Zhilin_Fundamental_Laws_Book

ческая энергия может переходить во внутреннюю энергию и консервироваться в теле. Возможны и обратные переходы.

Итак, выше введена новая характеристика тела, называемая полной энергией тела и представляемая в виде разложения (9.2.1). Для полной энергии постулируется, что она аддитивна по телам, составляющим рассматриваемое тело A

Обратим внимание, что полная и внутренняя энергии аддитивны по телам, в то время как кинетическая энергия аддитивна не только по телам, но и по массе. Аддитивность внутренней энергии по телам, а не по массе, необходима, ибо в механике часто используются идеализированные тела, лишенные массы, но способные запасать энергию. Такова, например, модель безынерционной упругой пружины, способной накапливать внутреннюю энергию, но не обладающей кинетической энергией.

9.3. Общая формулировка уравнения баланса энергии

Несмотря на то, что выше было произнесено много слов в тщетной попытке объяснить, что такое полная или внутренняя энергия тела, тем не менее далеко мы не продвинулись. Поэтому пора обратиться к точной3 формулировке уравнения баланса, посредством которого понятие полной энергии вводится в рациональную механику.

Уравнение баланса энергии: скорость изменения полной энергии тела A равна мощности N(A, Ae) внешних воздействий на тело A плюс скорость

Особо следует подчеркнуть, что скорость подвода энергии δ(A, Ae) от внешних источников является свойством тела A. Причем это свойство тела

3Со временем эта формулировка претерпит существенные изменения, когда будет осознано, что энергия тела A на самом деле обусловлена скрытой материей, которая пока не принимается во внимание. Фактически будет существенно расширено само представление о теле A.

не зависит от наличия (или отсутствия) внешних источников и не определяется ими. Величина δ(A, Ae) предполагается4 аддитивной как по телам, составляющим тело A, так и по телам, составляющим окружение

δ(B C, Ae) = δ(B, Ae)+δ(C, Ae), δ(A, D E) = δ(A, D)+δ(A, E). (9.3.2)

Внешняя простота формулировки уравнения баланса энергии не должна вводить в заблуждение. Для правильного применения уравнения баланса энергии необходимо иметь ясное представление о характере исследуемых процессов, т.е. необходимо иметь достаточно хорошо развитую интуицию. Впрочем, во многих практически важных случаях применение уравнения баланса энергии не вызывает затруднения, ибо в механике и физике уже накоплен богатейший опыт, дающий ясные указания на то, как правильно записать уравнение баланса энергии в том или ином конкретном случае. Однако пройдет еще немало времени до того момента, когда с уравнением баланса энергии будут работать с той же легкостью, как со вторым законом Ньютона.

Как уже неоднократно отмечалось, сложившаяся традиция не включает уравнение баланса энергии в список фундаментальных законов механики. Означает ли это, что понятие энергии не используется в классической механике? Ответ, разумеется, категорически отрицательный. Понятие энергии играет важнейшую роль в классической механике, хотя уравнение баланса энергии не привлекается. Возникает кажущееся противоречие, которое следует устранить. С этой целью введем в рассмотрение понятие механической энергии. Последний термин в качестве строгого понятия в литературе не используется, хотя и применяется в описательно-интуитивном смысле. Введение понятия механической энергии опирается исключительно на законы динамики. Для простоты мы воспользуемся только первым законом динамики, т.е. ограничимся рамками ньютоновой механики. Обобщение на случай эйлеровой механики не вызывает никаких затруднений.

Рассмотрим хорошо изученный в механике случай тела, являющегося совокупностью материальных точек неизменной массы. Здесь полная энергия рассматриваемого тела A дается выражением

n

E(A) = 1 m ˙ · ˙ + U(A).

kRk Rk

2 k=1

Мощность внешних воздействий дается выражением (6.3.2), которое для тела, составленного из бесспиновых частиц, имеет вид

n

k=1

4На самом деле это не предположение, а доказуемое утверждение, если, конечно, уравнение (9.3.1) постулировано.

