- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.1.1.4 Биномиальное распределение
Гипергеометрическое распределение было получено с помощью особенно наглядной модели. Из урны с черными ибелыми шарами отбиралисьшаров без возвращения. Вероятность при первой же попытке вытянуть черный шар составляла. При вытягивании второго элемента эта вероятность составляет, если первый вытянутый шар будет черным, и, если первый шар будет белым. Условная вероятность получения черного шара меняется в этой модели с каждым шагом.
Если же из описанной выше генеральной совокупности, распределенной по закону Бернулли, брать выборки с возвращением, то вероятность вытащить черный шар на каждом шаге постоянна и равна . При приемочном контроле по качественному признаку это значение соответствует доле брака в партии. Если черный шар снова интерпретировать как «успех», тогда общее число«успехов» в выборке подчиняетсябиномиальному распределению.
Биномиальное распределение c выглядит следующим образом:
в противном
случае,
при
,
а функция распределения определяется как:
при
,
при
,
при
.
На рис.2.4 изображены графики плотности биномиального распределения Бернулли и функции распределения при .
Рис.2.4. Графики плотности и функции распределения Бернулли при и.
Числовыми характеристиками -распределенной случайной переменнойявляются
, (2.29а)
. (2.29б)
При применении биномиального распределения очень удобными являются рекуррентные формулы:
; (2.30а)
(2.30б)
и отношения симметрии
, (2.31а)
. (2.31б)
Отношение симметрии (2.31а) говорит о том, что при вероятности успеха вероятность иметь«успехов» средиэлементов совпадает с вероятностью иметь«неудач» среди тех жеэлементов, еслиявляется вероятностью «неудач». Выражение (2.31б) показывает соотношение между вероятностями двух взаимодополняющих событий, а именносредиэлементов «успех» встречается максимумраз (левая часть выражения), и средиэлементов «неудача» встречается по крайней мерераз (правая часть).
Аналогом отрицательного гипергеометрического распределения является отрицательное биномиальное распределение, которое называют еще биномиальным распределением времени ожидания.
Пусть из урны с шарами, из которыхшаров черные, а оставшиесябелые, берут шары с возвращения до тех пор, пока не вытянут-ый черный шар. Проверяемой переменной в этой модели будет общее числотех шаров, которые следует вытянуть, чтобы встретился-ый черный шар, то естьэто случайный объем выборки. Отрицательное биномиальное распределение используют при анализе приемочного контроля с прерыванием (браковка партии согласно плану контроля при обнаружении-ого дефектного элемента в выборке из партии объемом).
Распределение вероятностей выглядит следующим образом:
в противном
случае,
при
,
с параметрами и. В случаеотрицательное биномиальное распределение называется также геометрическим распределением, так как появляющиеся в (2.32а) вероятности составляют убывающую геометрическую последовательность.
Распределение (2.32а) можно записать и по-другому:
в противном
случае,
при
,
Функция отрицательного биномиального распределения в соответствии с (2.32а) имеет вид:
при
.
при
,
Числовые характеристики случайной величины , подчиняющейся отрицательному биномиальному распределению, определяются формулами:
, (2.34а)
. (2.34б)
Кроме того, имеют место рекуррентные соотношения:
, (2.35а)
. (2.35б)
Между биномиальным и гипергеометрическим распределениями имеется приближение
при условии, что ,и.
Пример 2.9. Вычислите и.
.
.
Пример 2.10. На предприятие поступает партия колпачков объемом , из которыхизделий дефектны. Из этой совокупности берут выборку с возвращением объемом. Вычислите вероятностивозможных значений. Вычислите также моду, математическое ожидание и дисперсию.
Случайная величина распределена по-ому распределению, где,, а. Тогда
,
,
,
,
,
.
Мода . Математическое ожидание, а дисперсия.
Пример 2.11. Из генеральной совокупности , в которой дефектных изделий, берутся колпачки с возвращением до тех пор, пока не обнаружат третий бракованный. Вычислите вероятность того, что объем данной выборки составитконденсаторов. Вычислите соответствующую вероятность дляи. Вычислите математическое ожидание и дисперсию?
Дискретная случайная величина распределена по . Тогда
,
,
,
,
.
Математическое ожидание и дисперсия соответственно:
, .