Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.

Здесь уместно напомнить «правило трех сигм».

Положим . Пусть, тогда получим:

,

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0.9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0.0027. Это означает, что лишь в 0.27 % случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозмож­ности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность «правила трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике «правило трех сигм» применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выпол­няется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

В заключении отметим, что нормальное распределение обладает важным свойством: большинство наблюдаемых значений случайной величины, подчиняющейся этому закону распределения, группируются вблизи математического ожидания, а по мере удаления от него встречаются все реже:

- 68.27 % - т.е. две трети всех значений случайной величины расположены в интервале ;

- 95 % - в интервале ;

- 95.45 % - в интервале ;

- 99.0 % - в интервале .

- 99.73 % - в интервале ;

- 99.9 % - в интервале ;

- 99.994 % - в интервале .

Пример 2.25. Пусть случайная переменная подчиняется нормальному распределению. Вычислитеи

;

Пример 2.26. Как изменится график плотности нормального распределения, если:

а. Увеличить или уменьшить математическое ожидание (при постоянной дисперсии)?

С увеличением (уменьшением) параметра график плотности распределения смещается вправо (влево).

б. Увеличить или уменьшить дисперсию (при постоянном математическом ожидании)?

С увеличением (уменьшением) параметра график плотности распределения становится более пологим (крутым).

Пример 2.27. Масса пачек с сахаром подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием и стандартным отклонением. Поле допуска на массу сахара в килограммовой пачке составляет []. Пачки, имеющие массу, выходящую за поле допуска, являются «браком».

а. Найдите долю брака Р, если автомат настроен на

Доля попавших в заданный интервал:

Тогда доля брака будет составлять .

б. Представьте долю брака Р в виде функции. Начертите график функции.

1 -

в. На какое значениенадо настроить автомат, чтобы доля брака была минимальна? Вычислите эту долю брака.

г. Пусть = 1000. Найдите брак Р как функцию. Начертите график функции Р=Р().

д. Пусть =1000 г и=0.5 г. Что окажет большее влияние на увеличение доли брака – сдвигнаг или увеличениена 0.5 г?

0.0228

Следовательно, увеличение параметра на 0.5 г имеет большее значение.

Пример 2.28. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, чтопримет значение, принадлежащее интервалу[10;50].