3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы

Чтобы проверить сформулированную гипотезу, то есть высказать статистическое суждение о значении параметра распределения признака качества генеральной совокупности, анализируется выборка объемом . Значения признаков качества в выборке образуют выборочный вектор. При проверке гипотезы в качестве контрольной величины вместо вектораприменяют скалярную функциювектора. Эта функция (ее значение называют такжеконтрольной или тестовой величиной) должна быть удобной для оценки достоверности и. Таким образом, ее распределение должно зависеть от того, какая из гипотез правильна. Кроме того, распределение применяемой в качестве контрольной величины выборочной функциидолжно поддаваться вычислению при верности. Значение распределенияпри верности гипотезынеобходимо для определения уровня значимости. В случаеилираспределениеопределяется на краю области задания гипотезы, то есть при.

Для проверки гипотезы о неизвестном математическом ожидании или дисперсиигенеральной совокупности в качестве контрольной величины чаще всего применяют выборочное среднееи выборочную дисперсию.

4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы

Перед проверкой гипотезы нужно вычислить возможную наибольшую вероятность ошибки первого рода. Эту верхнюю границу

(2.71)

вероятности ошибки первого рода называют уровнем значимости. При заданном значении уравнение (2.71) рассматривают как определение для областиотклонения гипотезы, то есть, задавая, определяют областьотклонения гипотезы.

При дискретной контрольной величине не всегда возможно точное соблюдение (2.71). Тогда пытаются выполнить условие

(2.72)

при заданном так, чтобылежал как можно ближе к. Это неравенство также позволяет при заданномнайти областьотклонения гипотезы.

Примечание. ТерминsupS_yозначает, что множествоS_yдействительных чиселyимеетточную верхнюю границу. ТерминinfS_yозначает, что множествоS_yдействительных чиселyимеетточную нижнюю границу. Если множествоS_yконечно, то его точная верхняя граница равна наибольшему числу, а точная наименьшая граница равна минимуму.

Вероятность ошибки относится здесь к критерию проверки гипотез в целом, а не к отдельному результату проверки. Последнее означает, что если проверка при уровне значимостипроводится достаточно часто, то примерно в 5 % случаев гипотезабудет отклоняться, хотя она в действительности верна. Утверждение, что гипотеза, если она отклоняется, не верна с вероятностью 0.95 в любом случае нельзя считать корректным.

Уровень значимости критерия ограничивает вероятность нежелательной ошибки 1-го рода, но его нельзя выбирать произвольно малым, так как уменьшение связано с увеличением вероятности ошибки 2-го рода. Распространенными значениями, как уже отмечалось выше, являются 0.1; 0.05; 0.01; иногда применяют 0.001.

5. Принятие решения и его интерпретация

Если полученное значение контрольной величины при данной выборке приходится на критическую область, то нулевую гипотезуотклоняют.

Отклонение гипотезы не означает, что она ложна. Важно то, что вероятность принятия неверного решения (риск производителя) ограничена сверху уровнем значимости. Нулевая гипотезаможет считаться в этом случае статистически противоречивой, конкурирующая гипотеза - статистически достоверной.

Соответственно нельзя интерпретировать принятие как доказательство ее верности. Принятиеозначает, что выборочная характеристикане противоречит, поэтомуможно оставить как рабочую гипотезу. Утверждение о верностистатистически неподконтрольно, так как вероятность принятия в действительности неверной гипотезы(ошибка 2-го рода) ничем не ограничена, как это было в случае отклонения на самом деле верной гипотезы. Рассматриваемая здесь вероятностьошибки в худшем случае может достигнуть значения.