3.4.4. Как определить принадлежит ли точка заданной поверхности?

Для определения принадлежности точки заданной поверхности, необходимо: 1. допустить, что точка принадлежит конкретной линии поверхности; 2. задать эту линию, т.е. построить ее проекции на чертеже; 3. сравнить взаимное положение линии и точки.

ПРИМЕР 3: Определить принадлежит ли точка А конической поверхности (рис. 57а).

РЕШЕНИЕ:

1. Проводим фронтальную проекцию линии, принадлежащую поверхности и проходящую через фронтальную проекцию точки – S1А(рис. 57б).

2. Строим горизонтальную проекцию S1образующей S1.

3. Отмечаем, что АS1. Следовательно, точка А заданной поверхности не принадлежит.

В итоге план решения любой задачи на принадлежность точки поверхности включает:

– определение вида заданной поверхности;

– выбор графически простой для построения на чертеже линии поверхности, проходящей через точку;

– построение проекций этой линии на чертеже;

– построение искомых проекций точки (п.п. 3.4.2, 3.4.3), или сравнение взаимного положения точки и построенной линии (п.п. 3.4.4.).

4. Позиционные задачи

4.1. Понятия и определения

Позиционные задачи– это задачи, связанные со взаимным расположением геометрических фигур. Они включают:

1) задачи на принадлежность; 2) задачи напересечение.

К группе задач на принадлежностьотносятся задачи на определение:

1. принадлежности точки линии – Аl;

2. принадлежности точки поверхности – AФ;

3. принадлежности линии поверхности – lФ.

Задачи этой группы используются для решения остальных позиционных задач и потому так подробно рассмотрены в разделах 2.5. и 3.5.

Задачи на пересечениегеометрических фигур – главные позиционные задачи (ГПЗ). В этом разделе рассмотрены единые (обобщенные)алгоритмырешения задач на пересечение.

4.2. Пересечение геометрических фигур

Решение задачи на пересечение сводится к нахождению общегоэлемента (о. э.) двух пересекающихся геометрических фигур – точки (точек) или линии. По виду общего элемента задачи на пересечение можно разделить на две группы:

1 главная позиционная задача (1 ГПЗ) – пересечение линии и поверхности (о.э. – точка или точки).

2 главная позиционная задача (2 ГПЗ) – пересечение двух поверхностей (о.э. – линия).

4.2.1. Какие задачи рассматриваются в группе задач 1 гпз?

К задачам первой группы (1 ГПЗ) относятся:

а) пересечение линии с линией – lm;

б) пересечение линии с плоскостью – l;

в) пересечение линии с кривой поверхностью – lФ.

В задачах этой группы надо определить точку (или точки), принадлежащую одновременно обеим пересекающимся фигурам.

4.2.2. Какие задачи рассматриваются в группе задач 2 гпз?

К задачам второй группы (2 ГПЗ) относятся:

а) пересечение двух плоскостей – a = m (прямая линия);

б) пресечение плоскости и поверхности Ф = n (плоская кривая линия);

в) пересечение двух криволинейных поверхностей Ф Т = k (пространственная кривая линия).

В задачах этой группы необходимо определить линию, одновременно принадлежащую обеим пересекающимся геометрическим фигурам.

Подходя к позиционным задачам на пересечение с таких позиций, можно считать, что все многообразие их может быть сведено к решению задач на принадлежность.

Задачи на принадлежность решаются без дополнительных построений в тех случаях, когда геометрические фигуры занимают проецирующееположение. Поэтому и решение задач на пересечение значительноупрощается, если среди пересекающихся геометрических фигур естьпроецирующие.