Операторный метод расчета переходных процессов Преобразования Лапласса

f(t)– оригиналF(p)-изображение pкомплексная переменнаяОригинал должен возрастать не быстрее экспоненты.

Не должно быть скачков ∞ разрыва в оригинале. Допускаются конечные скачки.

Найдем изображение единичной ступенчатой функции Хевисайда

Изображение от производной и интеграла по времени

Используя эти свойства можно от интегральных и дифференциальных уравнений перейти к алгебраическим.

Законы теории цепей в операторном виде

От мгновенных токов и напряжений можно перейти к операторным и рассматривать основные законы в операторном виде, для так называемых операторных схем замещения, поскольку операции преобразования линейные. Рассмотрим схему с источником e(t)=1(t) сопротивлением , индуктивностью и параллельной ей емкостью

1 закон Кирхгофа

2 закон Кирхгофа.

Эти законы можно записывать в операторной форме.

Операторные схемы замещения реактивных элементов

Для индуктивности получим схему

Для емкости получим

Для предыдущей схемы при нулевых начальных условиях получим

,

D<0 при

Нахождение функции времени в операторном методе

Технически это значит нахождение откликов или реакций электрической цепи при каких-то коммутациях, т.е. зависимости токов или напряжений в электрических цепях. В общем это математическая процедура нахождения оригинала по операторному изображению.

Теоретически можно выделить три способа нахождения:

• по обратному преобразованию Лапласа.

• табличным способом.

Подгонка операторного изображения под какие-то стандартные табличные функции.

Оригинал	Изображение
1(t)

• применение теоремы разложения Хевисайда.

При определении операторных токов и напряжений в RLC-цепях можно увидеть, что они представляют собой дробно-рациональные функции сложного вида.

Хевисайдом была разработана теорема разложения сложной функции на простые с последующим определением оригинала, т.е. тока или напряжения, как функции времени.

Т.е. , гдеF₁(p)– полином числителя,F₂(p)– полином знаменателя.

Такую функцию можно разложить на элементарные дроби следующим образом:

. Здесь р_К- корни знаменателяF₂(p).

Тогда оригинал легко ищется в виде суммы экспонент:. Причем коэффициенты. Разложение возможно, если старшая степень числителя меньше степени знаменателя.

Если один из корней равен 0, то

Рассмотрим пример:

Корни могут быть комплексно-сопряженными. В этом случае пользуются общей формулой, причем

, если

Для цепи с R_iи параллельнымиLC получиться при

R_КР

R=500 ОмR=3000 Ом

Существует еще четвертый способ нахождения оригинала применением программных средств (Например: MathCad).

Операторные передаточные функции

Операторная передаточная функция- это отношение операторного изображения реакции или отклика электрической цепи к операторному изображению воздействия на электрическую цепь. Приминается в основном для линейных цепей при нулевых независимых начальных условиях. Техническое название -операторные коэффициенты передачи. В зависимости от вида воздействия и типа реакции различают четыре варианта коэффициентов передач:

• по напряжению U

• по току I

• по сопротивлению Z

• по проводимости. Y

К_U(p) = Т_U(p) = Н_U(p) =U_ВЫХ(2)(p)/U_ВХ(1)(p) К_Z(p) =U₂(p)/I₁(p) К_Y(p) =I₂(p)/U₁(p)

В линейных цепях передаточные функции не зависят от воздействия, а определяются только самой электрической цепью. (Бывают передаточные функции не электрического вида).

Передаточные операторные функции являются обобщенными характеристиками электрической цепи. В частном случае они переходят в комплексные частотные характеристики (КЧХ).

КЧХр=j·ω

где модуль комплексной частотной характеристики имеет техническое название амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а угол – фазо - частотная характеристика (ФЧХ).

АЧХ показывает как изменяется отношение амплитуд выходного и входного сигнала электрической цепи при гармоническом воздействии. фазо - частотная характеристика (ФЧХ) показывает как изменяется разность фаз выходного и входного сигнала электрической цепи при гармоническом воздействии. (Все это при изменении частоты.) Частотная характеристика показывает частотные свойства электрической цепи.