Lektsii_Fizika_chast_II

Здесь n – концентрация молекул на высоте h, а n0 – концентрация молекул на уровне земли.

В уравнение (15.12) входит выражение, являющееся формулой для расчёта потенциальной энергии тела массой m, которое находится в однородном (g const) поле тяготения на высоте h над поверхностью планеты: WП mgh, то есть

Больцман показал, что данная формула справедлива не только для газа, находящегося в гравитационном поле, но и для боль-

шого коллектива частиц, находящихся в любом потенциаль-

ном поле (например, заряженных частиц в электрическом поле).

Переписав это выражение для общего числа частиц N и N0, находящихся в заданном объёме в состояниях с WП и с потенциальной энергией, равной нулю, соответственно, получаем форму-

лу распределения Больцмана частиц по значениям их потенциальной энергии:

В случае идеального газа полная энергия молекулы складывается из её потенциальной и кинетической энергии: E wП wК.

Полагая, что распределение частиц по значениям их кинетической энергии не зависит от того, каким образом они распределяются по значениям потенциальной энергии (и наоборот), формулы распределений можно объединить, подставив (15.14) в (15.7). Получаемое при этом выражение называется распределением

140

Максвелла-Больцмана. В частности, для газа, не испытывающего воздействия внешних сил (WП 0) полная статистическая функция распределения Максвелла-Больцмана по энергиям имеет вид

15.4.4 Средняя длина свободного пробега

Как устанавливается в большом статистическом коллективе частиц распределение Максвелла-Больцмана?

Молекулы, двигаясь хаотически, постоянно сталкиваются друг с другом, передавая друг другу часть энергии, в результате чего и устанавливается распределение: достигается равновесное состояние газа, в котором он может находиться неограниченно долго.

Среднее расстояние, которое молекулы пролетают от одного столкновения до другого, называется средней длиной свободного пробега. Чем меньше эта длина, тем быстрее в системе устанавливается распределение, соответствующее равновесному состоянию.

Минимальное расстояние d между центрами молекул при их столкновении называется эффективным диаметром, а соответствующая площадь S0 d2 – эффективным сечением молекулы.

Пользуясь методом размерностей, получим формулу для оценки средней длины свободного пробега СР молекул в идеальном газе.

Очевидно: чем выше концентрация молекул n, тем чаще они сталкиваются друг с другом, и тем меньшей оказывается СР. Кроме того, чем больше площадь S0, тем вероятнее то, что они «зацепят» друг друга, столкнутся.

Далее учтём, что СР и d измеряются в метрах (м), а единица измерения концентрации – м 3. Очевидно, что равенство размерностей в левой и правой частях уравнения достигается при следующей комбинации СР, d и n:

141

Более строгий вывод формулы для вычисления средней длины свободного пробега приводит к уравнению

Заметим: концентрация молекул в идеальном газе напрямую связана с его давлением, так как p nkT. Поэтому средняя длина свободного пробега тем меньше, чем выше давление. Так, например, в воздухе при нормальных атмосферных условиях (273 К, 105 Па) средняя длина свободного пробега молекул составляет примерно 60 нм.

15.5 Явления переноса в газах

Хаотичность движения молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, можно нарушить внешними воздействиями. В результате этих воздействий возникнет новое равновесное состо-

яние. Необратимые явления, возникающие при переходе системы из одного равновесного состояния в другое, называются явлениями переноса. О переносе чего идёт речь?

a) Перенос массы: явление диффузии

Явление заключается во взаимном проникновении друг в друга частиц двух контактирующих тел: часть массы тел переносится из той области, где её много, туда, где её мало. В одномерном случае уравнение диффузии выглядит так:

Здесь mСЕК масса, переносимая в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества, плотность вещества, x – координата по оси, вдоль которой переносится масса, D коэффициент диффузии (зависит от природы газа, а также от его параметров: давления, температуры).

Формула (15.17) носит называние закона Фика.

142

b) Перенос импульса: явление внутреннего трения

Внутреннее трение (вязкость) – это свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части (слоя) относительно другой. При движении одного слоя в результате взаимодействия начинает двигаться следующий, контактирующий с ним. Но из-за трения в движение приходит и третий слой, и так далее: от слоя к слою переносится импульс.

