telnov-machanika-and-TO

где P – мощность Солнца, r – расстояние от Солнца, v – орбитальная скорость, R – радиус тела. Сила трения ведет к уменьшению полной механической энергии тела, которая, по теореме о вириале, равна половине потенциальной энергии. Отсюда следует уравнение движение тела

уравнение,

За время существования солнечной системы (~5 млрд. лет) с орбиты Земли на Солнце упали все тела с радиусом меньше 250 см. Они, конечно, не упали, а испарились при падении, а останки вынесло солнечным ветром за пределы солнечной системы. Однако, сейчас на орбите Земли могут быть другие тела, которые вначале были на краю Солнечной системы.

191

§ 75. Модель расширяющейся Вселенной, критическая плотность

Из наблюдений следует, что Вселенная в среднем очень однородна, изотропна, безгранична, и при этом расширяется. Если взять две галактики, то они притягиваются друг к другу. С другой стороны на них действуют силы со всех сторон, будет ли они ускоряться относительно друг друга?

масса расположенная внутри шара, поскольку внешние (для пробного тела) сферические слои не создают поля. Отсюда, ускорение пробного тела относительно центра шара равно

Во время расширения на пробное тело действует все время одна и та же масса M , и мы можем записать закон сохранения энергии для пробного тела

где A = const . Если A = 0 , то скорость на бесконечности будет равна нулю; если A < 0 , то после достижения радиуса R = -GMA шар нач-

нет сжиматься. При A > 0 шар будет расширяться до бесконечности,

при этом v¥ = 2A .

При однородном расширении относительная скорость движения двух точек в данный момент времени пропорциональна расстоянию между этими точками

192

где H – некая константа, постоянная Хаббла. Она зависит от времени, но в любой данный момент одинакова во всем пространстве. Подставляя в (75.2) v = HR , получаем

Здесь плотность взята в тот же момент времени, что и постоянная

Критическая плотность является одной из важнейших величин в космологии. Постоянная Хаббла измерена экспериментально по «красному смещению» спектров объектов, до которых известно расстояние, известна с точностью в несколько процентов и равна

Определение средней плотность оказалось очень сложной задачей. Прямой подсчет видимой массы (Звезды, светящийся газ) давал

r ~ 0.04rкр , и только в ~2005 году удалось измерить плотность Все-

ленной косвенным образом с однопроцентной точность. Оказалось, что плотность Вселенной равна критической плотности

При этом известные формы материи составляют всего около 5%. Более подробно о Вселенной будет рассказано в последней главе.

§ 76. Рассеяние частиц

При прохождении пучка частиц через мишень некоторые частицы рассеиваются, а некоторые могут вообще исчезнуть в результате ка- кой-то реакции. Вероятность взаимодействия пропорциональна тол-

где коэффициент пропорциональности называют сечением процесса. Его геометрический смысл простой: если частицы мишени представляют собой шарики радиуса R , а налетающие частицы имеют сущест-

венно меньшие размеры, то s = pR2 , т.е. сечение равно проекционной площади частиц мишени.

193

Рассеяние является упругим, если исходные частицы остаются неизменными и новых частиц не рождается, В обратном случае процесс рассеяния является неупругим.

При упругих столкновениях частицы могут рассеиваться на различные углы. Обычно, чем ближе к рассеивающему центру пролетает частица, тем больше угол рассеяния. В классической (не квантовой) физике это учитывается это следующим

где r прицельный параметр — расстояние исходной траектории от рассеивающего центра. В случае упомянутых шариков (76.2) после ин-

тегрирования по прицельным параметрам переходит в s = pR2 . Прицельный параметр в задаче рассеяния является ненаблюдаемой величиной, однако, его можно связать с углом рассеяния. Пусть имеется зависимость r(q) , тогда

Здесь взято абсолютное значение производной, поскольку, угол обычно отсчитывают от нуля и dq является положительной величиной, а

ddrq может быть как положительной, а чаще отрицательной величиной

(угол уменьшается при увеличении прицельного параметра).

Сечение обычно относят не к элементу плоского угла q , а к элементу телесного угла

При рассеянии поляризованных частиц сечение может зависеть не только от полярного угла q , но и от азимутального угла.

Следует заметить, что в микромире для описания процессов рассеяния необходимо использовать квантовую механику, поскольку движение частицы в большинстве случаев нельзя описать траекторией с прицельными параметрами. Однако, мы продолжим рассмотрение в рам-

194

ках классической механики. Будет с чем сравнить при изучении квантовой механики.