Рассмотрение начнем с доказательства теоремы об изменении кинетической энергии. Выпишем первый закон динамики применительно к каждой из материальных точек, входящих в тело A (i, m = 1, 2, . . . , n)

Если обе части каждого из уравнений (9.3.3) скалярно умножить на со-

которая утверждает, что скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности внутренних и внешних воздействий.

В приведенной формулировке эта теорема не вводит никаких новых понятий. Кроме того, она включает в себя такое понятие, как мощность внутренних сил, о которых, как правило, мало что известно. Поэтому теорему об изменении кинетической энергии целесообразно трансформировать в уравнение баланса механической энергии.

Примем, что и внутренние, и внешние силы частично обладают потенциалом

где функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внутренних сил и является характеристикой тела A; функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внешних сил и характеризует окружение тела A; непотенциальные силы f (Ai, Ak) и f (Ai, Ae) обычно называются диссипативными силами, ибо они, как правило, отвечают за рассеяние энергии.

Используя представления (9.3.4), умножая скалярно обе части уравнения

где

Первое слагаемое в правой части (9.3.5) отвечает за диссипацию энергии внутри тела A, а второе слагаемое отвечает за диссипацию энергии в окружающую среду. В обоих случаях речь идет о диссипации энергии, осуществляемой посредством сил. Ранее мы видели и увидим далее, что имеются и другие пути диссипации энергии. Термин “диссипация энергии внутри тела” не вполне удачен. Точнее было бы сказать так: “Первое слагаемое в правой части (9.3.5) отвечает за необратимые переходы энергии внутри тела из одной формы в другую”. Но другие формы энергии у нас еще, по существу, не введены. Поэтому к обсуждению этого вопроса мы вернемся позднее. Посмотрим на выражение механической энергии (9.3.6). Оно состоит из двух неравноправных частей. Первая часть есть сумма кинетической энергии тела и потенциала внутренних сил. Последний можно было бы назвать внутренней энергией тела, но это только часть внутренней энергии. Важно, что обсуждаемая первая часть механической энергии есть атрибут самого тела. Вторая часть в (9.3.6) есть потенциал внешних сил и может быть названа энергией взаимодействия тела с внешними полями. Если внутренние и внешние диссипативные силы отсутствуют, то механическая энергия сохраняется, т.е. имеем интеграл энергии

Системы, механическая энергия которых сохраняется, называются консервативными. Системы такого рода очень часто встречаются в механике.

Допустим теперь, что отсутствует только внешняя диссипация. В этом случае вместо уравнения (9.3.5) получаем

i,k=1

т.е. механическая энергия не сохраняется. Но тогда возникает вопрос куда же исчезает механическая энергия? С окружающей средой тело посредством сил и моментов не взаимодействует, а никаких других взаимодействий законы динамики не предусматривают. Здесь мы отчетливо видим недостаточность как законов динамики, так и вытекающего из них уравнения баланса механической энергии.

286 Глава 9. Уравнение баланса энергии

Обратимся к рассмотрению уравнения баланса энергии, которое для системы материальных точек записывается в виде

В уравнение баланса энергии (9.3.8), в отличие от уравнения баланса механической энергии, не входит мощность внутренних сил, но входит новое слагаемое δ(A, Ae), описывающее обмен энергией с окружающей средой и которое нельзя получить из законов динамики. Используя второе из представлений (9.3.4), уравнение (9.3.8) переписываем в виде

Энергия ET , определенная выражением (9.3.10), не имеет устоявшегося названия и в дальнейшем будет называться полной энергией расширенного тела A. Она является суммой полной энергии тела и потенциала внешних сил. Если внешние силы потенциальны, то f (Ak, Ae) = 0. Если, кроме того, энергетический обмен с внешней средой отсутствует, т.е. δ(A, Ae) = 0, то полная энергия расширенного тела сохраняется. Подчеркнем, что внутренние силы при этом могут быть диссипативными, т.е. механическая энергия тела не сохраняется. Системы, у которых сохраняется полная энергия расширенного тела, можно назвать консервативными, но этот термин уже занят. Поэтому системы такого рода будут называться квазиконсервативными.

