telnov-machanika-and-TO

Приведем еще один вывод данной формулы. Пусть в системе S расположены часы Ч, мимо которых пролетает стержень со скоростью

V . Длина стержня в системе S ¢ , где он покоится, равна l0 . Пусть дли-

на стержня в системе S равна l , тогда интервал времени между прохождением начала и конца стержня составит t0 = l/V . Мы обозначили

время индексом ноль, подчеркивая, что это собственное время, т.е. показания одних и тех же часов. Перейдем теперь в систему покоя стержня S ¢ . Мимо него проносятся часы Ч со скоростью V, разница

времени между пролетом начала и конца стержня будет t = l0 /V .

Здесь разница времени берется между показаниями часов, установленных в начале и конце стержня. Но мы знаем, что движущиеся часы, показания которых сравниваются с различными неподвижными часами,

кращаются. Это не кажется, это действительно так. Если бы сокращения длины стержня не было, то он пролетел бы мимо часов Ч за время

Некоторые примеры сокращения длины.

Мы установили, что если стержень движется, то в неподвижной системе его длина будет в g раз меньше. Один пример. В ускорителе

ВЭПП-4 (ИЯФ СО РАН) электроны имеют энергию до 5 ГэВ, что соответствует g ~104 . Длина пучка электронов (содержит порядка 1010

электронов) в ускорителе (в лабораторной системе отсчета) составляет около 1 см. В системе отсчета пучка его длина будет в g раз больше,

т.е. около 100 м! Это больше радиуса орбиты в ускорителе (R=45 м). Если ускоритель представить квадратным, то в системе пучка сторона квадрата сократится в 104 раз и станет во много раз короче пучка. Это означает, что в сопутствующей системе пучок не вмещается в размер стороны квадрата ускорителя, по которой он движется, часть пучка находится за углом.

41

Еще один пример: космический корабля, движущийся со скоростью V , летит до звезды, находящейся на расстоянии L . За какое время по часам на корабле он долетит до звезды?

Эту задачу можно решить в лабораторной системе, учитывая, что движущиеся часы идут медленнее в g раз, отсюда t = L/g V . В сис-

теме же ракеты нужно рассуждать по-другому: расстояние до звезды сократится в g раз, отсюда получаем такой же ответ.

Рассуждая о сокращении длины линейки при ее движении, мы интуитивно подразумеваем, что если взять реальную линейку, разогнать, то ее длина уменьшится в g раз. Так ли это? Рассмотрим два электро-

на, расположенные вдоль оси X на расстоянии l0 . Теперь одновре-

менно во всех точках лабораторной системы включим электрическое поле, направленной вдоль оси X . Электроны начнут ускоряться, пройденный ими путь за одно и то же время будет одинаковым, а это значит, что расстояние между ними останется прежним, никакого сокращения длины в лабораторной системе не произошло! Более того, в сопутствующей системе отсчета расстояние между ними увеличилось в g раз. Детальное объяснение этому факту дано в конце следующего

раздела (Преобразования Лоренца).

Рассмотрим теперь те же два заряда, но скрепленных жесткой спицей. В системе покоя спицы ее длина не меняется, а в системе лабораторной сокращается. После разгона расстояние между зарядами

уменьшилось с l0 до l0/g , т.е. второй электрон приблизился к первому.

Каким образом? Это могло произойти только за счет того, что в спице возникало натяжение, которое замедляло первый заряд и ускоряло второй заряд. Именно благодаря внутреннему напряжению спице удается сохранять длину в сопутствующей системе отсчета. Если была бы не спица, а слабенькая резинка, то она растянулась бы в сопутствующей ей системе отсчета.

§ 18. Преобразование Лоренца

Пусть в системе S в точке с координатой x в момент времени t произошло некоторое событие. Найдем его координату x¢ и время t¢ в системеS¢. Учитывая релятивистское сокращение продольного масштаба можно утверждать, что, если в S¢ событие произошло в точке x¢ от начала отсчёта O¢ , то в неподвижной системе S оно произойдет

42

и отличаются только знаком относительного движения, то после заме-

Учитывая, что поперечные размеры не меняются, в итоге получаем прямые и обратные преобразования Лоренца

43

Эти формулы получены для частного случая, когда скорость направлена вдоль оси X. Нетрудно получить аналогичные формулы при произвольном угле между V и осью X , представ вектор r в виде двух

составляющих: r – вдоль скорости и r^ – в поперечном направлении:

Лоренца получаем временной интервал между этими событиями в системе S

Именно поэтому при измерении длины линейки, лежащей вдоль движения в системе S ¢ , экспериментаторы из систем S и S ¢ получают разные результаты.

