Zhilin_Fundamental_Laws_Book

где функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внутренних сил и является характеристикой тела A, функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внешних сил и характеризует окружение тела A.

Непотенциальные силы f (Ai, Ak) и f (Ai, Ae) обычно называются диссипативными силами, ибо они, как правило, отвечают за рассеяние энергии. Используя представления (9.5.2), умножая скалярно обе части уравнения (9.5.1)

на вектор скорости ˙ и суммируя получившиеся уравнения, получаем

Ri

Первое слагаемое в правой части (9.5.3) отвечает за диссипацию энергии внутри тела A, а второе слагаемое отвечает за диссипацию энергии в окружающую среду. В обоих случаях речь идет о диссипации энергии, осуществляемой посредством сил. Ранее мы видели и увидим далее, что имеются и другие пути диссипации энергии. Термин “диссипация энергии внутри тела” не вполне удачен. Точнее было бы сказать так: “Первое слагаемое в правой части (9.5.3) отвечает за необратимые переходы энергии внутри тела из одной формы в другую”. Но другие формы энергии у нас еще, по существу, не введены. Поэтому к обсуждению этого вопроса мы вернемся в следующем пункте. Посмотрим на выражение механической энергии (9.5.4). Оно состоит из двух неравноправных частей. Первая часть есть сумма кинетической энергии тела и потенциала внутренних сил. Последний можно было бы назвать внутренней энергией тела, но это только часть внутренней энергии. Важно, что обсуждаемая первая часть механической энергии есть атрибут самого тела. Вторая часть в (9.5.4) есть потенциал внешних сил и может быть названа энергией взаимодействия тела с внешними полями. Если внутренние и внешние диссипативные силы отсутствуют, то механическая энергия сохраняется, т.е. имеем интеграл энергии

Системы, механическая энергия которых сохраняется, называются консервативными. Системы такого рода очень часто встречаются в механике.

Допустим теперь, что отсутствует только внешняя диссипация. В этом случае вместо уравнения (9.5.3) получаем

i,k=1

т.е. механическая энергия не сохраняется и в этом случае. Но тогда возникает вопрос куда же исчезает энергия? С окружающей средой тело посредством сил и моментов не взаимодействует, а никаких других взаимодействий законы динамики не предусматривают. Здесь мы отчетливо видим недостаточность как законов динамики, так и вытекающего из них уравнения баланса механической энергии.

Обратимся к рассмотрению уравнения баланса энергии, которое для системы материальных точек записывается в виде

Эта форма записи уравнения баланса энергии в виде (9.5.6) нуждается в дальнейших преобразованиях. Здесь, на примере системы с конечным числом степеней свободы, мы встречаемся с ситуацией, которая типична для механики сплошных сред. От уравнения (9.5.6) необходимо перейти к так называемому

приведенному уравнению баланса энергии. Для этого нужно выписать первый закон динамики применительно к каждой из материальных точек, входящих в тело A (i, m = 1, 2, . . . , n)

k=1

Исключая с помощью этих равенств ускорения из уравнений (9.5.6) и проводя простые преобразования, уравнение баланса энергии представляем в виде

В уравнение (9.5.7) не входят внешние силы, но имеется дополнительный член, описывающий скорость подвода энергии в тело и не входящий в законы динамики. Как было показано ранее, внутренние силы в системе материальных точек могут быть только центральными, т.е.

причем F (Ak, Am) = F (Am, Ak) и F (Ak, Ak) = 0.

С учетом этого условия уравнение (9.5.7) можно переписать следующим образом

Силы, действующие между частицами, можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых не зависит от скоростей изменения расстояний между частицами, а второе — зависит

F (Ak, Am) = ϕ(γkm) + ψ(γkm, γ˙ km), ϕ(0) = 0, ψ(0, γ˙ kk) = 0.

Внутренние силы, которые описываются первым слагаемым в правой части этого равенства, называются упругими. Внутренние силы, которые зависят от скоростей и описываются вторым слагаемым, называются диссипативными силами.