Явление описывается законом Ньютона:

В этой формуле * напряжение трения, численно равное силе внутреннего трения, которая действует на единицу поверхности слоя по касательной к ней; d изменение скорости движения слоёв при переходе от слоя к слою на расстояние dy в направлении, перпендикулярном движению слоёв; – коэффициент внутреннего трения (другое название – динамический коэффициент вязкости), который определяется свойствами вещества.

c) Перенос энергии: явление теплопроводности

Явление связано с переносом энергии из одной части системы (нагретой) в другую, имеющую меньшую температуру.

В случае одномерного переноса тепла (вдоль направления, задаваемого осью X), уравнение теплопроводности (закон Фурье) имеет следующий вид:

где qСЕК – энергия, передаваемая в форме теплоты за единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную направлению переноса энергии, x – координата по оси, вдоль которой переносится тепло, * коэффициент теплопроводности (зависит от свойств вещества).

Формулы (15.16) – (15.18) могут быть выведены на основе мо- лекулярно-кинетической теории. Ещё раз отметим: описываемые ими процессы переноса стремятся вернуть систему, выведенную

143

внешними воздействиями из равновесного состояния в состояние, которое вновь будет характеризоваться лишь хаотическим, неупорядоченным движением частиц, подчиняющимся распределению Максвелла-Больцмана.

Контрольные задания и вопросы

1.Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов и поясните смысл входящих в него величин.

2.Запишите формулу для расчёта среднеквадратической скорости молекул идеального газа. Какой смысл имеет эта скорость (что она характеризует)?

3.Каков смысл распределения Максвелла молекул по скоростям? Начертите графики полной статистической функции распределения Максвелла для двух температур: Т1 и Т2 > Т1.

4.Опишите опыт Штерна.

5.Выведите барометрическую формулу.

6.Какой смысл имеет распределение Больцмана? Что оно показывает?

7.Какой смысл имеет распределение Максвелла-Больцмана молекул по энергиям?

8.Что называется средней длиной свободного пробега молекул в газе? От чего она зависит?

9.Приведите примеры явлений переноса. В каком случае возникают эти явления?

144

16.1 Первое начало термодинамики

Первое начало (закон) термодинамики является одной из формулировок закона сохранения энергии, распространённой на процессы, связанные с передачей тепла от одного тела к другому. Со-

гласно закону количество теплоты Q, сообщаемое системе,

расходуется на изменение dU её внутренней энергии и на работу A системы против внешних сил:

Закон говорит о том, что по сути количество теплоты, так же, как и работа является мерой изменения внутренней энергии системы: dU – полный дифференциал функции U, а Q и A – бесконечно малые изменение теплоты и элементарная работа, которые таковыми не являются*. Рассмотрим поведение каждой из функций, входящих в приведённое уравнение, на примере идеального газа.

16.1.1 Внутренняя энергия

Полную энергию E системы частиц можно рассматривать, как сумму её внутренней энергии U и её энергии W (кинетической и потенциальной), как целого объекта. Величина U зависит только от внутреннего состояния вещества: в общем случае она складывается из энергии, связанной с движением отдельных молекул

* Знак полного дифференциала перед U означает, что при переходе системы из одного состояния в другое внутренняя энергия если и меняется,

то величина изменения не зависит от того, каким образом происходил процесс, а определяется лишь конечными и начальными параметрами

перед Q и A говорят о том, что общая работа, совершаемая при таком переходе, и получаемое (отдаваемое) количество теплоты зависят от того,

каким образом осуществляется процесс перехода.

145

относительно центра масс, от потенциальной энергии взаимодействия молекул и атомов друг с другом, от энергии взаимодействия электронов с ядрами атомов и нуклонов в самих ядрах… В случае идеального газа U связана лишь с хаотическим движением молекул: поступательным, вращательным, колебательным. То, какой средней энергией обладает одна молекула, определяется законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Число степеней свободы – это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. Понятно, что если система состоит всего из одной частицы (точки), то в нашем трёхмерном пространстве для описания её положения нужны три координаты, значит, число её степеней свободы i 3. Если система состоит из N* объектов, то приходится описывать положение каждого из них, и число степеней свободы оказывается равным 3N*. Если перейти в систему отсчёта, связанную с центром масс системы, все 3N* степеней свободы можно разделить на три группы: на те, которые описывают поступательное движение центра масс вдоль выбираемых осей координат (их всего три), на те, которые описывают вращение системы вокруг этих же осей (их, соответственно, тоже три) и на те, которые связаны с колебательным движением отдельных частиц около своего положения равновесия (понятно, что их 3N* 3 3 3N* 6 штук).

