telnov-machanika-and-TO

§ 50. Преобразование электрических и магнитных полей

Электрическое и магнитное поле – это проявление одного электромагнитного поля, они взаимосвязаны и их соотношение зависит от системы отсчета. У нас есть все, чтобы вывести законы преобразования полей, но оставим это для курса электричества, и приведем только конечные формулы:

и магнитного поля

Обратное преобразование получается заменойV -V .

Пример. Пусть в лабораторной системе есть магнитное поле Bz . Тогда

в системе S ¢ , движущейся вдоль оси X со скоростью V, имеется как электрическое, так и магнитное поля

Данные преобразования показывают, что электрические и магнитные поля не существуют отдельно друг от друга, а являются частями электромагнитного поля, проявляющегося в действии силы Лоренца на движущийся заряд.

§ 51. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Рассмотрим движение заряженной частицы в однородном магнитном поле. Компонента силы Лоренца (49.1) вдоль поля равна нулю, поэтому вдоль поля импульс сохраняется. Закон изменения поперечного импульса

131

Поскольку сила перпендикулярна скорости магнитное поле не совершает работы, изменяется лишь направление движения и, в случае постоянного поля, это будет движение по окружности. Таким образом, заряженная частица движется в однородном магнитном поле по спирали. Найдем радиус окружности. Дифференцируя (51.1) с учетом того

Найдем уравнение траектории. Пусть магнитное поле B направлено вдоль оси Z, тогда продольная скорость (вдоль Z ) постоянна и продольная координата равна

Уравнение движения (51.2) для поперечного движения можно переписать в виде

где wB –циклотронная частота. Заряд движется по окружности со скоростью v^ с круговой частотой wB , отсюда получаются уравнения

движения по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю

132

гдеx0,y0 – положение центра окружности, j0 – начальная фаза и

Следует заметить, что wB , определенная в (51.6), пропорциональна за-

ряду q , т.е. может быть положительна и отрицательна. Если смотреть в

направлении поля, то частица с положительным зарядом движется по спирали против часовой стрелки, а с отрицательным зарядом—по часовой стрелке. Это ясно следует из исходной формулы для силы Лоренца.

§ 52 Системы единиц электрических величин

Основное отличие системы СГС(Э) и СИ состоит в электрических единицах. Обычные механические законы записываются одинаково в обеих системах единиц, отличие состоит только в величинах, взятых за единицу измерений. В случае же электрических явлений имеется отличие даже в формулах.

Единица заряда

В системе СГСЭ единицей заряда является «единица. заряда СГСЭ» – это такой заряд, что сила взаимодействия двух зарядов по одной единице СГСЭ, расположенных на расстоянии 1 см, равна 1 дин.

здесь сила в динах, заряды в ед. СГСЭ, расстояние в см.

В системе СИ единицей заряда является кулон (Кл). Кулон – это заряд, протекающий за 1 с при силе тока 1 ампер (А). Ампер, (по определению) – это такой ток, при котором два провода с таким током, нахо-

дящиеся на расстоянии 1 см, притягиваются с силой 2 10-2 дин на 1 погонный сантиметр. Сила для притяжения проводов в системе СГСЭ дается формулой (48.17). Откуда следует, что

1 Кл=(с/10) ед. СГСЭ ≈ 3·109 ед. заряда СГСЭ. (52.2)

(здесь скорость света в СГСЭ c = 29979245800 » 3 1010 см/с)

Сила взаимодействия двух зарядов в системе СИ, с учетом определения кулона, получается следующей

133

где сила выражена в ньютонах, заряды кулонах, расстояние в метрах, скорость света в м/с)

Заряд электрона

Электрический потенциал

В СГСЭ: при прохождении единичной разности потенциалов кинетическая энергия заряда в 1 ед. СГСЭ изменяется на 1 эрг. Такая разность потенциалов называется «единицей потенциала СГСЭ»:

В СИ: при прохождении единичной разности потенциалов кинетическая энергия заряда в 1 Кл изменяется на 1 Дж. Такая разность потенциалов называется вольт (В):

Единица магнитного поля в СГСЭ гаусс (Гс) – эта единица возникает естественным образом, магнитное поле и напряженность электрического поля в системе СГСЭ имеют одинаковую размерность, равную ед. потенциала СГСЭ/ см (для напряженности поля в СГСЭ не придумали специального названия).

Сила Лоренца в СИ (по определению)

все как в СГСЭ, но без скорости света. Единица магнитного поля в системе СИ тесла (Т).

Все остальные величины, входящие в (52.8) и (52.9), выражаются в единицах СГСЭ и СИ, соответственно. Из сравнения этих формул следует, что

134

Магнитное поле Земли порядка 1 Гс. Поля в сильных магнитах до 105 Гс.

