4.2.3. Какие геометрические фигуры называют проецирующими?

Прямая и плоскость называются проецирующими, если они располагаются перпендикулярно к плоскости проекций. При ортогональном проецировании проецирующими () могут быть не только прямая и плоскость, но и цилиндрическая Ф (рис. 58) и призматическаяповерхности, если образующие цилиндрической или ребра призматической поверхности перпендикулярны к плоскости проекций.

Проецирующейназывают геометрическую фигуру, которая отображается на плоскость проекций в геометрическую фигуру на единицу меньшего порядка, чем она сама: прямая в точку, плоскость – в прямую линию, поверхность – в кривую линию.

Проекцию геометрической фигуры на той плоскости, относительно которой она занимает проецирующее положение, будем называть основнойпроекцией. Для изображенных на рис. 58 проецирующих геометрических фигур a,,, Ф – a,,, Ф– ихосновныепроекции.

4.2.4. Какова последовательность решения задач на пересечение геометрических фигур?

При решении задач на пересечение необходимо придерживаться следующей последовательности:

1. провести анализзаданных геометрических фигур с целью:

а) выявления среди них проецирующих;

б) определения вида общего элемента.

2. построить ортогональные проекции общего элемента.

При анализе заданных пересекающихся геометрических фигур могут возникнуть три случая:

1. обе геометрические фигуры проецирующие;

2. одна из геометрических фигур проецирующая;

3. обе геометрические фигуры не проецирующие.

Первый и второй случаи объединим общим названием – частные случаи.

4.2.5. Как строятся ортогнальные проекции общего элемента двух пересекающихся геометрических фигур в частных случаях?

В частных случаях общий элемент находят по условиям принадлежности его обеим пересекающимся фигурам с использованием собирательногосвойства основной проекции проецирующих геометрических фигур (см.п.2.5.3.). Согласно этому,

ортогональные проекции общего элемента пересекающихся фигур, из которых обе (1 случай) или одна (2 случай) проецирующие, совпадают с их основными проекциями.

Отсюда следует, что нахождение проекций о.э. выполняется без дополнительных построений (1 случай) или сводится к нахождению недостающей его проекции, исходя из принадлежности фигуре общего положения (2 случай).

ПРИМЕР 1. Определить точку К пересечения прямой lс плоскостью(АВС) (рис. 59)

РЕШЕНИЕ: Анализируя заданные геометрические фигуры (рис. 59а), отмечаем:

– плоскость ₂– фронтально-проецирующая плоскость;

 – основнаяпроекция плоскости;

– прямая l ₁– горизонтально-проецирующая прямая;

l–основнаяпроекция прямойl.

Следовательно, решаем 1 ГПЗ (частный случай 1). Отсюда:

а) обе проекции Ки Кискомой точки К непосредственно заданы на чертеже (рис. 59а): они совпадают сосновнымипроекциямиlипрямойlи плоскости;

б) обозначаем К l; Ки Кl, отсюда К= l .

ПРИМЕР 2. Построить линию пересечения заданных поверхностей (рис. 60).

РЕШЕНИЕ.

Анализируя заданные геометрические фигуры (рис. 60а), отмечаем:

– Ф – прямой круговой цилиндр – Ф ₁;

Ф–основнаяпроекция цилиндрической поверхности Ф;

–  – прямой круговой цилиндр – ₂;

 – основнаяпроекция цилиндрической поверхности.

Следовательно, решаем 2 ГПЗ (частный случай 1). Отсюда:

а) о б е проекции общего элемента – линии m(m, m) – непосредственно заданы на чертеже (рис. 60а): они совпадают сосновнымипроекциями Фипересекающихся цилиндров Ф и.

б) обозначим на чертеже – m  Ф, m .

На рис. 60а точки 1(1,1), 2(2,2), 3(3,3), 4(4, 4) определяют кривую пересечения.

ПРИМЕР 3. Определить точку пересечения K прямой lс плоскостью() (рис. 61).

РЕШЕНИЕ.

Анализируя заданные геометрические фигуры, отмечаем:

– l– прямая общего положения;

– () – горизонтально-проецирующая плоскость;

 – основнаяпроекция плоскости.

Следовательно, решаем 1 ГПЗ (частный случай 2). Отсюда:

а) одна проекция общего элемента – точки пересечения К – непосредственно задана на чертеже (рис. 61а): она совпадает с основнойпроекциейпроецирующей плоскости:

К, но Кl, отсюда К= l.

б) фронтальную проекцию Кточки К находим по принадлежности ее прямойl– Кl.

ПРИМЕР 4. Построить линию пересечения плоскостей (ab) и() (рис. 62).

РЕШЕНИЕ.

Анализируя заданные геометрические фигуры, отмечаем:

– (a b) – плоскость общего положения;

– () – горизонтально-проецирующая плоскость;

 – её основнаяпроекция.

Следовательно, решаем 2 ГПЗ (частный случай 2). Отсюда:

а) одна проекция линии пересечения lсовпадает с основной проекциейпроецирующей плоскости–l;

б) фронтальную проекцию lлинииlнаходим, как недостающую проекцию прямойl, лежащей в плоскостии определяемой точками 1 и 2 (рис. 62а).