Наконец, рассмотрим пример, позволяющий до конца понять, почему в приведенном в предыдущем разделе примере при одновременном ускорении в лабораторной системе двух зарядов расстояние в сопутствующей системе возрастает. Пусть эти два заряда, расположен-

ные на расстоянии l0 , одновременно (в лаб. системе S ) в результате

удара получают скорость V . В сопутствующей системе расстояние между ними будет в g раз больше. Как это могло произойти?!

Очень «просто». Рассмотрим, как произошли эти удары в системе отсчета S ¢ , движущейся со скоростью V , в которой эти заряды после ударов будут покоиться. Во-первых, в этой системе удары произошли не одновременно. Действительно, в лабораторной системе

x1 = 0, x2 = l0, t1 = t2 = 0 , тогда из преобразований Лоренца для времени (18.5), t¢ = g(t -Vxc2 ), находим, что в движущейся системе эти

44

времени второй заряд еще покоился в лаб. системе, т.е. двигался назад в движущейся системе, и дополнительно отстал на расстояние

Dl =V Dt¢ = gV 2l0/ c2 . Исходное расстояние в системе S ¢ между зарядами до ударов было l = l0/g , с учетом задержки между ударами оно стало

это как раз то, что мы и хотели объяснить! Увеличение расстояния происходит из-за того, что системе S ¢ имеется задержка между ударами.

Формулы (18.6) получены в 1904 году Х. Лоренцем как преобразования, при которых уравнения электродинамики сохраняют свой вид при переходе от одной инерциальной системы к другой. В 1905 году А.Эйнштейн вывел их из постулатов о равноправии всех инерциальных систем и существовании максимальной скорости передачи сигналов. Хотя получились те же самые преобразования, но физическое содержание в них было совершено новым.

Интересно, что Эйнштейна неоднократно выдвигали на Нобелевскую премию за разработку Специальной теории относительности, но ее не давали (дали позже за объяснение фотоэффекта, гипотезу о фотонах). Причина состояла в том, что Лоренц был против, т.к. он раньше нашел закон преобразования. Сам же Х. Лоренц получил Нобелевскую премию в 1902 г за другие работы.

§ 19. Четырехмерный вектор события

Упорядоченную четвёрку чисел R = (ct,x,y,z) º R(ct, r) называют

4-вектором события. В отличие от обычного вектора, обозначаемого стрелкой или жирной буквой, 4-вектор пишут обычным шрифтом.

где g = 1 1 -V 2c2 , b =Vc . Такая форма записи означает, что

45

Обычно знак суммирования опускают, подразумевая, что происходит суммирование по повторяющемуся индексу. Аналогично можно

записать R = L-1R¢, где L-1 – матрица обратного преобразования, отличающаяся от L заменой b на -b. Запись в матричной форме здесь

приведена чисто для красоты (матрицы широко используются в теоретической и практической физике), далее в нашем курсе она использоваться не будет.

Принято называть ct нулевой, x – первой, y – второй, z – третьей компонентой 4-вектора события. Любая четвёрка чисел

A = {a0,a1,a2,a3 }, компоненты которой преобразуются как компоненты 4-вектора события, т.е.

называется 4-вектором. Зачем они нужны? Дело в том что, если физический закон записан через 4-х вектора, значит, мы знаем его во всех инерциальных системах отсчета, т.к. известен закон преобразования входящих в него величин. О других свойствах 4-векторов будет сказано дальше.

§20. Интервал

Внерелятивистской механике при переходе из одной системы отсчета сохраняющейся величиной является расстояние между двумя

точками l12 =| r2 - r1 | (§9). В релятивистском случае это не верно, т.к.

длины масштабов меняются. Оказывается, однако, что существует комбинация (t2 -t1) и l12 , которая остается неизменной. Она называ-

ется интервал.

