telnov-machanika-and-TO

саней не меняется, никакой энергии (горючего) в этом случае не требуется. В этом случае трактор можно заменить натянутым канатом. Другое дело, если сани движутся, тогда совершается работа, тратится энергия.

Рассмотрим, как кинетическая энергия зависит от системы отсчета. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета имеются частицы с

массами m i , движущиеся со скоростями vi . В этой системе отсчета их кинетическая энергия равна сумме их кинетических энергий

Найдем теперь кинетическую энергию этих частиц в системе отсчета, в которой исходная система движется со скоростьюV . В этой системе

скорость частицы равна vi + V , откуда энергия всех частиц

K= åm2i (vi + V)2 = åmi2v2i + Våmi vi + å2mi V 2 . (30.8)

Сучетом (30.6),(30.7)

где m = åmi . Если в исходной системе суммарный импульс частиц

i

равен нулю (система ц.м.), то второй член в (30.9) равен нулю, потому

ц.м. 2

Таким образом, кинетическая энергия равна кинетической энергии в системе ц.м. плюс кинетической энергии системы как одного тела с суммарной массой.

Единицы измерений работы и энергии

Всистеме СИ единицей энергии является Джоуль (Дж) = Н·м.

Всистеме СГСЭ единицей энергии является эрг (эрг) = дин·см.

Название «Джоуль» с честь английского физика, «эрг» от греческого ἔργον — работа. Поскольку Н = 105 дин, а м = 102 см, то

1Дж=107 эрг.

71

§ 31. Консервативные (потенциальные) и неконсервативные силы

2

Пусть в пространстве задана сила F(r) , такая, что работа ò Fdl не

1

зависит от траектории, а зависит только от конечных координат. Такие силы называют консервативными (или потенциальными). Как нетруд-

но сообразить, в этом случае работа по замкнутому контуру равна нулю: ò Fdl = 0 . Для таких сил удобно ввести понятие потенциальной энергии между точками 1 и 2

Потенциальная энергия является скаляром (не имеет направления) и является функцией координат.

Поскольку

dU =U(x +dx,y +dy,z +dz) -U(x,y,z) = ¶¶Ux dx + ¶¶Uy dy + ¶¶Uz dz , (31.3)

72

Tо есть потенциал U(r) соответствует силе, направленной по радиусу,

идля ее вычисления достаточно взять простую производную по радиусу. В дальнейшим этим будем пользоваться.

Заметим, что поскольку потенциальная энергия является интегралом от силы, то она определена с точностью до константы. Иначе, для задания потенциальной энергии во всем пространстве нужно задать «руками» потенциальную энергию в какой-то точке пространства, выбрать начало отсчета.

Рассмотрим несколько примеров консервативных (потенциальных)

инеконсервативных (непотенциальных) сил.

Однородное поле тяжести.

Выбираем направление X – вверх, g – вниз, тогда сила тяжести f(x) = mg , (31.10)

работа и потенциальная энергия

dA = mgdl = -mg dx, dU = -dA = mg dx , (31.11)

U(x) -U(a) = mg(x -a) , (31.12)

где a – точка отсчета потенциальной энергии. Поскольку явным образом найдено выражение для потенциальной энергии как функции координаты, то поле потенциально.

Осциллятор (тело на пружинке):

– поле потенциально.

73

Центральное поле:

поле потенциально. Обычно полагают U(¥) = 0 , т.е. const = 0 . Если сила отталкивающая, a > 0 , то U(r) > 0 , и a < 0 , U(r) < 0 для сил

притяжения.

Сила трения

где a(v)>0, т.е. сила направлена против скорости.

ò f dl = ò f vdt = -ò a(v)v dt < 0 ¹ 0 – сила непотенциальная.

§ 32. Закон сохранения энергии

74

Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих посредст-

Пусть Fi jdri j º -dUi j по определению, назовем Ui = åUi j потен-

j¹i

циальной энергия частицы i в поле остальных частиц, тогда в соответствие с (32.8) полная потенциальная энергия

потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий пар частиц.

Например, рассмотрим два заряда. Потенциальная энерия первого заряда в поле второго равна U1 = q1rq2 , потенциальная энерия второго

75

заряда в поле первого равна U2 = q1rq2 , и общая потенциальная энергия

U = 21 (U1 +U2 ) = q1rq2 .

Для нахождения потенциальной энергии пары можно первую частицу закрепить, а вторую перемещать т.к. dU = -F1dr1 - F2dr2 = -F2dr21,

dr21 = dr2 -dr1. Итак

(32.10)

(32.11)

здесь E – полная механическая энергия частиц, K – это кинетическая энергия частиц в системе, U – потенциальная энергия частиц.

Примеры.

1) Тело, летящее в однородном гравитационном поле Земли:

2) Качели, массы m1 и m2 , плечи l1 и l2 , в равновесии.

Для того чтобы качели были уравновешенны, требуется, чтобы потенциальная энергия не изменялась при наклоне качелей (тогда не возникает движения). Поскольку потенциальная энергия

гдеda – угол наклона качелей. Система находится в равновесии при

Получили правило рычага. В такой системе можно поднимать одно тело за счет опускания другого. Здесь кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия одного тела переходит в потенциальную энергию другого тела.