Теперь уравнение баланса энергии принимает вид

но это еще не приведенное уравнение баланса энергии. Чтобы получить последнее, введем измеряемые каким-либо прибором температуры материальных точек Ak, которые обозначим через ϑk, а энтропии Hk материальных точек введем с помощью равенства

Конечно, равенством (9.5.8) энтропии однозначно еще не определены, но оно позволяет записать уравнение баланса энергии в специальной форме, которая и называется приведенным уравнением баланса энергии

(9.5.9) Уравнение баланса энергии, записанное в форме равенства (9.5.9), называется приведенным уравнением баланса энергии. Подчеркнем, что приведенное уравнение баланса энергии отнюдь не является простой перефразировкой уравнения баланса энергии. При его выводе использовались, как законы динамики и следствия из них, так и дополнительные рассуждения. В частности, были введены новые функции, названные энтропиями, с помощью равенства

(9.5.8), которое не вытекает ни из каких фундаментальных законов, но которое, тем не менее, не является дополнительным постулатом. Введение равенства (9.5.8) всегда возможно, т.е. оно является определением. Поэтому приведенное уравнение баланса энергии можно назвать одной из общих теорем механики. Оно не только позволяет увидеть, от каких аргументов зависит внутренняя энергия, но и получить соотношения, аналог которых для изотермических процессов в механике сплошных сред впервые был открыт Дж. Грином (1839) и впоследствии получил название соотношений Коши–Грина9

Таким образом, если внутренняя энергия системы материальных точек задана, то мы можем вычислить упругие силы, действующие между частицами системы, и выразить температуры частиц через энтропии. Чтобы найти температуры фактически, нужно вернуться к уравнению теплопроводности (9.5.8) и конкретизировать его. К сожалению, в общем случае эта процедура довольно громоздкая. Поэтому здесь мы ее делать не будем, а в следующем пункте подробно покажем ее на примере системы, состоящей из двух материальных точек. В этом пункте сосредоточим свое внимание на случае, когда внешний подвод энергии к системе отсутствует, т.е. δ(A, Ae) = 0. Кроме того, примем, что внутри системы диссипативные силы отсутствуют: ψ(γkm, γ˙ km) = 0. Наконец, примем, что температуры всех частиц в системе одинаковы. Что будет происходить в системе при отказе от этих ограничений, мы рассмотрим в следующем пункте. При принятии сформулированных ограничений приходим к идеальной системе, состоящей из материальных точек, между которыми действуют только упругие силы, т.е. силы, не зависящие от скоростей. Такого рода система является основным объектом исследования в ньютоновой механике. В этом случае уравнение баланса энергии (9.5.7) принимает простейший вид

n

k=1

U(A) = U(R1, R2, . . . , Rn) = U(|Rk − Rm|). (9.5.11)

Тот факт, что внутренняя энергия зависит от векторов положений частиц только через расстояния между ними, следует из записи уравнения баланса энергии в форме (9.5.9) при Hk = const. Из равенства (9.5.11) следуют соотношения Коши–Грина в следующей форме

9При весьма частных допущениях аналоги этих соотношений были получены еще раньше Ж. Лагранжем.

Определение: векторы F (Ak, Am) называются потенциальными, если существует такая скалярная функция U(R1, R2, . . . , Rn), называемая потенциалом, что справедливы соотношения (9.5.12).

Соотношения Коши–Грина (9.5.12) показывают, что внутренняя энергия системы материальных точек является потенциалом для внутренних сил взаимодействия между материальными точками рассматриваемой системы. При этом внутренняя энергия определена с точностью до произвольной постоянной величины. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение баланса энергии ведет только к изменению терминологии: потенциал внутренних сил называется внутренней энергией. Поэтому вполне возможно ограничиться уравнением баланса механической энергии. Классическим примером системы материальных точек с потенциальными силами между частицами системы является наша солнечная система, в которой силы взаимодействия между планетами определяются законом Всемирного тяготения. Именно рассмотрение этой задачи впервые принесло славу механике как фундаментальной науке. Для исследования этой задачи оказалось достаточным использовать второй закон Ньютона с добавлением к нему закона Всемирного тяготения. Приведем классическую постановку этой задачи и сравним ее с тем, что вытекает из фундаментальных законов в их современной трактовке. Пусть дана система n материальных точек с массами mk, между которыми действуют силы, определяемые законом Всемирного тяготения. Запишем для каждого тела второй закон Ньютона

где G есть универсальная гравитационная постоянная, δki есть символ Кронекера.

Умножим обе части каждого из этих уравнений скалярно на вектор скорости

˙ и просуммируем все получившиеся уравнения. При суммировании правых

Rk

частей получим

где K есть кинетическая энергия системы.

При суммировании левых частей получим следующее равенство

принято называть потенциальной энергией системы. Но мы предпочитаем называть ее внутренней энергией системы. Термин “потенциальная энергия” в данной книге будет использоваться исключительно для потенциала внешних воздействий на систему. Потенциальная энергия, в отличие от внутренней энергии, не является характеристикой самой системы, а характеризует внешние обстоятельства. Поэтому лучше не смешивать эти два термина. Покажем, что функция U действительно является потенциалом для внутренних сил. Для этого понадобятся формулы

циалом для внутренних сил. Начинающим, разумеется, необходимо доказать последнюю формулу подробными выкладками.

