3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры

В разделе 3.2.1 речь шла о том, что уровень дефектности партии изделий, у которых признак качества имеет распределение , можно оценить как через уровень настройки, так и через долю брака. Поэтому при анализе принципа действия одноступенчатого плана контроляс помощью оперативной характеристики в качестве ее аргумента можно использовать как, так и. Получающиеся при этом характеристики обозначим черези:

На практике, как правило, применяют функцию , то есть вероятность приемки партии, проверенной по одноступенчатому плану контроля, чаще всего задают в функции доли брака.

При выведении выражений для обоих вариантов оперативной характеристики плана будем исходить из известной технологической дисперсиии заданного нижнего предельного значения. Формулы, которые получаются при задании верхнего предельного значения, представлены в табл.3.4.

В силу того, что решения о приемки или браковке партии при использовании любой из представленных величин ивсегда одинаковы, то есть доказательство статистической гипотезы (3.7) зависит только от параметрови, то при выводе функцийибудем считать контрольной величину. Дляоперативной характеристики с аргументом на основании условий приемки (3.10) получаем:

. (3.16)

Применяя , получаем

. (3.17)

На рис.3.8 представлены два варианта изображения зависимости (3.17) между уровнем настройки и вероятностью приемки партии. Примем следующие параметры плана контроля:и, а. Показанные на рис.3.8а вероятности приемкиможно интерпретировать как площади соответствующих областей под кривой плотности. Мы видим, что вероятности приемки при постоянном нижнем предельном значениис возрастаниемстрого монотонно возрастают. Последнее более четко видно по рис.3.8б, на котором изображены графики оперативной характеристик. Оперативная характеристика имеет здесь вид.

Оперативная характеристика с аргументом получается из (3.17) после подстановки

. (3.18а)

С помощью формулы (3.4а) получаем

, (3.18б)

и с учетом (3.17) окончательно имеем:

. (3.19)

а) заштрихованные области - значения функции ;

б) график оперативной характеристики .

Рис.3.8 Оперативная характеристика плана контроля (25;0,2) при заданном нижнем предельном значении

Если для плана контроля при заданном уровне дефектности требуется вычислить вероятность приемки , то сначала следует найти квантиль , затем в формуле (3.19) вычислить значение аргумента функции нормированного нормального распределения и,наконец, получить значение .

На рис.3.9 изображен график функции , которая согласно (3.18) получается из оперативной характеристики. При заданном нижнем предельном значении, как видно из формул (3.3а) и (3.4а), параметрыисвязаны друг с другом нелинейной строго монотонно убывающей зависимостью, то есть с увеличениемвозрастаети наоборот. В силу того, чтовозрастает строго монотонно (рис.3.8б), тодолжно строго монотонно убывать. На рис.3.9 вместе с осью значенийизображена еще ось значений. При заданномсоответствующее значениевычисляется по формуле (3.4а). Так еслии, то.

Рис.3.9 График оперативной характеристики плана контроля (25;0.2) при заданном нижнем предельном значении

Обозначим уровень настройки или ту долю брака, при которых вероятность приемки партии имеет заданное значение, как квантиль оперативной характеристики порядка. Для выведения формулы длявоспользуемся выражением (3.17) и квантилем нормированного нормального распределения, которыми объясняется эквивалентность выражений:

. (3.20)

Вычислим , используя правое уравнение:

(3.21а)

Выраженный через квантильполучаем путем подстановки величиныв формулу (3.2а):

(3.21б)

В табл.3.4 представлены выражения для оперативных характеристик ии формулы для вычисления квантилей порядка. В таблице приводятся также соответствующие функции и формулы, получаемые при заданном уровне настройкии наибольшем предельном значении. Следует обратить внимание на то, что выражение для оперативной характеристикии ее квантилей не изменяются, если вместо нижнего предельного значенияподставить верхнее предельное значение.

Таблица 3.4 Оперативные характеристики и ее квантили при контроле по количественному признаку

	Задано нижнее значение	Задано верхнее предельное значение
Оперативная характеристика с аргументом и ее квантили
Оперативная характеристика с аргументом и ее квантили

Пример 3.3 Как влияет увеличение параметра на оперативную характеристику плана выборочного контроля (). Этот эффект очень хорошо виден по рис. 3.8.

Увеличение объема выборки ведет к увеличению мощности критерия, то есть крутизна оперативной характеристики в точке перегиба возрастает.

Пример 3.4 Ответьте на этот вопрос в отношении .

Увеличение параметра оказывает то же влияние, то есть ведет к увеличению мощности критерия при данном способе контроля.

Пример 3.5 Если задано наименьшее предельное значение , то при данном одноступенчатом плане контроля по количественному признаку проверяется гипотеза (3.7). Как нужно изменить (3.7), если задано верхнее предельное значение.

В выражении (3.7) изменяется только знаки неравенства.

Пример 3.6 Признак качества имеет распределение. Значениене должно превышать наибольшее предельное значение. Изобразите для плана контроля (25;0.2) график функции.

Оперативная характеристика согласно табл.3.5 имеет вид или .

Пример 3.7 Вычислите значение безразличного уровня дефектности для функции, то есть тот уровень настройки, при котором вероятность приемки партии составляет 0.5.

Если подставить в формулы табл.3.5, то с учетом равенства:

- при задании нижнего предельного размера получим;

- при задании верхнего предельного размера получим.

Пример 3.8 Вычислите значение безразличного уровня дефектности для оперативной характеристики.

Соответственно из (3.21б) при получаем зависимость длязначения в виде.