Lektsii_Fizika_chast_II

Лекция № 2 КОЛЕБАНИЯ. ЧАСТЬ II

2.1 Затухающие колебания

Учтём теперь то, что в реальной системе всегда имеют место силы трения, сопротивления. Наличие таких сил отражается введением добавочных слагаемых в исходные формулы, описывающей поведение системы со временем (то есть в уравнения второго закона Ньютона, основного закона динамики вращательного движения, закона Ома). При небольших скоростях величина сил трения, сопротивления пропорциональна скорости движения тела:

|FТР| | |, или |FТР| | x |, поэтому, с учётом того, что векторы скорости и силы сопротивления направлены в противоположные сто-

роны, можно записать: FТР r x , где r – коэффициент сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника:

Приведём данное дифференциальное уравнение к канониче-

Множитель называется коэффициентом затухания; [ ] c 1.

Рассмотрим теперь электрический колебательный контур (рис. 2.1). Запишем для него формулу закона Ома и учтём, что в реальности сопротивлением R его элементов пренебречь нельзя:

10

Уравнения (2.2) и (2.4) идентичны, поэтому и их решение должно описываться одинаковыми формулами. Однако сам вид этих формул зависит от того, какой из параметров, входящих в уравнения, больше: 0 или .

Затухающие колебания (случай 0 )

Решение уравнения вида (2.2) в этом случае можно записать так:

Формула (2.5) описывает процесс, который называется зату-

хающими колебаниями. Амплитуда этих колебаний A A0e t

уменьшается со временем тем быстрее, чем больше коэффициент затухания . Циклическая частота этих колебаний меньше, чем она была бы в отсутствие сопротивления ( 0), а период –

маятника – см. уравнение (2.2), а может – зарядом конденсатора, см. уравнение (2.4) или (так как U q/C) – напряжением на нём.

Параметры, характеризующие затухающие колебания:

– коэффициент затухания, [ ] c 1;

11

1/ – время релаксации (за которое амплитуда уменьшается в e раз);

ln – логарифмический декремент затухания (очевидно, что

T).

Постепенное уменьшение амплитуды обусловлено постепенной потерей (диссипацией) энергии. Для количественного описания подобных потерь используется энергетическую характери-

стику Q, которая называется добротностью колебательной системы.

По определению добротностью называется домноженное на 2 отношение энергии, запасённой системой в некоторый момент времени, к энергии, теряемой за следующий период колебаний:

Пусть, например, в колебательном контуре в некоторый момент времени заряд конденсатора максимален, q(t) A0e t (при

этом ток в катушке индуктивности I 0), тогда энергия системы

E(t) WЭ макс(t) q(t)2/(2C) A02 e 2 t/(2C).

Через период энергия, запасённая в контуре, становится меньше:

E(t T) WЭ макс(t T) q(t T)2/(2C) A02 e 2 (t T)/(2C), тогда:

При малом затухании (2 T 1) можно записать: e 2 T 1 2 T,

или

На практике коэффициент затухания часто мал, 2 T 1, и формула (2.7) хорошо описывает связь между добротностью Q и логарифмическим декрементом затухания .

Заметим: и Q, и размерности не имеют.

12

Апериодический процесс (случай 0)

Если 0, решение дифференциального уравнения вида (2.2) записывается следующим образом:

приходит в положение равновесия, называется демпфированием. Примеры демпфирования – движение мягко закрывающейся двери, снабжённой демпферным тормозом-доводчиком, работа

амортизаторов автомобиля и т. д.

2.2 Вынужденные колебания

Реальный колебательный процесс сопровождается потерями энергии, поэтому для его поддержания система должна периодически получать энергию извне, компенсирующую потери. Коле-

бания, происходящие под действием внешней периодически действующей силы, называются вынужденными.

В случае механических колебаний учёт действия этой силы сводится к добавке соответствующего слагаемого в формулу второго закона Ньютона; для описания процессов в электрическом колебательном контуре дополнительное слагаемое, соответствующее включению в контур источника с переменной э.д.с., вводится в формулу закона Ома (для неоднородного участка цепи).

