, что для формы

(5.1.9) обеспечивается условиями

m > 0, m J − q2 > 0.

В качестве опорной точки выберем начало в теле отсчета. Тогда количество движения и кинетический момент тела-точки (5.1.9) определяются выражениями

Как видим, и эти структуры не встречаются в классической механике. Забежав вперед, рассмотрим движение этой частицы по инерции. Основная аксиома механики утверждает, что количество движения и кинетический момент частицы должны сохранять постоянные значения

mV + qω = mV0 + qω0 ≡ a = a e, R × a + qV + Jω = qV0 + Jω0 ≡ b.

(5.1.11) Здесь принято, что R(0) = 0, V(0) = V0, ω(0) = ω0. Сделаем замену

переменных

Второе из этих уравнений есть линейное дифференциальное уравнение для вектора r. Его правая часть линейно зависит от времени. Поскольку скорость не может расти во времени, то линейно растет со временем только вектор r. Нетрудно найти эту растущую часть r. Для этого сделаем еще одну замену переменных

В данном случае нам достаточно частного решения этого уравнения. Смысл уравнения (5.1.14) нетрудно понять: оно обеспечивает ограниченность во времени слагаемого R × a, входящего во второе из уравнений (5.1.11). Для вектора z(t) по второму уравнению системы (5.1.13) получаем

Вектор R(t) показывает, что частица движется по спирали. Если начальные условия подобрать так, чтобы выполнялось равенство

a · V0 = mV02 + qω0 · V0 = 0,

то движение частицы по инерции будет происходить по окружности, как это утверждали древние и, в частности, Пифагор. Для вектора скорости имеем выражение

Видим, что трансляционная и угловая скорости частицы постоянны по модулю, но переменны по направлению, т.е. движение частицы по инерции остается равномерным, но не прямолинейным. В этом примере следует обратить внимание, что в инерциальной системе отсчета движение изолированной частицы (тела-точки) по инерции не обязательно является прямолинейным. Разумеется, речь идет не о классической частице. Но ведь никто не доказал, что, например, электрон является классической частицей (материальной точкой). Этот пример показывает, что в классической механике таятся огромные, еще не изученные, возможности. Здесь возможны ситуации, которые с первого взгляда могут показаться неправдоподобными. Тем не менее, они не более неправдоподобны, чем те “чудеса”, которые происходят в микромире. Заметим, кстати, что чем глубже мы погружаемся в микромир, тем важнее становится роль спинорных движений и тем незначительнее становится роль трансляционных движений.

В заключение этого пункта введем понятие многоспиновой частицы. Здесь мы не будем вдаваться в детали, а ограничимся общим представлением о многоспиновой частице. Пусть дана частица, движение которой определяется заданием ее вектора положения R(t) и набором независимых тензоров поворота Pm(t), m = 0, 1, . . . , n. При этом частица обладает n + 1 спином. Ее

можно представить себе как несущее тело, в котором закреплены n роторов, вращающихся относительно несущего тела. Тензор P0(t) характеризует поворот несущего тела. Тензоры Pm(t), m = 1, 2, . . . , n характеризуют абсолютные повороты каждого из роторов. Движение многоспиновой частицы характеризуется набором скоростей

Кинетическая энергия, как всегда, является квадратичной формой скоростей

Тензоры Bm и Ckm называются тензорами инерции. Количество движения многоспиновой частицы находится по формуле

Кинетический момент вычисляется следующим образом

Практическое использование этих формул нуждается в дополнительных пояснениях, которые здесь не приводятся, поскольку в данной книге основное внимание будет уделяться эйлеровой механике в ее простейшей форме. Однако позднее будет продемонстрировано применение многоспиновых частиц, где и будут даны необходимые детали.

Кинетическая энергия, количество движения и кинетический момент исчерпывают список динамических структур тела-точки.

5.2.Тела и их динамические структуры

Вмеханике любое тело рассматривается как совокупность неких первичных тел-точек. Например, в ньютоновой механике всякое тело рассматривается как совокупность материальных точек. Нет оснований отказываться от этой традиции. Однако здесь имеются проблемы, которые до сих пор не получили ясного разрешения. Все было бы очень просто, если бы была возможность ограничиться первичными телами-точками только одного типа, как это и делается в ньютоновской механике. На самом деле ситуация сложнее. Во-первых,