Любое событие определяется тремя пространственными координатами и временем. Для наглядности удобно вообразить четырехмерное пространство x,y,z,t , в котором точка совершает движение по некото-

рой траектории, мировой линии. Если в первой точке x1,y1,z1,t1 произошла вспышка света и достигла второй точкиx2,y2,z2,t2 , то очевидно, что

Для тех же двух событий в системе S ¢

46

С формальной точки зрения интервал можно рассматривать как расстояние между двумя точками в четырехмерном пространстве с осями X,Y,Z,cT . Имеется, однако, различие с обычной геометрией,

член, содержащий время, суммируется с другим знаком. Такую геометрию, в отличие от евклидовой, называют псевдоевклидовой. Она была введена в теорию относительности Г. Минковским, и данное пространство называют пространством Минковского

Выше мы видим, что если интервал равен нулю в одной системе отсчета, то он равен нулю и в любой другой системе отсчета. А как связаны между собой интервалы s и s¢ в общем случае? Оказывается, они всегда равны! В этом легко убедиться, выразив в (20.2) x ¢,y¢,z¢,t¢

через x,y,z,t , используя преобразования Лоренца. Действительно, поскольку поперечные координаты сохраняются, y = y¢ и z = z¢, то остается доказать, что

Подставляя (20.5) в правую часть (20.4), после небольших преобразований находим, что правая часть тождественно равна левой. Таким образом, мы убедились, что

Это замечательный результат! В классической механике, где верны преобразования Галилея, инвариантом преобразования является длина отрезка

Инвариантность интервала при релятивистских скоростях можно доказать формально, не прибегая к преобразованиям Лоренца. Рассмотрим два близких события, имеющие интервал

47

где коэффициент a может зависеть только от абсолютной величины относительной скорости. Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда различные точки пространства и моменты времени были бы неравноценны, что противоречит однородности пространства и времени. Он не может зависеть также и от направления относительной скорости, так как это противоречило бы изотропии пространства. Рассмотрим три системы отсчета S, S1, S2 и пусть V1 и V2 — скорости

движения систем S1 и S2 относительно S . Тогда имеем:

С тем же основанием можно написать ds12 a(V12 )ds22

где V12 — абсолютная величина скорости движения S1 относительно S2 . Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем, что должно

быть

a(V2 ) a(V12 ) a(V1)

Но V12 зависит не только от абсолютных величин векторов V1 и V2 ,

но и от угла между ними. Между тем угол вообще не входит в левую часть соотношения. Ясно поэтому, что это соотношение может быть справедливым лишь, если функция a(V) сводится к постоянной величине, равной, как это следует из того же соотношения, единице. Таким образом,

ds12 ds22 .

Из равенства бесконечно малых следует, что и s1 s2 .

§ 21. Преобразование Лоренца как вращение в 4- мерном пространстве

Ранее мы вывели преобразования Лоренца, пользуясь очень наглядной и физической картиной, основанной на постоянстве скорости

48

света во всех инерциальных системах отсчета. Теперь рассмотрим другой, менее прозрачный, но более короткий вывод преобразования Лоренца. Преобразование координат и времени при переходе в другую систему отсчета должно быть таким, чтобы сохранялась неизменной величина интервала в четырехмерном пространстве. Такими переходами из одной инерциальной системы в другую являются параллельные переносы и вращения системы координат. Однако переносы системы координат не представляют интереса, т.к. сводятся к переносу начала отсчета координат и времени. Таким образом, искомое преобразование должно быть связано с поворотом осей координат.

Введем обозначение T = ict , где i = -1 – мнимая единица. Тогда все 4 координаты становятся равноценными и можно пользоваться евклидовой геометрией. Рассмотрим поворот осей в плоскости T, x, при этом y и z не изменяются. Из геометрических соображений нетрудно получить, что при повороте осей на угол j координаты точки

преобразуются следующим образом

49

Пусть вас не удивляет, что tgj – мнимое число, это ведь отношение

двух "катетов", один из которых мнимый. Подставляя (21.4) в (21.1) получаем снова преобразования Лоренца

§ 22. Преобразование скоростей

Пусть некоторое тело движется относительно системы отсчёта S ¢ со скоростью v¢ . В свою очередь S ¢ движется относительно S со скоростьюV вдоль оси OX . В кинематике Галилея скорость тела относительно S есть просто векторная сумма переносной скорости V и от-

В релятивистской кинематике это правило сложения скоростей неверно. Для получения правильных формул продифференцируем преобразования Лоренца

Легко убедиться, что при малых скоростях эти формулы переходят в правило Галилея для преобразования скоростей.

Пример. Если ракета летит со скоростью V » c и выпускают вперед снаряд со скоростью vx¢ = c , то скорость снаряда относительно не-

подвижного наблюдателя будет равна

50