Равенство (9.5.14) называется интегралом энергии и показывает, что полная энергия рассматриваемой системы сохраняется, т.е. для нее выполняется закон сохранения энергии. В точности этот же самый результат вытекает и из уравнения баланса энергии, но при получении (9.5.14) уравнение баланса энергии не использовалось. Приведенный метод получения интеграла энергии и способ введения понятия полной энергии чрезвычайно популярны при традиционном изложении механики. В результате может сложиться ложное мнение о том, что уравнение баланса энергии вообще не является независимым фундаментальным законом механики. Конечно, можно придерживаться и подобной точки зрения. Но при этом резко сужается сфера действия механики. Например, если придерживаться этой точки зрения, то можно вычислить, и притом весьма точно, траектории движения планет солнечной системы. Это,

разумеется, уникальный результат. Но, как хорошо известно, между планетами солнечной системы действуют не только силы гравитационного притяжения, но и потоки тепла, идущие от Солнца к планетам. Чрезвычайно важную роль играют и температуры планет и Солнца. При традиционной трактовке механики учесть эти тепловые потоки невозможно. Многие считают, что рассмотрение такого рода факторов просто выходит за рамки механики как науки, и механика не в состоянии их учесть. Так и родился миф об ограниченности механики. Автор придерживается позиции, что, во-первых, механика не имеет пределов применимости и, во-вторых, предметом рациональной механики является та часть физики, которая может быть изложена рациональными методами. В частности, современная рациональная механика располагает всеми возможностями для того, чтобы полностью включить термодинамику в свои структуры. В частности, для этого необходимо включить уравнение баланса энергии в список фундаментальных законов механики. Именно этот закон позволяет учесть как силовые, так и тепловые взаимодействия между частицами системы. Разумеется, сказанное отнюдь не означает, что отныне можно игнорировать термодинамику. Последняя имеет великие достижения и без опыта, накопленного термодинамикой, невозможно было бы правильно учесть тепловые явления в механике. Вместе с тем, следует подчеркнуть, что включение термодинамики в рациональную механику вовсе не состоит в автоматическом приписывании термодинамики к механике. Рациональная механика опирается на свои весьма жесткие принципы, которые нельзя нарушать. Не все понятия, используемые в термодинамике, можно без всяких изменений ввести в

рациональную механику. Например, понятие энтропии, введенное выше, в рациональной механике получает существенно другую интерпретацию, но при этом результаты, получаемые с помощью понятия энтропии, оказываются теми же, что и в термодинамике. Автор убежден, что недалеко то время, когда электричество и магнетизм также станут разделом рациональной механики. Не исключено, что при этом придется расширить список фундаментальных законов механики, но не исключено также и то, что этого не потребуется.

9.6. Система двух материальных точек

Поясним все сказанное на примере системы двух материальных точек. С принципиальной точки зрения в этой системе проявляются все особенности систем общего вида. Вместе с тем, в этой простой системе все уравнения можно выписать в явном виде. Цель данного пункта состоит не в том, чтобы дать полный анализ поведения системы двух материальных точек при учете тепловых эффектов. Нам важно показать, что рациональная механика вполне спо-

собна полноценно описывать и тепловые, и многие другие эффекты, нисколько не изменяя при этом своим принципам. Уж слишком легко многие авторы, особенно физики, обвиняют механику в ее принципиальной неспособности описать те или иные эффекты. При этом, как правило, под механикой понимают механику Лагранжа и Гамильтона, которая действительно не способна описать многие проблемы даже чисто механического происхождения, не говоря уже о смежных областях. Целью нижеследующего является демонстрация особенностей работы с уравнением баланса энергии. Особое внимание следует обратить внимание на тот факт, что работа с уравнением баланса энергии не сводится к выучиванью четких правил, но требует понимания существа происходящих в системе процессов. Поэтому уравнение баланса энергии является самым трудным для усвоения фундаментальным законом механики.

Итак, пусть тело A состоит из двух материальных точек B, C и некоего третьего тела D, лишенного массы, т.е. A = B C D. Уравнение баланса энергии (9.5.6) для этого случая принимает вид

Здесь принято, что на тело D со стороны окружения тела A никаких сил не действует, т.е. F (D, Ae) = 0. Для каждой из частиц можно написать первый закон динамики или второй закон Ньютона

··

m1 R1= F (B, C) + F (B, D) + F (B, Ae) ,

··

m2 R2= F (C, B) + F (C, D) + F (C, Ae) .

