- •Федеральное агентство связи
- •Оглавление
- •Общее представление о предмете электротехника
- •Основные понятия в теоретической электротехнике
- •Понятия об электрической цепи и схеме
- •Расчет цепей на постоянном токе
- •Законы Кирхгофа
- •Переменные токи и напряжения Основные понятия и параметры
- •Оценка переменного тока и напряжения
- •Понятия о комплексных и полных сопротивлениях электрической цепи
- •Гармонический ток в пассивных элементах электрической цепи
- •3 Емкость
- •Анализ последовательной rlc-цепи при гармоническом воздействии
- •Параллельные rlc - цепи
- •Принцип дуальности в электрических цепях
- •Принцип и метод наложения в теории цепей.
- •Теоремы об эквивалентных источниках или генераторах (Теорема об автономном двухполюснике)
- •Теорема обратимости или взаимности
- •Примеры
- •Колебательные контуры и резонансы в электрических цепях
- •Последовательный колебательный контур
- •Частотные характеристики последовательного контура
- •Влияние внешнего сопротивления на избирательность контура
- •Параллельный колебательный контур (простой)
- •1. Идеализированный контур
- •Реальный параллельный контур
- •Частотные зависимости параллельного контура
- •Влияние внешних сопротивлений на избирательность контура (Добротность, полоса пропускания, коэффициент подавления)
- •Сложные параллельные контуры
- •Мощность в цепи переменного тока
- •Расчет мощности в комплексной форме
- •Баланс мощности в цепях переменного тока
- •Физический смысл баланса мощности
- •Определение условия максимума активной мощности при передаче энергии от источника в нагрузку
- •Электрические цепи с взаимно индуктивными связями и методы их расчета Основные понятия о взаимной индукции
- •Последовательное и параллельное соединения индуктивно связанных элементов
- •1. Последовательное соединение
- •2. Параллельное соединение
- •Электрический трансформатор
- •2.Уравнения и схемы замещения реального трансформатора (двухобмоточного, без ферромагнитного сердечника)
- •Входное сопротивление реального трансформатора
- •Переходные процессы в электрических цепях Основные понятия о переходных процессах
- •Законы коммутации
- •Начальные и конечные условия
- •Схемы замещения элементов в различные моменты времени
- •IL (0_) l пост
- •Классический метод расчета переходных процессов
- •Анализ переходных процессов в rlc цепях классическим методом Последовательные и параллельные rl и rc цепи
- •Переходные процессы в rlc цепях Последовательная rlc цепь Подключение источника постоянного напряжении
- •Отключение источника в последовательной rlc-цепи
- •Расчет переходных процессов в сложных цепях
- •Операторный метод расчета переходных процессов Преобразования Лапласса
- •Операторные схемы замещения реактивных элементов
- •Нахождение функции времени в операторном методе
- •Операторные передаточные функции
- •Методы расчета передаточных функций
- •Временные характеристики электрических цепей
- •Методики расчета временных характеристик
- •Пример нахождения временных характеристик
- •Расчет откликов в электрической цепи на кусочно-непрерывное воздействие. (Интеграллы Дюамеля и наложения)
- •Определение отклика на прямоугольный импульс.
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи Общие понятия
- •Дифференцирующие цепи
- •Интегрирующие цепи
- •Спектральный метод расчета в электрических цепях Понятие о спектре периодического сигнала
- •Спектральный анализ и синтез на основе рядов Фурье
- •Графическое временное и частотное изображения спектра периодического сигнала
- •Спектр последовательности прямоугольных импульсов
- •Понятие о расчете цепей при периодических сигналах
- •Понятие о спектре непериодического сигнала
- •Спектры некоторых типовых сигналов
- •Понятие об энергетическом спектре одиночных сигналов. Ширина спектра
- •Условия безыскаженной передачи электрических сигналов
- •Нелинейные электрические цепи Основные понятия о нелинейных цепях
- •Расчет простейших нелинейных резистивных цепей
- •Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •Определение реакции нелинейного элемента на гармоническое воздействие
- •Анализ спектра реакции в нелинейном элементе
- •Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.
- •Уравнения однородной линии в стационарном режиме
- •Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы
- •Линия без искажений
- •Уравнения линии конечной длины
- •Уравнения длинной линии как четырехполюсника
- •Линия без потерь
- •Стоячие волны в длинных линиях
- •Волновое сопротивление длинной линии.