Введем понятие тепловой энергии, которое также не является общеупотре-

Тепловая энергия тела является его внутренней характеристикой. Заметим, что потенциал внешних сил не входит в выражение тепловой энергии. Введение понятия тепловой энергии неразрывно связано с понятиями температуры и энтропии, которые ниже будут введены на элементарных примерах, демонстрирующих смысл этих понятий. Используя уравнения баланса энергии (9.3.9) и уравнение баланса механической энергии (9.3.5), получаем уравнение баланса тепловой энергии

Если энергетический обмен с внешней средой и внутренняя диссипация в теле отсутствуют, то тепловая энергия тела сохраняется. В этом случае различие между механической энергией и полной энергией расширенного тела становится несущественным. Важным является случай, когда мощность внутренних сил равна скорости отвода энергии в окружающую среду

В таком случае тепловая энергия тела также сохраняется и пропадает различие между полной энергией расширенного тела и его механической энергией. Именно этот случай является основным в классической механике, чем и объясняется традиция не включать уравнение баланса энергии в список фундаментальных законов механики. Тем не менее это всего лишь частный случай, а в общем случае правая часть выражения (9.3.12) отлична от нуля. Поэтому в общем случае уравнение баланса энергии и понятие внутренней энергии тела вводить необходимо.

9.4. Материальная точка

Чтобы проиллюстрировать применение уравнения баланса энергии, рассмотрим предельно упрощенный случай одной материальной точки. В этом примере следует обратить внимание на то, как меняется выражение для скорости подвода энергии δ(A, Ae) от внешних источников по мере наделения материальной точки новыми свойствами.

9.4.1. Классическая материальная точка

Рассмотрим материальную точку, которая обладает только неизменной массой и лишена каких-либо других свойств. Это означает, что материальная точка не способна реагировать на какие бы то ни было внешние источники энергии, т.е. скорость подвода энергии от внешних источников для нее отсутствует. Здесь следует разъяснить смысл утверждения о том, что материальная точка лишена чего-то. Реальный объект, который мы моделируем материальной точкой, нельзя наделять или не наделять какими-бы то ни было свойствами. Он обладает этими свойствами независимо от нашей воли и сознания. Однако в тех или иных случаях и по тем или иным соображениям нас могут не интересовать некоторые свойства материального объекта. В таком случае мы лишаем нашу модель этих свойств. Например, мы моделируем материальной точкой автоматную пулю. Пуля при движении по стволу автомата нагревается, но нам

кажется, что это обстоятельство слабо влияет на точность стрельбы. Поэтому при анализе точности стрельбы мы можем игнорировать способность материальной точки нагреваться. Короче говоря, свойствами наделяется модель, а не реальный объект.

Обсуждению уравнения баланса энергии целесообразно предпослать рассмотрение подхода, используемого в классической механике и вводящего в

механику понятие энергии. Выпишем первый закон динамики

m v˙ = F(A, Ae).

Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости. В результате получим

Равенство (9.4.1) утверждает, что скорость изменения кинетической энергии тела A равна мощности внешних воздействий. Это утверждение известно в классической механике под названием теоремы об изменении кинетической энергии. Эта теорема, конечно, может быть доказана для систем общего вида, а не только для материальной точки. При доказательстве теоремы об изменении кинетической энергии уравнение баланса энергии не использовалось. Допустим теперь, что одна часть внешней силы обладает потенциалом, а другая — не обладает

Обратим внимание, что потенциал всегда вводится с точностью до произвольной постоянной, т.е. прибавление к потенциалу произвольной постоянной ничего не меняет. Комбинируя определение (9.4.1.) с равенством (9.4.1), получаем уравнение баланса механической энергии

Если внешняя сила потенциальна, то механическая энергия сохраняется

Системы, механическая энергия которых сохраняется, в классической механике принято называть консервативными. Равенство (9.4.3) в классической механике называется интегралом энергии. Как видим, для получения интеграла энергии или для вывода закона сохранения механической энергии никакого

дополнительного фундаментального закона не требуется. Следует подчеркнуть, что уравнение баланса механической энергии (9.4.2) и интеграл энергии (9.4.3) играют чрезвычайно важную роль в механике, но им нельзя приписать статус фундаментальных законов. Они относятся к разряду важнейших теорем механики. Исключительно в силу традиции принято считать, что никакого другого энергетического соотношения в классической механике и не требуется. В тех случаях, когда уравнение баланса энергии все же используется в механике, то оно включается в рассмотрение под названием первого закона термодинамики, что создает ложное впечатление ограниченности механики. Но нельзя забывать, что уравнение баланса энергии впервые возникло и нашло широкое применение именно в механике. Термодинамика возникла позже, а ее законы вытекают из законов механики. Поэтому в данной книге термин “первый закон термодинамики” не применяется. Этот термин уместен в термодинамике, но не в механике.