Согласно закону о равном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы молекулы в среднем при-

ходится одинаковая кинетическая энергия (поступательного,

вращательного или колебательного движения), равная 1 kT,

2

где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура. При колебательном движении кроме кинетической энергии объект обладает ещё и потенциальной энергией, на долю которой

(на каждую степень свободы) приходится также по 1 kT.

2

Рассмотрим примеры:

146

(см. §15.1). О вращении атома – точки говорить не приходится, нет и колебательных степеней свободы.

- Двухатомный газ (например, кислород, O2), N* 2. Всего число степеней свободы i 3N* 6. Среди них – три поступательные, на долю каждой из которых приходится по ½kT. В двухатомном газе можно говорить о вращении молекул лишь относительно двух осей (см. рис. 16.1). Дело в том, что момент инерции системы, состоящей из двух точек, относительно третьей оси равен нулю (на рис. 16.1 это ось Z), и о кинетической энергии при вращении относительно этой оси говорить не приходится (напомним: при вращении WК ½I 2, где I – момент инерции относительно оси вращения, – угловая скорость; так как I r 2, где r – расстояние частицы до оси вращения, то в случае точечного объекта, расположенного на оси вращения, r 0, то есть I 0 и WК

0).

Таким образом, для молекулы двухатомного газа имеет смысл говорить о трёх поступательных, двух вращательных степенях свободы (на каждую из этих степеней приходится по ½kT) и (поскольку всего i 3N* 6) – об одной колебательной, на долю которой приходится ½kT ½kT kT. Правда, при обычных, не слиш-

ком высоких температурах колебания атомов в молекулах газа практически не проявляются, поэтому можно считать, что энергия молекулы двухатомного идеального газа в среднем равна

147

- Многоатомный газ (N 3). У метана CH4, например, N* 5,

общее число степеней свободы 3N* 15, из которых три – по-

ступательных (на них приходится по ½kT), три – вращательных

(теперь возможно вращение вокруг всех трёх осей), на каждую из которых также приходится по ½kT, и 15 3 3 9 колебательных, на каждую из которых должно приходиться по kT. Однако при обычных температурах колебания не проявляются, и поэтому существованием колебательных степеней свободы можно прене-

В результате можно сделать вывод: при обычных температурах

в среднем энергия одной молекулы идеального газа ‹wК*› i kT,

2

где i 3 или i 5 или i 6. Если же газ содержит N M NА моле-

кул (здесь M – масса газа, – его молярная масса, а NА – число Авогадро), то его внутренняя энергия рассчитывается так:

Соответственно, если число молекул в газе не меняется (M const),

Мы видим: внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если в ходе некоторого процесса газ возвращается в состояние с той же температурой, общее изменение его внутренней энергии оказывается равным нулю, то есть

Термодинамические функции, для которых выполняется условие вида (16.3), то есть принимаемые ими значения однозначно определяется параметрами состояния (в данном случае – температуры) и не зависит от того, каким путём система в него при-

шла, называются функциями состояния. Итак, внутренняя энергия идеального газа является функцией его состояния (в

отличие от теплоты и работы: см. примечание на стр. 145).

148

Примечание 1

Высокими считаются температуры, при которых колебания настолько сильны, что становится возможным распад молекул на отдельные атомы. Это, например, – одна из причин, по которой трудно описать процессы, происходящие в двигателе внутреннего сгорания: температура и давление паров топлива постоянно меняются, колебательные степени свободы то проявляются, то нет, да и сами пары неоднородны, то есть являются смесью разных газов со своими собственными характеристиками.

Сходная ситуация наблюдается и с понижением температуры: при T порядка сотни кельвин молекулы газов перестают вращаться, и у них остаются лишь поступательные степени свободы, то есть в этих условиях i 3.

16.1.2 Работа, совершаемая идеальным газом

в процессе движения меняется угол , то работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2 рассчитывается, как интеграл:

Рассмотрим идеальный газ, находящийся в цилиндре объёмом V, одно из оснований которого (площадью S*) – невесомый пор-

149