Zhilin_Fundamental_Laws_Book

Л. Эйлер фактически знал эти разделы математики. Практически все исследования по динамике абсолютно твердого тела основаны на использовании динамических уравнений Л. Эйлера в форме (8.5.7).

В заключение этого пункта приведем еще одну форму динамических уравнений Л. Эйлера. Поскольку тензор инерции невырожден, т.е. его определитель отличен от нуля, то он допускает построение обратного тензора. Напомним тождество [18], которое для симметричных невырожденных тензоров прини-

мает вид

(Θ · a) × (Θ · b) = (det Θ)Θ−1 · (a × b), a, b.

Умножая обе части равенства (8.5.5) на тензор Θ−1 слева и учитывая вышеуказанное тождество, получаем [92] уравнение

В некоторых случаях уравнение (8.5.8) оказывается более удобным, нежели другие формы динамических уравнений Л. Эйлера. Вернемся, например, к утверждению И. Ньютона, процитированному в предыдущем пункте. И. Ньютон говорит о равномерном вращении волчка. В предыдущем пункте мы истолковали утверждение И. Ньютона как вращение с постоянной угловой скоростью. Но можно истолковать это утверждение иначе. А именно, как вращение с постоянной по модулю угловой скоростью. Выясним, возможны ли такие вращения, если они происходят не вокруг главных осей инерции, т.е. не являются перманентными. Для этого примем, что MQ(A, Ae) = 0. Умножим уравнение (8.5.8) скалярно на правый вектор угловой скорости и получим

(8.5.9) Последнее неравенство есть условие, что вращения не являются перманентными. Из уравнения (8.5.9) видим, что вращение будет происходить равномерно, т.е. с постоянной по модулю угловой скоростью, тогда, когда два главных момента инерции у тела совпадают. Другие варианты вращений с постоянной по модулю угловой скоростью возникают в случае, когда Ωi = 0, ΩjΩk = 0, i = j = k = i. Такие вращения также не являются перманентными. Волчком обычно называют тело вращения, т.е. тело с трансверсально изотропным тензором инерции, два собственных числа которого совпадают между собой. Иными словами, для волчка утверждение И. Ньютона оказывается правильным, если, конечно, равномерность понимать в вышеуказанном смысле. Воистину Великие часто оказываются правыми даже тогда, когда они

ошибаются.

8.6. Свободные вращения твердого тела

Если на тело не действуют никакие внешние воздействия, то говорят, что тело движется по инерции или совершает свободные движения. В этом случае два закона динамики Эйлера выражают собой основную аксиому механики. Первый закон динамики утверждает, что центр масс тела движется равномерно и прямолинейно. Этот факт легко воспринимается и известен каждому школьнику. Второй закон утверждает постоянство кинетического момента тела. Но как при этом будет вращаться и поворачиваться тело? На этот вопрос не ответит не только школьник, но он труден даже для специалиста. Последнему придется провести некоторые, причем не очень простые, вычисления прежде, чем он скажет, как именно будет вращаться тело. Уже в этом факте мы видим, что включение спинорных движений в сферу действия механики влечет за собой значительные усложнения. Это, конечно, печально, но это необходимость, продиктованная самой Природой. Без учета спинорных движений электричество, магнетизм и вообще микромир останутся для теории тайной за семью печатями.

Пусть нам дано абсолютно твердое тело с тензором инерции Θ, вычисленным в отсчетном положении. В качестве последнего выберем положение тела в начальный момент времени t = 0. Пусть в начальный момент времени угловая скорость тела определялась заданным вектором ω0. Пусть, наконец, при t > 0 тело предоставлено самому себе и движется по инерции. Требуется найти повороты и вращения рассматриваемого тела при t > 0. Для ответа на этот вопрос требуется найти решение уравнения (8.2.1). Но оно содержит две неизвестных функции: вектор угловой скорости ω(t) и тензор поворота P(t). Поэтому к уравнению (8.2.1) необходимо добавить уравнение Пуассона, связывающее повороты и вращения. В результате приходим к следующей задаче

Для тензора инерции общего вида задача (8.6.1) имеет довольно сложное решение, которое было построено Л. Эйлером и представлено в книгах по механике под названием случая Эйлера в динамике твердого тела. Полное решение будет изложено в главе, посвященной динамике абсолютно твердого тела. Задача (8.6.1) резко упрощается, если два или три главных момента инерции совпадают. В простейшем случае тензор инерции является шаровым Θ = ΘE. Задача (8.6.1) принимает вид

Шаровой тензор инерции как бы уравнивает трансляционные и спинорные движения. Различие только в том, что в первом случае при движении по инерции постоянной является трансляционная скорость, а во втором — постоянна угловая скорость тела.