- •Теория четырехполюсников Основные понятия и классификация четырехполюсников
- •Основные характеристики четырехполюсников
- •Системы параметров. Матричные параметры чп
- •Сложные четырехполюсники. Виды соединений чп
- •Рабочие параметры чп
- •Характеристические параметры четырехполюсников
- •Каскадное согласованное включение четырехполюсников
- •Рабочая мера передачи
- •Теория электрических фильтров Общие понятия
- •Классификация частотно – избирательных электрических фильтров
- •Лестничные реактивные фильтры
- •Реактивные фильтры типа к
- •Теорема о реактивных фильтрах типа к
- •Фнч типа к (полузвено)
- •Фнч типа к (полузвено)
- •Фвч типа «к» (полузвено)
- •Полосовые фильтры типа «к»
- •Режекторный фильтр типа «к»
- •Достоинства и недостатки фильтров типа k
- •Искажения сигнала в эц
- •Корректирующие цепи (корректоры). Общие положения.
- •Принцип корректирования амплитудно-частотных искажений (ачи)
- •Стандартные схемы амплитудных корректоров
- •Фазовые корректоры
- •Электрические машины постоянного тока Устройство электрической машины постоянного тока
- •Принцип действия машины постоянного тока
- •Работа электрической машины постоянного тока в режиме генератора
- •Генераторы с независимым возбуждением. Характеристики генераторов
- •Генераторы с самовозбуждением. Принцип самовозбуждения генератора с параллельным возбуждением
- •Работа электрической машины постоянного тока в режиме двигателя. Основные уравнения
- •Механические характеристики электродвигателей постоянного тока
- •Электрические машины переменного тока Вращающееся магнитное поле
- •Информационные электрические машины Сельсины
- •Поворотные трансформаторы. Индуктосины. Редуктосины
- •Тахогенераторы
- •Шаговые электродвигатели
Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в нелинейных приборах, не выражаются аналитически.
Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает. При этом во-первых, делается выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функции.
В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные, экспоненциальные и трансцендентные функции или совокупность линейных функций (отрезков прямых линий).
Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала Umin ≤ и ≤ Umax, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).
О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой ξ(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b, т. е. по величине
Λ= max│ f(x)- ξ(x)│
Часто критерием близости выбирается среднее квадратичное значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации.
Иногда под близостью двух функций f(x) и ξ(x) понимают совпадение в заданной точке
x = Хо самих функций и п + 1 их производных.
Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и ξ(x) в выбранных точках (узлах интерполяции) Xk, k = 0, 1, 2, ..., п.
Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислений, как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.
В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала. Для того чтобы была возможность аналитически рассчитывать цепи с нелинейными элементами, необходимо иметь математические выражения для характеристик элементов. Сами эти характеристики обычно являются экспериментальными, т.е. полученными в результате измерений соответствующих элементов, а затем на этой основе формируются справочные (типовые) данные. Процедуру математического описания некоторой заданной функции в математике называют аппроксимацией этой функции. Существует целый ряд типов аппроксимации: по выбранным точкам, по Тейлору, по Чебышеву и др. В конечном итоге необходимо получить математическое выражение, которое с какими-то заданными требованиями удовлетворяло исходной, аппроксимирующей функции.
Рассмотрим простейший способ: метод выбранных точек или узлов интерполяции степенным полиномом.
Необходимо определить коэффициенты полинома. Для этого выбирается (n+1) точек на заданной функции и составляется система уравнений:
Из этой системы находятся коэффициенты а0, а1, а2, …, аn.
В выбранных точках аппроксимирующая функция будет совпадать с исходной, в других точках – отличаться (сильно или нет – зависит от степенного полинома).
Можно использовать экспоненциальный полином:
Второй метод: метод аппроксимации по Тейлору. В этом случае выбирается одна точка, где будет совпадение исходной функции с аппроксимирующей, но дополнительно ставится условие, чтобы в этой точке совпадали еще и производные.
Аппроксимация по Батерворту: выбирается простейший полином:
В этом случае можно определить максимальное отклонение ε на краях диапазона.
Аппроксимация по Чебышеву: является степенной, там устанавливается совпадение в нескольких точках и минимизируется максимальное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции ξ(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность
f(x) - ξ(х) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиесяпредельные наибольшие f(x) - ξ(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - ξ(х) = -L значения (критерий Чебышева).
Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(x) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а ≤ х ≤ b квадрата отклонения функции f(x) от заданной непрерывной функции ξ(х), т. е., из условия:
b
Λ= 1/b-a∫a [f(x)- ξ(x)]2 dx = min . (7)
В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов ak аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений
дΛ ∕дa0 =0;дΛ ∕дa1 =0;дΛ ∕дa2 =0, . . . ,дΛ ∕дan =0. (8)
Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае — численно.
Чебышев установил, что должно для максимальных отклонений выполняться равенство:
В инженерной практике используется еще так называемая кусочно-линейная аппроксимация– это описание заданной кривой отрезками прямых линий.
В пределах каждого из линиаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.
Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых.
Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «небольших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = Iн