§ 77. Рассеяние на сфере

Для простоты рассмотрим сначала упругое рассеяние точечных частиц на неподвижной сфере. Как видно из рисунка

Из рисунка может показаться, что изотропии нет, поскольку справа за сферой имеется тень, куда не проникают частицы. Однако, если экспериментатор интересуется только угловым распределением, то есть регистрирует детектором количество частиц при различных углах рассеяния, то это распределение будет изотропным. Если взглянуть на процесс рассеяния с расстояний много больше радиуса сферы, то будет виден только изотропный «ежик» из рассеянных частиц.

§ 78. Резерфордовское рассеяние на малые углы

Пусть a частицы обстреливают тонкую мишень с целью изучения силы взаимодействия a-частиц с ядрами (опыт Резерфорда). Считаем, что ядра неподвижны, а a-частицы рассеиваются на малые углы q 1 . Предположим, что сила зависит от расстояния как

195

Задачей эксперимента является нахождения k . Сделаем приближенный расчет. Пусть скорость a-частицы равна v . Время взаимодействия (рассматриваем нерелятивистский случай)

Будем считать, что на a-частицу действует поперечная сила F = rak

на участке пути длиной ~ r, тогда частица получает поперечный импульс

Пусть детектор, занимающий некоторый малый телесный угол, помещается под различными углами. Тогда отношение скоростей счета будет

196

действуют с ядрами как электрически заряженными частицы. Кроме зависимости силы от расстояния

этот эксперимент показал, что ядро имеет размеры r ~ 10-13 см (при таких прицельных параметрах формула перестаёт работать) и то, что заряд ядра равен Ze . Почти вся информация о строении частиц была получена в подобных экспериментах.

§ 79. Формула Резерфорда.

Ранее, формула (70.27), было получено связь между углом рассеяния, начальной скоростью частицы и прицельным параметром для по-

тенциалаU = ar

Здесь – угол рассеяния. Подставляя это выражение в (76.5), получаем

Это формула знаменитая формула Резерфорда. Расчет по квантовой механике дает (по случайности) сечение рассеяния в кулоновском поле, полностью совпадающее с формулой Резерфорда.

197

Учет массы частиц мишени (факультативно)

Формула (79.2) получена для случая рассеяния на бесконечно массивном источнике поля. Рассмотрим теперь случай конечной массы частиц мишени. Картина рассеяния будет следующей: на покоящуюся

ренциальных сечений нужно найти связь этих углов с прицельным параметром.

Вспомним задачу двух тел, рассмотренную ранее. Относительный радиус вектор r двух частиц под действием взаимных сил изменяется так, как если бы одну частицу (например, мишени) закрепить, а второй

массой m1 в системе центра масс будет подобна траектории частицы с приведенной массой (справа), значит, их углы отклонения будут оди-

Рис. 61

наковы. Начальная скорость приведенной массы должна быть такая

198

же, как и относительная начальная скорость налетающей частицы и мишени, т.е. равна скорости налетающей частицы.

Таким образом, для решения задачи мы должны сначала найти угол отклонения частицы с приведенной массой в поле бесконечно тяжелого центра. Этот угол c будет равен углу рассеяния налетающей части-

цы в системе центра масса. Угол рассеяния частицы мишени в системе ц.м. равен p -c. Далее эти углы нужно преобразовать в лабораторную

систему, т.е. выразить c в формуле (79.2) через углы в лабораторной системе. Кроме этого, вместо m в (79.2) нужно подставить приведен-

Импульс налетающей частицы после рассеяния и угол рассеяния в лабораторной системе

199

сечение рассеяния, выраженное через угол рассеяния частицы мишени

Для налетающей частицы, из-за сложной связи углов в лабораторной и ц.м. системах, получаются слишком громоздкие формулы. Нуж-

но учитывать также (§ 39), что при m1 > m2 один и тот же угол q1 соответствует двум разным углам c. На рис. 62 в этом случае a >b . Рассмотрим только случай равных масс. Тогда c = 2q1 , и подстановка в (79.2) с учетом m = m1/2 дает дифференциальное сечение рассеяния

Заметим, что при 1 эта формула совпадает с (79.2) для бесконечно тяжелой частицы-мишени. Это связано с тем, что при малых углах рассеяния частица мишени за время взаимодействия сдвигается очень мало, поэтому ответ не зависит от ее массы.

Упражнение: Пусть частица с массой m1 , имеющая на бесконечности скорость v1 , налетает на покоящуюся частицу с массой m2 с прицельным параметром r. Найти расстояние наименьшего сближения, если

потенциальная энергия взаимодействия частицU = -ar ?

Решение. Используя общий подход к решению задачи двух тел, можно считать, что одна из частиц закреплена, а налетает частица с приведен-

200