Переходные процессы в rlc цепях Последовательная rlc цепь Подключение источника постоянного напряжении

i

1. Независимые начальные условия

i(0_-) = 0 = i(0) u_c(0_-) = 0 = u_c(0).

2. t = 0 зависимые н. у.

0 + u_L(0) + 0 = E

3. t

i() = 0 u_R() = 0 u_L() = 0 u_c() = E

u_R(t) + u_L(t) + u_c(t) = E

p²+(R/L)p+(1/LC)=0

Корни уравнения:

Определим коэффициенты А₁и А₂.t=0

Окончательно получаем:

Проверка

4) Определим напряжения u_R, u_L, u_C.

В зависимости от сопротивления R различают различные режимы работы цепи.

1) . Получаем, что p₁иp₂– вещественные, отрицательные.

Такой режим работы называют апериодическим.

2) R=R_кр– критический режим работы

=р<0

Графики примерно такие же, но более резкие.

3)

Корни p₁иp₂комплексно сопряженные.

, где - частота свободных колебаний (ω₀– резонансная частота).

- убывающая по экспоненте синусоида.

Режим переходного процесса называется колебательным. Происходит зарядка и разрядка конденсатора. В цепи происходит обмен магнитной и электрической энергиями.

–переходное напряжение на резисторе;

– переходное напряжение на индуктивности.

Найдем выражение для емкости .

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

.

Из нулевых начальных условий i(0)=0 , u_C(0)=0 получим систему уравнений:

, ,.

Поскольку , то,.

После преобразований получим уравнение:

, откуда .

Последнее выражение приведем к виду:

, следовательно .

,

,

.

Переходное напряжение на емкости:

, где ;

Представим на графике соответствующие переходные напряжения:

Квазипериод свободных колебаний:

.

Декремент ослабления (затухания):

.

Логарифмический декремент ослабления:

.

Напряжение при переходном процессе в колебательном режиме может превысить ЭДС– это надо учитывать.

Физическое пояснение колебательного процесса.

Колебания возникают, когда есть хорошая возможность обмена энергией разных видов – здесь при малом сопротивлении магнитная энергия индуктивности легко переходит в электрическую энергию емкости и наоборот.

Отключение источника в последовательной rlc-цепи

Все процессы идут в обратном направлении: емкость разряжается. Характер процесса также определяется корнями характеристического уравнения (сравниваются RиR_кр). Ток меняет направление, соответственноu_Rиu_Lменяют знак, аu_Cостается того же знака.

u_C

Расчет переходных процессов в сложных цепях

Для решения цепи необходимо составить 3 ур:

1ур по 1 закону Киргофа и 2ур по 2закону Киргофа

i-i_L-i_C=0

u_R+u_L+u_RK=E

u_C- u_RK-u_L=0

→Классический метод, где напрямую составляются дифференциальные уравнения громоздкий и трудоемкий для сложных цепей.

Английский ученый Хевисайдпредложил свой метод расчета переходных процессов.

Этот метод получил название - операторный метод расчета. Здесь используется

операционное исчисление на основе интегральных преобразований Лапласа, понятий оригинала, изображения и действий с ними.