4.3.4. Какие линии получаются при пересечении сферы плоскостью?

Линией пересечения сферы любой плоскостью будет окружность.

Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения будет проецироваться без искажения; а на другую плоскость проекций – в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности.

На рис. 66а сфера пересекается горизонтальной плоскостью уровня (). Окружность пересечения проецируется на горизонтальную плоскость без искажения – в окружность n, а на фронтальную плоскость – в отрезок прямой 12=.

Если секущая плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности; на другую плоскость проекций – в эллипс.

На рис. 66б сфера пересекается фронтально-проецирующей плоскостью (). Фронтальная проекция окружности сечения – отрезок прямой 14. Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения – эллипс – следует найти проекции ряда точек этой линии, т.е. применить план решения задач на принадлежность (см. 3.4.3.). На рис.66б построены проекции точек 1и 4, 5и 3, ограничивающие соответственно проекции большой и малой осей эллипса, а также точки 2 и 6 пересечения секущей плоскостис экватором сферы.

4.4. Построение проекций геометрических тел с вырезами и отверстиями

В практическом курсе начертательной геометрии рассматриваются задачи на построение геометрических тел с вырезами и отверстиями. Решение задач выполняется на безосных чертежах и является подготовкой к построению безосных чертежей предметов и изделий согласно ГОСТ 2.305-68.

При безосном способе изображения координаты точки становятся неопределенными. В этом случае для построения на к.ч. системы точек можно воспользоваться разностями координат, которые не зависят от положения плоскостей проекций или, что то же, отнести точки к системе координат 0xyz (рис. 67а), и построить проекции координатных осей на плоскостях проекций. Проекции x, y; x, z; x, zкоординатных осей наносят на чертеже тонкими линиями, которые после построения проекций точек стираются (рис. 67б). Расстояниеlиl₁между линиями xи x, zи zвыбирают произвольно, но с таким расчетом, чтобы проекции оригинала не накладывались друг на друга и обеспечивалась хорошая компоновка листа. В частности, возможноl=l₁= 0. В этом случае плоскости координат совпадают с плоскостями проекций, и к.ч. в безосной системе преобразуется в к.ч. в осной системе.

Заданные в системе 0xyz размеры пирамиды SАВС (рис. 68) не что иное, как разности координатточек оригинала относительно плоскостей проекций₁,₂,₃.

Сквозные отверстия или вырезы геометрических тел в рассматриваемых примерах (рис. 75-77) ограничены плоскостями частного положения; они пересекают поверхность геометрического тела по линиям, вид которых (прямая, окружность эллипс и т.п.) зависит от формы поверхности и расположения плоскостей выреза относительно нее.

Общий план решения задач на построение геометрического тела с вырезом:

1. определить вид линий пересечения плоскостей выреза с поверхностью геометрического тела;

2. построить проекции линий пересечения;

3. построить профильную проекцию геометрического тела.

Решение таких задач рассмотрим на примерах.

ПРИМЕР 1. Построить проекции прямого кругового цилиндра со сквозным отверстием (рис.69).

РЕШЕНИЕ.

1. По исходному чертежу (рис.69а) определяем вид линий пересечения плоскостей ,,, ограничивающих сквозное отверстие, с цилиндром.

Плоскость () пересекает цилиндрическую поверхность Ф по двум прямолинейным образующим; плоскость() – по эллипсу; плоскость() – по окружности.

2. Анализируя цилиндрическую поверхность Ф и плоскости, ограничивающие отверстие, отмечаем:

– поверхность цилиндра Ф₁; Ф– ее основная проекция;

– плоскости ,и₂;,,– их основные проекции.

Следовательно, для построения проекций линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 1). Отсюда:

а) обе проекции указанных линий заданы на чертеже: они совпадают с основными проекциями пересекающихся геометрических фигур;

б) обозначаем их проекции на чертеже (рис. 69 а):

– для образующей 12: 12Ф; 12;

– для части окружности 32: 32Ф; 32;

– для части эллипса 3А1: 3А1Ф; 3А1.

Каждой из отмеченных на видимой части цилиндра линий соответствует симметричная ей линия на его невидимой на фронтальной плоскости проекций части. Эти линии обозначены 1₁2₁, 2₁3₁, 3₁А₁1₁.

3. Профильную проекцию цилиндра и всех указанных линий строим на безосном чертеже (рис. 69б), помещая координатную систему 0xyz, как показано на рис. 69а. Расстояние l₁задается произвольно и зависит от компоновки чертежа.

