Р

0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

AQL IQL RQL

ис.3.24изначения оперативной характеристики

Поскольку , вероятность ошибки первого рода составляет, а вероятность ошибки второго рода равнаили.

В зависимости от вида используемой оперативной характеристики различают гипергеометрические и биномиальные квантили оперативной характеристики, а также квантили оперативной характеристики Пуассона. Для них применяются следующие обозначения:

- - гипергеометрические квантили; квантили,

- - биномиальные квантили; квантили,

- - квантили характеристики Пуассона; квантилии.

Наиболее легко вычисляются квантили оперативной характеристики Пуассона. Определяющее уравнение для этих квантилей получаем из зависимости формул (3.69). Таким образом, при должно выполняться:

.

Такое соотношение справедливо и для . Поэтому

. (3.88а)

При заданных значениях ис помощью таблицы квантилейраспределения можно вычислить квантили оперативной характеристики Пуассона.

Другую формулу для иможно вывести из соотношения (3.70):

. (3.88б)

Здесь . (3.89а)

Величины (3.89а) являются квантилями гамма распределении при . Они табулированы не только для целочисленных, но и для всех действительных. Дли целочисленныхквантили (3.88б) совпадают с квантилями (3.88а)

, . (3.89б)

Используя (3.88б), можно вычислить - значениеоперативной характеристики Пуассона. Приближение дляимеет вид

. (3.90)

Приближение (3.90) наиболее удобно для практических расчетов, так как его при­менение не требует наличия таблиц. Приемлемость замены наможно оценить по таблице квантилей гамма-распределения. Например, приквантиль гамма – распределения по таблице равен 1.678, а. Приквантиль равен 10.67, а.

Для вычисления биномиальных квантилей оперативной характеристики при­ведем две точные и две приближенные формулы. Первую точную формулу получим из соотношения . Таким образом, значениеявляется биномиальным квантилем оперативной характеристики порядка, если выполняется условие

,

из которого следует значение квантиля

. (3.91а)

В уравнении (3.91а) величину можно заменить на обратную, равную. Тогда

. (3.91б)

Квантили распределения Фишера табулированы и представлены в соответствующих таблицах. Как правило, в таблицы внесены только квантили порядка. Поэтому формулу (3.91а) следует применять при, а формулу (3.91б) при.

Если имеются таблицы квантилей бета-распределения, то бино­миальные квантили оперативной характеристики можно вычислить, применяя . Дляаналогично (192б) получим:

. (3.91в)

Приближенная формула для базируется на приближении Пуассона к биномиальной оперативной характеристике. Используя зависимости приближения, получим:

. (3.92а)

Более близкое приближение имеет следующий вид

. (3.92б)

значение можно точно вычислить по (3.91) или приближенно - по (3.92). Для более точного вычислениязначенияимеется более удобная формула

. (3.93)

Гипергеометрические квантили оперативной характеристики можно определить только приблизительно. Из биномиального приближения гипергеометри­ческой функцииследует, что

, (3.94а)

и из приближения Пуассона

. (3.94б)

Более точным является следующее приближение:

. (3.94в)

Более удобной формулой для значенияпри гипергеометрической оперативной характеристике, которая является настолько же точной, как (3.94в), является следующая

. (3.95)

Наиболее важные результаты, а именно выражения для гипергеометрической и биномиальной оперативных характеристик и характеристики Пуассона, а также для соответствующих квантилей, представлены в табл.3.14.

Пример 3.32 Для одноступенчатого плана контроля () приинужно определить биномиальный квантиль оперативной характеристики.

Воспользуемся зависимостью

.

По таблице квантилей - распределения Фишера . Тогда.

Применяя приближения и, получим другое значение:

.

Кроме того, через приближение и таблицу квантилей гамма-распределения, получим

.

Используя более точную аппроксимацию, получим

.

Оперативная характеристика	Приближенные выражения для оперативной характеристики	Квантили оперативной характеристики	Приближения для IQL=0.5
Гипергеометрическая оперативная характеристика: где	Биномиальное приближение: приближение Пуассона:
Биномиальная оперативная характеристика:	Приближение Пуассона:
Оперативная характеристика Пуассона:	-

Таблица 3.14 Оперативные характеристики и их квантили для простейших планов контроля

Пример 3.33 Вычислите при иквантили оперативной характеристики Пуассонадля.

Квантили . Представим результаты в виде таблицы

Таблица квантилей оперативной характеристики Пуассона для простого плана контроля

	0.999	0.99	0.95	0.50	0.1	0.01
	0.0043	0.0082	0.0137	0.0367	0.0668	0.1005

Пример 3.34 Вычислите для изображенных на рис.3.22 графиков биномиальных оперативных характеристик квантили. Используйте при этом точную формулу.

По точной формуле и таблице квантилейраспределения Фишера вычисляем:

- ,

- ,

- .

Пример 3.35 Вычислите приближенно три значения биномиального квантиля из предыдущего примера, применяя формулыи, и сравните полученные результаты с точными.

Применяя и таблицу квантилей гамма-распределения, получим:

- ,

- ,

- .

Более точная зависимость дает следующие значения:

- ,

- ,

- .

Пример 3.36 Определите для оперативной характеристики Пуассона прис помощью формулы квантили . Какой результат получился бы для значения при использовании приближения ?

По точной формуле и таблице квантилей гамма-распределения получаем:

,

,

.

значение находим по зависимости

.

Пример 3.37 Определите эти же квантили для биномиальной функции , применяя приближение . Какой результат для значения получился бы при применении точной формулыи приближения ?

Квантили биномиальной оперативной характеристики

,

,

.

При определении точного значения получим:

.

Другое приближение дает следующий результат:

.

Пример 3.38 Вычислите названные квантили для гипергеометрической оперативной характеристики . Используйте при этом приближение . Какой результат для значения получился бы при использовании зависимостей и ?

Значения квантилей оперативной характеристики равны:

,

,

.

По приближенной формуле

.

Пример 3.39 Вычислите, используя формулу , для оперативной характеристики Пуассона из предыдущего примера относительную крутизнув точке. Используйте при этом сначала точную формулу при , а затем приближенную формулу . Поясните полученный результат.

При имеем:

.

По таблице или по формуле получим значение , тогда

.

Используя приближенную формулу, получим

.

Последний результат означает, что при увеличении доли брака на 1 %, то есть при переходе отк, вероятность приемки партии уменьшается на 1.32 %.

Пример 3.40 Как будет выглядеть в биномиальном случае? Определите по прис­пособленной для этого случая формуле относительную крутизну характеристики в точке, применяя также зависимость для оценки .

В биномиальном случае сделаем следующую замену:

.

При с учетом табличного значения или по зависимости равна , тогда получаем:

.

Пример 3.41 К плану контроля () предъявляется требование: приемлемый и браковочный уровни качества должны быть как можно более близки друг к другу. Как должен быть построен этот план контроля?

Если значения приемлемого и браковочного уровней качества должны быть близки друг к другу, то и кривая оперативной характеристики должна быть достаточно крутой (рис.5.25). Средства достижения этого, например, является увеличение уменьшение.

Пример 3.42 Пусть для характеристики известен квантиль(). Какие соотношения существуют между этим гипергеометрическим квантилем и квантилями соответствующих оперативных характеристики?

Поскольку , все три оперативные характеристикидля всехприявляются вогнутыми, не имеют точек перегиба и, поэтому. Если начертить эти три графика, то получим ситуацию, изображенную на рис.3.16, причем оперативная характеристика Пуассона будет располагаться сверху, а гипергеометрическая – снизу.