Электрон-вольт – это изменение энергии электрона при прохождении разности потенциалов 1 В.

1эВ = e ´1В = 1.6´10-19 Kл´1В = 1.6´10-19 Дж = 1.6´10-12 эрг(52.11)

§ 53. Мюонный коллайдер

Рассмотрим в качестве примера движения частиц в магнитном поле мюонный коллайдер (от collide (engl.)—сталкиваться). Мюоны неста-

бильные частицы ( t0 = 2 10-6 с ) и получать их, а тем более использовать в ускорителях непростая задача. Однако, над этой задачей активно

работают, т.к. мюоны с массой mc2 = 105 МэВ, т.е. примерно в 200 раз тяжелее электронов и, при той же энергии, излучают при движении по окружности в 40000 раз меньше. Поэтому с мюонами можно достичь более высоких энергий используя кольцевые ускорители, где пучки сталкиваются много раз. Интересно, а сколько оборотов может сделать (в среднем) мюон пока не распадется?

Время жизни мюона в лабораторной системе отсчета t = gt0 =2 10-6 g секунд. За время жизни он пройдет путьL » ct и

совершит n = L/2pR оборотов в ускорителе, отсюда

Число оборотов не зависит от энергии, и определяется только величиной магнитного поля на орбите. Это понятно, и радиус орбиты и время жизни пропорциональны энергии. При поле 10 Т =100 кГс получаем

n= 4.8 10-10 ´105 ´2 10-6 ´3 1010 » 2700 оборотов. (53.2)

6.28105 1.6 10-6

При вычислении (в системе СГСЭ) числитель и знаменатель были умножены на c и в знаменателе энергия mc2 в МэВ была переведена в эрг (1 МэВ =1.6 10-6 эрг).

135

Г Л А В А VI

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ, КОЛЕБАНИЯ

§ 53. Одномерное движение в потенциальном поле (нерелятивистское)

В общем случае одномерное движение задается уравнением

Когда уравнение написано, то решить его дело техники. Для многих типов уравнений разработаны специальные математические методы, но часто намного проще решить конкретную задачу на компьютере. Временная шкала разбивается на малые временные и на каждом шаге рассчитывается изменение скорости и координаты, используя непосредственно уравнение движения. Однако, для установления закономерностей желательно получить результат в виде формулы.

Рассмотрим движение в случае, когда сила зависит только от координаты

В этом случае, как мы знаем, можно ввести потенциальную энергию U(x), такую что

тогда уравнение второго порядка (53.2) сводится к уравнению первого порядка

При решении уравнения движения второго порядка возникают две константы (поскольку два интегрирования), зависящие от начальных

условий (x0,v0 ). Первая константа появляется при переходе от (53.2) к

(53.4) – это энергия E . Уравнение (53.4) устанавливает связь между скоростью и координатой, которые можно нарисовать в виде линий на фазовой плоскости с координатами осями x и x º v . Для каждой E это будет отдельная кривая, замкнутая для одномерного ограниченного (финитного) движения и незамкнутая для инфинитного движения. Такие кривые, характерные для конкретного потенциала, называют сепаратрисами. Понятие фазовой плоскости (для одномерного движения) и 6-мерного фазового пространства для движения в трехмерном про-

136

Знак означает, что при данном x скорость может быть положительна или отрицательна, см. рис. 39. Период колебаний

где x1,x2 находятся изU(x) = E .

§ 54. Малые, гармонические колебания

Пусть U(x)имеет вид как на рис. 38. Поскольку начало отсчета по-

тенциальной энергии произвольно, как и координаты x , то можно нижнюю точку кривой совместить с x = 0 . Любую функцию вблизи

137

где k =U ¢¢(0) . Соответствующее силовое поле является линейной

Решение уравнения (54.5) можно найти «в лоб» путем однократного интегрирования аналогично выводу формул (53.5)-(53.7). Подставляя в

(53.6) U = kx22 , находим

138

Интеграл берется путем замены переменной kx2 = cos2 a. Подставляя

2E

dx = - 2kE sin ada , получаем

Во второй части (54.11) мы убрали знак , поскольку движение с отрицательной частотой сводится к движению с положительной часто-

той: cos(-wt +j1) = cos(wt -j1) , а сложение двух косинусов с оди-

наковой частотой, но разными фазами, дает снова косинус той же частоты, но другой фазы.

Период колебаний можно найти из (54.10), взяв определенный интеграл с граничными условиями,

а также можно его сразу получить из (54.11), принимая во внимание, что для гармонического колебания период T соответствует изменению

аргумента синуса на 2p, т.е. w0T = 2p , откуда

139

Итак, общим решением уравнения малых гармонических колебаний x + w02x = 0 является

дает

Этим исчерпывается задача о свободных малых колебаниях при начальных условиях.

140