Кроме того, для тела D также необходимо написать законы динамики. Но поскольку оно лишено массы, то законы динамики переходят в законы статики

F (D, B) + F (D, C) = 0, R1 × F (D, B) + R2 × F (D, C) = 0.

Эти равенства лучше переписать в другой форме

F (D, B) = −F (D, C) , (R1 − R2) × F (D, C) = 0.

Видим, что справедливо равенство

F (B, D) = −F (D, B) = −F (B, D) γ−1 (R1 − R2) , γ ≡ |R1 − R2| . (9.6.2)

Используя эти равенства, уравнение баланса энергии (9.6.1) переписываем в виде

Видим, что в выражение (9.6.3) входят только внутренние силы, а внешние силы исчезли. Более того, в уравнение баланса энергии вошла только внутренняя сила, действующая на частицу B со стороны тел C и D. Здесь возможны две точки зрения. С одной точки зрения, мы могли бы вообще не упоминать безынерционное тело D и, соответственно, не рассматривать силу F (B, D), а присутствие тела D смоделировать силой F (B, C). Если тела B и C не контактируют между собой, то это означает введение в механику дальнодействующих сил. Вообще говоря, никаких сил дальнодействия в Природе не существует. В классической механике они вводятся в тех случаях, когда желают исключить из рассмотрения некие тела. Например, закон Всемирного тяготения вводит в рассмотрение дальнодействующие силы. Но можно ввести в рассмотрение гравитационное поле и рассматривать его как тело. Тогда силы гравитационного притяжения можно было бы рассматривать как контактные силы рассматриваемого тела с гравитационным полем. Именно для иллюстрации сказанного мы и ввели безынерционное тело D. Поэтому вторая точка зрения заключается в том, что существуют только контактные силы, а воздействие тела C на тело B осуществляется только через промежуточное тело D. Это означает, что F (B, C) = 0. На самом деле, только вторая точка зрения и может быть последовательно проведена в механике, ибо только в этом случае справедлива идея о том, что силы в механике моделируют присутствие других тел.

Итак, не уменьшая общности уравнение баланса энергии (9.6.3) с учетом равенства (9.6.2) можно переписать в виде

Можно доказать, что представление (9.6.5) является максимально общим для силы, действующей между двумя материальными точками. Теперь уравнение баланса энергии (9.6.3) принимает вид

Мы вплотную приблизились к формулировке приведенного уравнения баланса энергии. В предыдущем пункте температуры, измеряемые каким-либо термометром, вводились только для материальных точек, входящих в систему. Здесь мы введем в рассмотрение три температуры: ϑ1, ϑ2 и ϑ для тел B, C и D соответственно. Каждой из трех температур поставим в соответствие три

энтропии H1, H2 и H, которые выбираются так, чтобы выполнялось равенство типа (9.5.8)

Немного ниже равенство (9.6.7) будет переписано в виде трех уравнений, из которых можно будет определять температуры. Подставляя равенство в (9.6.7) в уравнение (9.6.6), приходим к приведенному уравнению баланса энергии

четырех аргументов: расстояния между частицами и трех энтропий. Это максимально общий вид внутренней энергии, возможный в системе двух материальных частиц, если, конечно, не принимаются во внимание какие-либо дополнительные излучения, отличные от тепловых. Сказанное немедленно следует из приведенного уравнения баланса энергия. Действительно, допустим, что внутренняя энергия зависит не только от указанных четырех аргументов, но и еще от одного аргумента a(t). Вычисляя производную по времени от внутренней энергии и подставляя ее в равенство (9.6.8), получаем

Следует обратить внимание, что коэффициенты при скоростях изменения независимых переменных не зависят от этих скоростей. Иными словами, левая часть последнего равенства является линейной формой скоростей. Поскольку последнее равенство должно выполняться для всех мыслимых процессов, могущих протекать в рассматриваемой системе, то все коэффициенты при скоростях должны равняться нулю. Отсюда получаем, что внутренняя энергия не зависит от аргумента a, т.е. ∂U/∂a = 010. Кроме того, получаем соотношения Коши–Грина

Часто бывает удобно работать не с внутренней энергией, а с так называемой свободной энергией, которая вводится по определению посредством преобразования

10Возможен случай, когда это не так. Если a = const, то энергия может от него зависеть. Поэтому постоянные параметры обычно и не включаются в число аргументов функции.