Случай трансверсально изотропного тензора инерции будет рассмотрен в следующем пункте.

8.7. Движение твердого тела в центральном поле тяготения

Пусть в начале инерциальной системы отсчета расположено точечное тело с массой M. Пусть в поле тяготения этого тела движется абсолютно твердое тело A с массой m. С физической точки зрения эта задача близка к движению электрона в кулоновом поле ядра, но при этом нам пришлось бы ввести дополнительные понятия, которые пока вводить преждевременно. Поэтому рассмотрим более привычную постановку задачи. Будем рассматривать абсолютно твердое тело, размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между центром масс тела и точечным телом, расположенным в начале системы отсчета. Тензор инерции тела A считается трансверсально изотропным и в отсчетном положении имеет вид

где λ, μ суть осевой и экваториальный моменты инерции тела A соответственно.

Количество движения и кинетический момент тела A задаются выражени-

где R(t), P(t) суть вектор положения центра масс тела A и тензор поворота тела A соответственно, ω — угловая скорость тела A, которая связана с тензором поворота тела A уравнением Пуассона (4.5.4).

В качестве опорной точки при вычислении кинетического момента выбрано начало в системе отсчета. Запишем теперь первые два закона динамики для тела A.

где G есть универсальная гравитационная постоянная.

Уравнение (8.7.3) имеет четыре интеграла движения (один скалярный и один векторный). Скалярный интеграл называется интегралом энергии трансляционного движения. Он получается после скалярного умножения обеих ча-

стей уравнения (8.7.3) на вектор ˙ и имеет вид

R

где ET будем называть энергией трансляционного движения тела A. Векторный интеграл, называемый законом сохранения момента количества

движения или интегралом площадей, получается после векторного умножения обеих частей уравнения (8.7.3) на вектор R и имеет вид

Из последнего равенства видно, что траектория центра масс тела A лежит в плоскости, ортогональной вектору H и называемой плоскостью эклиптики. Решение задачи (8.7.3) – (8.7.5) нетрудно построить, но здесь оно опускается и будет рассмотрено в последующих главах.

Уравнение баланса кинетического момента имеет вид

Отсюда с учетом интеграла (8.7.5) получаем еще один векторный интеграл, фиксирующий сохранение динамического спина тела A. Этот интеграл дается выражением

Интеграл (8.7.6) дает нам уравнение для определения угловой скорости. Иными словами, пришли к задаче, сформулированной в предыдущем пункте и определяемой уравнениями (8.6.1). Равенство (8.7.6) можно переписать в обращенной форме

Решение этого уравнения совместно с уравнением Пуассона позволяет найти угловую скорость и повороты тела A. Разумеется, к этим уравнениям должны быть добавлены начальные условия

Здесь мы приняли, что в качестве отсчетного положения тела A выбрано его начальное положение. Решение задачи (8.7.7) – (8.7.8) рассмотрим немного подробнее. Нетрудно убедится, что уравнение (8.7.7) допускает интеграл,

который выражает закон сохранения энергии спинорного движения. Подчеркнем, что его нельзя называть законом сохранения вращательного движения, поскольку часть энергии вращательного движения, т.е. энергия трансляционного движения тела A вокруг центра притяжения, уже вошла в интеграл (8.7.4). Энергия спинорного движения вычисляется по формуле

ES = 12ω(t)·P(t)·Θ·PT (t)·ω(t) = 12L·ω(t) = 12L·P(t)·Θ−1·PT (t)·L. (8.7.9)

Вычисляя производную по времени от энергии ES и учитывая уравнения Пуассона и (8.7.7), немедленно убеждаемся, что энергия спинорного движения ES сохраняется неизменной

= (L × ω) · ω − ω · (ω × L) = 0.