3) Упругое столкновение шариков.

Здесь, наоборот, потенциальная энергия равна нулю, но сохраняется кинетическая энергия.

4) Энергия двух тел, связанных кулоновской силой

76

Внутренняя энергия тела

Если тело не вращается как единое целое, то у него есть внутренняя энергия тела Eвн , которая состоит из кинетической (тепловой) и по-

тенциальной энергии взаимодействующих частиц.

При столкновении макроскопических тел кинетическая энергия может переходить частично во внутреннюю энергию, но полная энергия все равно сохраняется.

Здесь Eвн это кинетическая и потенциальная энергия частиц внутри

тел. В случае вращающихся тел добавЛяется еще энергия вращения (глава «Движение твердого тела»).

§ 33. Изменение энергии под действием непотенциальных сил

Если в системе все силы потенциальны, то E = K +U сохраняется. Если на систему действует некая непотенциальная сила, то полная энергия будет меняться.

Простейший пример – это сила трения. При движении тела по горизонтальному столу гравитационная потенциальная энергия постоянна, а изменение кинетической энергии за счет силы сухого трения

77

где k - коэффициент трения.

Рассмотрим теперь более сложный пример: торможение спутника, летающего вокруг Земли по круговой орбите. Сила торможения за счет остаточного газа направлена против скорости. Как будет меняться скорость спутника и радиус орбиты?

Решение: Радиус орбиты находится из условия, что притяжение Земли обеспечивает ускорение, необходимое для движения по круго-

Сравнивая (33.3), (33.4), мы видим, что при движении по круговой

Поскольку сила трения направлена против скорости, то работа силы трения ведет к уменьшению полной энергии

т.е. кинетическая энергия увеличивается! Странный результат, не так ли? Тело тормозится и при этом ускоряется. Свободная частица всегда тормозится за счет сил трения. Разгадка странного поведения состоит в том, что в данной задаче, происходит подкачка кинетической энергии за счет уменьшения потенциальной энергии.

Изменение потенциальной энергии

Поскольку U уменьшается, то из (33.4) следует, что радиус орбиты уменьшается. Мы еще будем подробно заниматься движением планет и спутников в центральном поле.

78

Подведем некоторое резюме. При рассмотрении потенциальной и кинетической энергии мы взяли уравнение движения (второй закон Ньютона), умножили обе части на вектор перемещения и проинтегри-

ровали. В результате, вместо уравнения второго порядка (содержащего вторую производную координаты, т.е. ускорение) получили уравнение первого порядка (содержит скорость), которое по физике эквивалентно исходному уравнению движения. Однако, введенные понятия,

такие как работа, кинетическая энергия, закон сохранения механической энергии оказываются очень плодотворными и помогают проще решать многие задачи.

Было установлено, что есть большой класс потенциальных сил (взаимодействий), работа которых зависит только от начальной и конечной точки, а не от конкретного пути, что позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальной энергия определяется с точностью до константы, поэтому за ноль может быть принята любая удобная точка (например, бесконечность, для убывающих сил). При движении под действием таких сил полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, сохраняется. Действие непотенциальной силы (такой как сила трения) приводит к изменению полной энергии.

Было установлено, что в системе частиц, связанных потенциальными силами, для нахождения суммарной потенциальной энергии нужно просто просуммировать потенциальные энергии всех пар частиц. Энергия каждой пары зависит только от расстояния между частицами. Для нахождения потенциальной энергии двух частиц нужно “закрепить” одну из частиц (любую) и найти работу по перемещению второй частицы от места нахождения до места, откуда отсчитывается потенциальная энергия (или наоборот, но тогда с обратным знаком).

§ 34. Электромагнитное и гравитационное взаимодействие, поле

Рассмотрим, для примера, расчет сил и потенциальных энергий для кулоновского поля (электрического и гравитационного).

Пример. Электростатическая сила взаимодействия двух зарядов в системе СГСЭ

их потенциальная энергия

79

Рассмотрим следующую задачу. Имеется 4 одинаковых частицы с зарядом q, массой m , расположенные в углах квадрата со стороной b . Частицы отпускают, какая будет скорость частиц на бесконечности?

Из симметрии ясно, что скорости всех частиц будут одинаковы. Найдем исходную потенциальную энергию системы частиц. Расстояние от первой частицы до остальных трех составляет

Здесь фактор 21 появляется потому, что при сложении потенциальной

энергии каждой частицы энергий каждой пары учитывается дважды. Из закона сохранения энергии начальная энергия (in-itial) равна ко-

нечной (f-inal)

Поле

При электромагнитном, гравитационном (и всяком другом) взаимодействии частицы действуют друга на друга на расстоянии. Как это возможно? Это очень сложный вопрос, выходящий за рамки классической механики. Говоря языком квантовой теории поля можно сказать, что взаимодействия осуществляются путем обмена виртуальными частицами – переносчиками взаимодействий. В электромагнитных взаи-

80