5.2.2. Как построить ортогональные проекции точки в новой системе при замене одной из плоскостей проекций?

Пусть в системе x^2/₁дана точка А: Аи А– ортогональные проекции точки А (рис. 89а). Проследим как изменится положение проекций точки А, если плоскость₂заменить новой плоскостью₄, расположенной перпендикулярно к плоскости₁. Плоскость₄и₁образуют новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций с новой осью проекций x₁.

Условная запись перехода к новой системе:

x^2/₁x₁^4/₁;₄₁; x₁=₄₁.

В новой системе положение горизонтальной проекции Аточки А остается без изменения, так как точка А и плоскость₁не меняли своего положения в пространстве.

Для нахождения новой фронтальной проекции А^ivдостаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость₄. Из чертежа (рис. 89а) видно, что расстояние новой фронтальной проекции А^ivточки А от новой оси x₁равно расстоянию старой фронтальной проекции Аот старой оси х:А^ivА_x1= ААx =ZА.

При образовании комплексного чертежа плоскость ₄вращением вокруг оси x₁совмещаем с плоскостью₁. Направление поворота выбираем так, чтобы новые проекции не накладывались на старые. В рассматриваемом примере плоскость₄совмещаем с плоскостью₁вращением ее в направлении движения часовой стрелки. После этого плоскость₁совмещаем с плоскостью₂. На комплексном чертеже (рис.89б) указывается положение новой оси х₁и расположение полей проекций плоскостей₁и₄после совмещения.

Равенство аппликат у новой А^ivи старой Афронтальных проекций точки А и использование в обоих случаях ортогонального проецирования делают построение новой фронтальной проекции А^ivочень простым. Оно состоит в том, что через старую горизонтальную проекцию проводят прямую, перпендикулярную к новой оси, и откладывают на ней от точки пересечения с осью отрезок, равный расстоянию старой фронтальной проекции от старой оси (рис. 89в).

На рис. 90а,б показан переход к новой системе, в которой горизонтальная плоскость ₁заменена новой плоскостью₄, расположенной перпендикулярно к₂.

Условная запись перехода:

x^2/₁x₁^2/₄;₄₂; x₁=₄₂.

Построение новой проекции точки А в системе x₁^2/₄осуществляется аналогично только что рассмотренному случаю с той лишь разницей, что теперь остается без изменения фронтальная проекция точки А.Для нахождения новой горизонтальной проекции А^ivточки А необходимо из старой фронтальной проекции Аопустить перпендикуляр на новую ось x₁и отложить на нём от точки Ах₁отрезок, равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси х (рис. 90в) – А^ivАх₁ = ААх = YA.

Отметим свойства комплексного чертежа точки в новой системе плоскостей проекций:

1. Проекция точки на новую плоскость располагается на одной линии связи с остающейся неизменной проекцией этой точки; линия связи перпендикулярна к новой оси проекций;

2. Расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки равно такому же расстоянию в заменяемой плоскости проекций.

5.2.3. Как построить ортогональные проекции точки в новой системе при замене двух плоскостей проекций?

На рис. 91 показано построение ортогональных проекций точки А (А, А) при последовательной замене двух плоскостей проекций.

Условие первой замены:

1. x^2/₁x₁^4/₁;₄₁; x₁=₄₂; А (А, А^iv).

Построение новой фронтальной проекции А^ivточки А выполнено по правилам, изложенным в п. 5.2.2.

Условие второй замены:

2. x₁^4/₁x₂^4/₅;₅₄; x₂=₄₅; А(А^iv, А^v).

Положение новой проекции А^vточки А определено аналогично рассмотренному выше. Отличие состоит в том, что теперь за исходную (старую) систему будем принимать систему x₁^4/₁. В этом случае плоскость₄не меняет своего положения в пространстве, следовательно, не изменится положение фронтальной проекции А^iv.

Проекция точки А^vбудет определена, если из А^ivвосстановить перпендикуляр к оси x₂ и отложить на нем от точки А_x2отрезок А_x2А^v=А_x1А.

Зная правила построения новой проекции точки, можно выполнить построение новой проекции любой геометрической фигуры, представленной совокупностью точек (например, две точки определяют прямую; три точки определяют плоскость).