Всякий тензор поворота выражается через три параметра. Например, через углы Эйлера. Общая теорема о представлении тензора поворота через три параметра доказана в работе [19] и выражается равенством (3.8.1). Закон сохранения энергии спинорного движения ES = const показывает, что три вышеупомянутых параметра должны удовлетворять одному скалярному равенству (8.7.9). В результате, тензор поворота, тождественно удовлетворяющий закон сохранения энергии спинорного движения, может быть выражен через два произвольных параметра. Введем обозначение

для поворота на угол ϕ вокруг вектора m. Тогда искомый двухпараметрический тензор поворота может быть выражен в виде композиции двух поворотов

где угол собственного вращения ϕ задает вращение вокруг оси изотропии e тела A, а угол прецессии ψ задает прецессию тела A вокруг постоянного вектора динамического спина L.

Подстановка (8.7.11) в (8.7.9) дает

ES = 12L · ω(t) = L · Q (ψm) · Q (ϕe) · Θ−1 · QT (ϕe) · QT (ψm) · L =

= L · Θ−1 · L = const. (8.7.12)

Здесь учтены очевидные тождества

L · Q (ψm) = L, e · Q (ψe) = e, Q (ϕe) · Θ−1 · QT (ϕe) = Θ−1.

Таким образом, двухпараметрическое представление тензора поворота (8.7.11) сохраняет энергию спинорного движения при любых значениях углов ϕ и ψ. Вычисляя угловую скорость композиции поворотов (8.7.11), получаем

С другой стороны, подставляя представление (8.7.11) в уравнение (8.7.7), получаем

с постоянной скоростью прецессии ˙ и вращается с постоянной угловой ско-

ψ

ростью ϕ˙ вокруг собственной оси, причем угол между осью тела и вектором его динамического спина сохраняется неизменным. Движение такого рода в динамике твердого тела называют регулярной прецессией.

Применим теперь полученные результаты к описанию вращения Земли. Это справедливо при пренебрежении влиянием Луны и гравитационного момента от Солнца. Как известно, моменты инерции Земли различаются весьма незначительно

λ1, 0033 μ.

Ксожалению, автор не знаком с деталями наблюдений по изучению вращения Земли и потому не в состоянии судить о степени их точности. Много полезных сведений о движении Земли можно найти в книге [27]. Поскольку вектор динамического спина постоянен, то он фиксирован относительно плос-

кости эклиптики. Считается [27], что ось Земли также фиксирована относительно плоскости эклиптики и составляет с ней угол 66o33 . Согласно (8.7.17) одновременная фиксация и динамического спина, и оси Земли возможна тогда

Эта задача мало отличается от рассмотренной выше, но мы хотим обратить внимание на одну ее особенность. Запишем уравнения движения.

Уравнение баланса количества движения

где вектор R определяет положение центра масс относительно неподвижной точки, сила F есть реакция в неподвижной точке.

Уравнение (8.8.1) служит для нахождения реакции в опоре. По основной теореме кинематики имеем

где вектор r задает положение центра масс тела в отсчетном положении.

Для нахождения тензора поворота P необходимо записать второй закон

где тензор инерции Θ вычислен относительно неподвижной точки и является трансверсально изотропным.

Решение задачи (8.8.3) при заданных начальных условиях ничем не отличается от решения (8.7.11) – (8.7.16), построенного в предыдущем примере. Использовав (8.8.1), вычислим реакцию в опоре

F= m Q (ψm) · [ω0 × E × ω0 + ϕ˙ (e ω0 − ω0 e)] · Q (ϕe) · r. (8.8.4)

Ввыражении (8.8.4) использованы обозначения, принятые в (8.7.11)– (8.7.16). Как видим, реакция в опоре вычисляется по довольно сложной формуле, причем ее направление меняется во времени и не совпадает с направлением вектора R, определяющего положение центра масс. Вообразим теперь, что мы

всостоянии измерять реакцию опоры и наблюдать вращательное движение тела. Допустим также, что мы ничего не знаем о втором законе динамики Эйлера. Возьмем далее два тела с одинаковыми тензорами инерции и зададим для них одинаковые начальные условия. В этом случае наблюдаемые движения этих двух тел будут совершенно одинаковыми. В то же время измеряемые реакции опор у этих тел могут быть совершенно разными, поскольку реакции зависят от положения центра масс в теле. Но центры масс у тел с одинаковыми тензорами инерции могут находиться в различных точках тела, причем движение центров масс неконтролируемо. Если бы мы были физиками, то заявили бы, что эксперимент решительно опровергает классическую механику, ибо наблюдаемые движения не определяют измеряемые силы. Для объяснения этого

факта мы начали бы придумывать вероятностные трактовки. В сказанном нет никакого преувеличения. В этом может убедиться каждый, кто не поленится заглянуть в книги по атомной физике, которые насыщены заявлениями “о решительном разрыве с классической механикой”. Причем оснований для этого ничуть не больше, чем в приведенном примере.

