2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Рассмотрим последовательность независимых событий, распределенных по закону Пуассона с интенсивностью в единицу времени, например в минуту. Исходя из воспроизводимости распределения Пуассона, можно утверждать, что число событий, происходящих на интервале, распределено также по закону Пуассона, но с интенсивностью. Вероятность того, что в течение времени, начиная с момента наступления последнего события, не произойдет ни одного события, равна

. (2.45)

Выражение «в течение времени , начиная с момента возникновения последнего события, не произойдет ни одного события», одинаково с выражением «интервал времени между следующими друг за другом событиями не превышает». Если этот интервал, который является непрерывной случайной переменной, обозначить как, а его значения как, то есть сделаем замену переменной, то зависимость (2.45) можно представить в следующем виде

.

Эта вероятность монотонно убывает с ростом . Монотонно возрастать будет вероятность противоположного события, которая и является функцией распределенияэкспоненциального (показательного) распределения:

при ,

при ,

(2.46)

где - положительная постоянная величина.

Производная от (2.46) - плотность экспоненциального (показательного) распределения, описывается следующей зависимостью:

при ,

при .

(2.47)

На рис.2.9 изображены графики плотности и функции распределения экспоненциального (показательного) показательного распределения при .

Из (2.46) получаем квантильную функцию экспоненциального распределения

; . (2.48)

Экспоненциальное распределение имеет следующие числовые характеристики:

- математическое ожидание - ; (2.49а)

- дисперсия - ; (2.49б)

- мода -; (2.49в)

- асимметрия (левая) - . (2.49г)

Следует отметить, что мода и асимметрия не зависят от параметра , а математическое ожиданиеи среднее квадратическое отклонениепоказательного распределения равны между собой.

При выводе (2.46) было показано, что экспоненциальное (показательное) распределение тесно связано с распределением Пуассона, которое позволяет предсказать вероятность случайного числа событий на заданном временном интервале. Экспоненциальное распределение прогнозирует вероятности для интервалов времени от момента появления одного (заданного) события до следующего. Основой обоих распределений является пуассоновский процесс, который характеризуется тремя признаками:

- стационарностью (число событий, возникающих в интервале [] зависит только от длины интервала, но не от начала отсчета);

- ординарностью (при малых вероятность наступления нескольких событий пренебрежимо мала);

- отсутствием последействия (частость наступления событий в предыдущих интервалах не влияет на частость наступления событий в последующих).

Рис.2.9. Плотность и функция распределения экспоненциального (показательного) показательного распределения при

В обеспечении качества и технической статистике показательное распределение выступает как распределение времени безотказной работы. Например, если отказы машины образуют пуассоновский процесс, то промежуток времени между двумя отказами является временем безотказной работы.

Часто длительность времени безотказной работы элемента, устройства, оборудования имеет показательное распределение, функция распределения которого . Тогдафункция надежности в случае экспоненциального распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:

.

Таким образом, показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где- интенсивность отказов. Настоящая зависимость позволяет найти вероятность безотказной работы устройства на интервале времени длительностью, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример 2.19.

Пусть признак качества . Определитеи, а также вероятностии. Определите медиануи расстояние между квантилямии.

, .

;

;

;

;

;

;

тогда .

Пример 2.20.

Продолжительность срока службы лампы накаливания подчиняется экспоненциальному распределению. Средний срок службы (время работы) составляет 2000 часов. Лампы со сроком службы, меньшим 250 часов, являются браком. Какова вероятность брака

Поскольку2000, то0.0005 и поэтому

Пример 2.21.

Непрерывная случайная величина распределена по показательному законуприипри. Найти вероятность того, что в результате испытанияпопадет в интервал [0.3;1].

По условию, . Тогда.

Пример 2.22.

Написать функцию распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины , распределенной по экспоненциальному закону с параметром.

Пример 2.23.

Непрерывная случайная величина распределена по показательному законуприпри. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал [0.4;1].

Пример 2.24.

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону , гдеt – время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.