2.1.1.2 Распределение Бернулли

С распределением качественных признаков тесно связана простейшая классификация - деление пополам: оба значения признака равно возможны, например, дефектный - годный, точный - неточный, пригодный - непригодный и т.д.

Если генеральная совокупность объема содержитобъектов с признаком успеха, то вероятностьтого, что появление каждого, из числа которых можно считать успехом, равна:

. (2.8)

Соответственно вероятность появления объектов с признаком неуспеха :

. (2.9)

Интересующие признаки обозначают через и. Таким образом определяют двузначную случайную переменную, распределение вероятности которойимеет следующий вид:

при

при

в противном случае

(2.10)

Заданное формулой (2.10) двухточечное распределение называется распределением Бернулли. Единственный параметр этого распределения называют вероятностью успеха. Приилиимеем случайную переменную с вырожденным одноточечным распределением в точкахили.

Ф

при

ункция распределения Бернуллиимеет вид

при

при

(2.11)

На рис.2.2 изображены графики распределения Бернулли и функции распределения при .

а) Распределение вероятностей б) Функция распределения

Рис.2.2. Распределение Бернулли при

Обратная (квантильная) функция распределения Бернулли имеет вид:

при ,

при .

(2.12)

Мода определяется следующим образом

при ,

при .

(2.13)

При моды не существует.

Математическое ожидание распределения Бернулли

. (2.14)

Для определения дисперсии пользуются формулой. Учитывая, что, получим

. (2.15)

Асимметрия распределения Бернулли согласно (2.7) определяется следующим образом:

.

Таким образом, при (асимметрия отсутствует), при, при.

Распределение Бернулли является основой нескольких распределений, о которых речь пойдет дальше.

Пример 2.4. В результате контроля кузовов автомобиля в лакокрасочном цехе автомобильной фирмы получены следующие результаты:

- без дефектов ;

- с подтеками и пузырьками .

О

при ,

пределите плотность и функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию, а также квантильную функцию. Вычислите.

при ,

в противном случае.

при

при

при

при ,

при .

Математическое ожидание , дисперсии, мода, значение квантильной функции . Графики распределения вероятностей и функции распределения представлены на рис.2.3.

Рис.2.3. Распределение вероятностей и функция распределения Бернулли при

Пример 2.5. При каком значении величинапринимает максимальное значение. Вычислите его.

. Продифференцируем это выражение по и приравняем к нулю, получим:

.

Таким образом, дисперсия принимает максимальное значение при.