Поскольку, как мы уже убедились, вид соответствующих дифференциальных уравнений (и их решений) одинаков для самых разных колебательных систем, далее мы будем рассматривать

13

процессы, происходящие лишь в одной из них: в электрическом колебательном контуре.

Рассмотрим контур, в который кроме конденсатора с электро-

L

Данное уравнение относится к неоднородным (в его правой части стоит не ноль, а некоторое выражение). В теории дифференциальных уравнений показано, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения. В нашем случае это означает, что решение уравнения (2.10) при 0 можно представить следующим образом:

14

Первое слагаемое в формуле (2.11) описывает затухающие колебания в контуре, которые со временем прекращаются. Таким образом, после краткого переходного периода первое слагаемое станет практически равным нулю, и заряд на конденсаторе будет изменяться по гармоническому закону

однако колебания теперь будут вынужденными, происходящими с частотой внешней вынуждающей (электродвижущей) силы.

Существенно, что амплитуда q0 этих колебаний зависит от частоты этой силы, а это означает, что при некотором значении функция q0( ) может иметь максимум, то есть колебания окажутся особенно сильными.

Контрольные задания и вопросы

1.На примере пружинного маятника запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

2.На примере электрического колебательного контура запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

3.Проведите аналогию между механическими и электрическими колебательными процессами.

4.Дайте определения основным параметрам, характеризующим затухающие колебания: коэффициенту затухания, декременту затухания, логарифмическому декременту затухания, добротности.

5.Что называется демпфированием? Какое условие должно выполняться для демпфирования?

6.Какой процесс называется апериодическим, и каково условие его возникновения?

7.На примере электрического колебательного контура объясните, как возникают затухающие колебания. Запишите уравнение этих колебаний.

15

3.1 Явление резонанса

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды колебаний под действием внешнего периодической силы.

Резонанс по напряжению в колебательном контуре наблюдается, когда амплитуда U0 напряжения на обкладках конденсатора принимает максимальное значение,

Очевидно: максимум функции U0( ) достигается в случае, когда подкоренное выражение y ( 02 2)2 4 2 2 минимально. Для получения условия данного экстремума введём обозначение2 z, найдём производную yz 2( 02 z) 4 2, после чего приравняем её нулю: 2( 02 z) 4 2 0. Экстремум имеет место при z 02 2 2, то есть резонанс по напряжению достигается при частоте переменной вынуждающей силы (в нашем случае –

электродвижущей), равной

Рис. 3.1

- чем меньше , тем больше ча-

стота , при которой наблюдается резонанс (при 0 частота РЕЗ1 0);

16

- при частоте 0 колебаний в системе не происходит, напряжение на конденсаторе постоянно и равно E0;

Резонанс по току в колебательном контуре наблюдается, когда максимального значения достигает амплитуда I0 силы тока в цепи:

Максимум функции I0 ( ) достигается в случае, когда подкоренное выражение минимально, то есть – когда минимально первое слагаемое. Но оно всегда положительно, и его минимальное

17

-резонансная частота РЕЗ1 не зависит от коэффициента затухания ;

-при частоте 0 колебаний в системе не происходит, сила тока в цепи равна нулю;

Примечание 1

Очевидно, что в случае механических колебаний формулы (3.1) и (3.2) соответствуют условиям резонанса «по координате». Так, для амплитуды A колеблющегося под действием переменной силы F F0cos t пружинного маятника массой m можно записать:

Условия (3.3) и (3.4) соответствуют резонансу «по скорости» ( x ), в частности:

и резонанс происходит при 0.

Примечание 2

Отметим некоторые особенности цепи переменного тока, которой является колебательный контур, содержащий последовательно соединённые конденсатор с электроёмкостью C, катушку с индуктивностью L, резистор с сопротивлением R и источник переменной э.д.с. (с частотой ).

1. Используя закон Ома, уравнение (3.3) и то, что 02 1 , R ,

LC 2L

18

3. Связь между значениями напряжения на элементах колебательного контура может быть отображена с помощью векторной диаграммы (рис. 3.3).

Рис. 3.3

19