При построении профильных проекций точек использованы их расстояния а, в, и с отложенные на соответствующих линиях связи с учетом видимости точек относительно плоскости x0z, совпадающей с осевой плоскостью цилиндра: для точек 1, 2, 3, 4, 5, А– вправо, для точек 1₁, 2₁,...А₁– влево от нее.

Построенные точки определяют профильные проекции отмеченных линий. Эти линии обведены с учетом их видимости на профильной плоскости проекций: видимые – сплошной толстой, невидимые – штриховой линией.

ПРИМЕР 2. Построить проекции пирамиды с вырезом (рис. 70).

РЕШЕНИЕ.

1. По исходному чертежу (рис. 70а) устанавливаем вид линий пересечения плоскостей и, ограничивающих вырез, с гранями пирамиды:

– плоскость пересекает все три грани пирамиды по прямым линиям:SAB=12;SBC=23;SAC=3₁1.

– плоскость также пересекает все три грани пирамиды по прямым линиям:SAB=54;SBC=43;SAC=3₁5.

– плоскости ипересекаются по прямой 33₁.

2. Анализируя положение граней пирамиды и плоскостей выреза, отмечаем:

– грани SАВ, SВС, SAC не являются проецирующими по отношению к ₁и₂;

– плоскости ₂;,– их основные проекции.

Следовательно, при построении проекций каждой из отмеченных линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 2).

Отсюда:

а) одна проекция всех указанных линий непосредственно задана на чертеже; так как плоскости ифронтально – проецирующие, непосредственно заданы на чертеже (рис. 70а) фрон- тальные проекции указанных линий: 12233₁1; 54433₁5; 33₁=.

б) находим горизонтальные проекции указанных линий (рис. 70б). Для этого определяем горизонтальные проекции точек, через которые они проходят. Построение горизонтальных проекций точек 1 и 5, лежащих на ребре SА, также точек 2 и 4, лежащих на ребре SB, выполнено с помощью линий связи: 15SА; 24SВ.

Горизонтальные проекции 3и 3₁точек 3 и 3₁, найдены соответственно с помощью линий 2L и 1L.

3. Профильную проекцию пирамиды SАВС и линий выреза строим, помещая координатную систему 0xyz как показано на рис. 70а.

ПРИМЕР 3. Построить проекции конуса с вырезом (рис.71).

РЕШЕНИЕ.

1. По исходному чертежу (рис. 71а) устанавливаем вид линий пересечения плоскостей ,и, ограничивающих вырез, с конусом. Плоскостьпересекает коническую поверхность Ф по гиперболе, плоскость– по окружности, плоскость– по двум образующим.

2. Анализируя коническую поверхность Ф и плоскости ,,, выреза отмечаем:

– коническая поверхность Ф не проецирующая;

– плоскости выреза ₂;,,– их основные проекции.

Следовательно, для построения проекций линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 2). Отсюда:

а) одна проекция всех указанных линий непосредственно задана на чертеже; так как плоскости ,,– фронтально-проецирующие, на чертеже (рис. 71а) есть фронтальные проекции линий пересечения:

для части гиперболы 13: 123;

для части окружности 3 4: 3A4;

для части образующей S4: S4.

Каждой из отмеченных линий соответствует симметричная ей линия на невидимой на фронтальной плоскости проекций части конуса. Эти линии обозначены 1₁3₁, 3₁4₁, S4₁.

б) находим горизонтальные проекции указанных линий (рис. 71б) по принадлежности их конической поверхности Ф.

Построение горизонтальной проекции 1точки 1, лежащей на образующей SL, понятно из чертежа: 1SL.

Горизонтальные проекции 2, 3, 4точек 2, 3, 4 найдены с помощью параллелей - окружностей m₁, m₂, радиусы которых легко определить графически. Особо отмечаем линию 44₁, горизонтальная проекция которой невидима.

3. Строим профильную проекцию конуса и всех указанных линий.

***

Рассмотренные в п. 4.2.5. положения для нахождения общего элемента в частных случаях используются для решения задач какпервой (1ГПЗ), так и второй (2ГПЗ) групп.

В тех случаях, когда обе пересекающиеся геометрические фигуры занимают общееположение относительно плоскостей проекций, решение задач первой и второй групп выполняются по разным алгоритмам.

Решение задач на пересечение поверхностей (2ГПЗ) для общего случая используется в задачах на пересечение линии и поверхности (1ГПЗ) и потому рассмотрено вначале.