Обратимся теперь к уравнению баланса энергии. Прежде всего возникает вопрос о связи между понятиями полной и механической энергий тела A, которое в данном случае является материальной точкой. Следует отчетливо осознать, что это совершенно разные понятия. Механическая энергия является производным понятием и определяется через введенные ранее понятия кинетической энергии и воздействий. Более того, механическая энергия не является характеристикой тела A, а зависит от внешних обстоятельств, т.е. от внешних воздействий. Полная (или внутренняя) энергия является новой характеристикой тела и описывает дополнительные свойства тела A. В рассматриваемом случае имеем

Воспользуемся теперь первым законом динамики или, что то же самое, вторым законом Ньютона: m v˙ = F(A, Ae), для исключения ускорений из уравнения баланса энергии. В результате получим так называемое приведенное уравнение баланса энергии

Таким образом, при отсутствии внешнего подвода энергии внутренняя энергия материальной точки постоянна и потому может не приниматься во внимание. Ничего нового в дополнение к классической механике мы не получили.

термометром. Способность материальной точки поглощать тепловую энергию будем описывать функцией H, которую определим посредством уравнения

Функцию H будем называть энтропией6. Принятие равенства (9.4.7) не требует никаких дополнительных предположений — это просто определение функции H. Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Выражение (9.4.7) дает повод думать, что энтропия характеризует внешний подвод энергии, а вовсе не какое-либо свойство рассматриваемого тела. Тогда, конечно, нелепо приписывать энтропию материальной точке. Фактически дело обстоит совершенно иначе. Вокруг нас могут бушевать океаны энергий различных типов, тем не менее далеко не все из них мы в состоянии воспринять. Например, человек практически не воспринимает энергии излучений, передаваемых на частотах в десятки мегагерц. Поэтому для человека эти излучения как бы и не существуют, т.е. внешний подвод энергии для него отсутствует. Но радиоприемники их прекрасно воспринимают. Дело здесь не во внешних источниках, а в различии между человеком и радиоприемником. Другой пример. Допустим, что на улице идет дождь, и мы хотим собрать воду в какую-либо емкость. Возьмем две емкости одинакового объема, но с разными диаметрами входного отверстия. Возьмем, например, литровую банку и литровую бутылку. Выставим их под дождь. Понятно, что банка наполнится значительно быстрее бутылки, и это определяется свойствами банки и бутылки, ибо дождь для них один и тот же. Точно также скорость подвода энергии от внешних источников определяется способностью тела воспринимать эту энергию. Именно способность материальной точки воспринимать тепловой поток и характеризуется энтропией. Описанную идею можно обобщить. Допустим, что подвод энергии от внешних источников есть некое излучение неизвестной природы, но поддающееся контролю. Допустим также, что материальная точка, которая может заключать в себе сложные технические устройства, способна реагировать на это излучение, и эту реакцию мы способны измерять соответствующим прибором, который можем именовать термометром. Уравнение (9.4.6) при этом никак не изменится. Мы, по-прежнему, можем назвать величину ϑ температурой, хотя обычный термометр может оказаться непригодным и нужно использовать другой прибор. Функцию H также можно продолжать именовать энтропией. Единственно важным является то, что имеется некая характеристика тела, которую мы в состоянии измерять. Для каждой такой характеристики тела можно ввести соответствующую ей энтропию. Этих способностей у тела может быть

6Энтропия одно из наиболее туманных понятий в классической физике. Важность роли энтропии в прикладных и теоретических исследованиях неоспорима, но исполнитель этой роли подобен певцу за сценой: его все слышат, но никто не видит.