8.9. Быстровращающийся гироскоп

Абсолютно твердое тело с трансверсально изотропным тензором инерции, вращающееся вокруг неподвижной точки, называют гироскопом [41]. В технике гироскопы находят очень широкое применение и обычно являются телами вращения. Но нередко [39] гироскопом называют тело с произвольным тензором инерции, и даже не обязательно вращающимся вокруг неподвижной точки. Так что термин “гироскоп” не является однозначно определенным и применяется в разных смыслах. Начальные понятия о гироскопах читатель может найти в учебнике [41], а более детальные сведения в книге [39]. Кроме того, по гироскопам существует обширная литература. Описание приложений не входит в цели главы, посвященной обсуждению фундаментальных законов механики, но при изложении второго закона динамики не упомянуть гироскопы совершенно невозможно. Тем более, что гироскопы особенно ярко демонстрируют принципиальные различия между спинорными и трансляционными движениями. Ниже будет рассмотрена простейшая из возникающих здесь задач. К сожалению, обсуждению поведения гироскопа мы вынуждены предпослать относительно длинное решение задачи о быстровращающемся гироскопе. При этом не будут использоваться подходы, типичные для динамики твердого тела. Здесь уместно процитировать известного специалиста по теории гироскопов К. Магнуса [39], с.117: “Много усилий было затрачено на поиски таких случаев, для которых было бы возможно точное решение нелинейных уравнений движения. Как бы ни были привлекательны для математика достигнутые при этом результаты, приходится, однако, констатировать, что с физической точки зрения или с точки зрения чисто гироскопической техники они почти (или даже совсем) не представляют интереса”. Поэтому ниже будет представлено приближенное, но с очень высокой степенью точности, решение, причем оно будет найдено в явной форме и выражено через элементарные функции. Сравнивая полученное ниже решение с результатами, представленными в книгах4 по динамике твердого тела, необходимо соблюдать известную осторожность. В частности, при их получении использовалось

4Даже терминология не всегда совпадает. Используемая в данной книге терминология близка к таковой в учебнике [41], но сильно отличается от принятой в книге [39].

представление тензора поворота через углы Эйлера, которые в данной задаче неудобны. Ниже используется другое представление тензора поворота.

Итак, рассмотрим тело с трансверсально изотропным тензором инерции, который вычислен относительно неподвижной точки и в отсчетном положении определен выражением

Θ = λe e + μ (E − e e) ,

где e есть единичный вектор, задающий ось изотропии, λ и μ суть осевой и экваториальный моменты инерции соответственно.

Будем считать, что начало системы отсчета расположено в точке O, а центр масс расположен на оси симметрии

rC = l e RC(t) = P(t) · rC = l P · e ≡ l e ,

где l — расстояние от неподвижной точки до центра масс; rC и RC суть векторы положения центра масс в отсчетном и актуальном положениях соответственно.

Угловая скорость ω связана с тензором поворота P уравнением Пуассона

где k — орт вертикали; m — масса тела; g — ускорение свободного падения. Начальные условия имеют вид

Система уравнений (8.9.1) – (8.9.2) с начальными условиями (8.9.3) дает классическую постановку задачи в случае Лагранжа [40, 41]. Решение этой задачи в полном объеме будет изложено в главе, посвященной динамике твердого тела. Ниже рассматривается частный случай, когда ω0 = ω0e. Кроме того, модуль начальной угловой скорости ω0 будет считаться достаточно большим. Более точный смысл этого утверждения будет указан позднее. Вычислим проекцию уравнения (8.9.2) на орт e . При этом учтем равенство

ω˙ · e = (ω · e )· − ω · e˙ = (ω · e )· − ω · (ω × e ) = (ω · e )· .