telnov-machanika-and-TO

Энергия гармонического осциллятора

Найдем энергию гармонического осциллятора. Имеем

откуда следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии является постоянной величиной равной

Другого и не могло быть, так как энергия в потенциальном поле сохраняется. Более того, усредненные по времени кинетическая и потенциальная энергия равны и составляют половину полной энергии

2) Маятник.

141

3)Пружинка натянута с силой F, грузик скользит без трения по спице. Найдем частоту колебаний. Изменение потенциальной энергии –

это сила, умноженная на перемещение (F + dF)dl ~ Fdl . Здесь dF отражает изменение

натяжения пружинки, им можно пренебречь, по-

lскольку dFdl является величиной второго порядка малости. Удлинение

Можно просто записать уравнение движения вдоль спицы (оси X). Проекция силы натяжения пружины на ось X равна

откуда сразу находится частота колебаний (54.39).

142

§ 55. Решение уравнений с помощью комплексных чисел

При рассмотрении колебаний возникают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для таких уравнений справедлив принцип суперпозиции: если есть два решения, x1(t),x2(t), то их линейная комбинация c1x1(t) +c2x2(t)с про-

извольными коэффициентами c1,2 будет тоже решением. Решениями

являются синусы и косинусы, экспоненты, но намного удобнее оперировать решениями типа

Эту формулу можно получить следующим образом. Возьмем комплексное число z = cosj +i sin j. Дифференцируя, получаем

dz = -sin jdj +i cosjdj = izdj. Откуда ln z = ij, и z = eij, что и

требовалось доказать.

Оперировать с экспонентами удобнее, поскольку после дифференцирования получается снова экспонента. При этом пока производятся линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно опускать знак вещественной части и переходить к вещественной части только в окончательном результате.

Чтобы стало понятнее, почему можно оперировать в уравнении не действительными (физическими) решениями, а искать их в виде ком-

плексных решений, подставим Z = xR +ixI в уравнение (55.1) и получим

Поскольку действительная и мнимая часть порознь должны быть равны нулю, для действительной части получается исходное физическое

143

уравнение. Вдобавок появилось уравнение для мнимой части, тождественное уравнению для реальной части координаты, поэтому оно будет давать решение тождественное физическому. Заметим, что такое разделение действительной и мнимой частей возможно только для линейных уравнений, т.е. содержащих x только в первой или нулевой степе-

x2 действительная часть уравнения будет содержать член (xR -xI )2 , и действительная часть уравнения не будет тождественна исходному физическому уравнению содержащему x2 .

Для решения подобных уравнений в математике используется следующий прием: решения ищутся в виде

плексных. Тогда общее решение однородного (без правой части) уравнения (55.1) будет

j=1

Если в правой части уравнения (55.1) стоит не ноль, а некая функция F(t), то уравнение называется неоднородным и общее решение являет-

ся суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Все это станет намного яснее в дальнейшем при дальнейшем рассмотрении.

§ 56. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания с трением. При малых скоростях в газах, жидкостях или при излучения заряда возникает тормозящая сила, направленная против скорости и равная

144

Поскольку левый сомножитель ненулевой, то получаем характери-

стическое уравнение

числами, значения которых находятся из начальных условий. Действительно, из (56.9) следует, что c1 = Re(A1 + A2), c2 = Im(A2 -A1) ).

145

Таким образом, при малом затухании решение похоже на свободные колебания, только амплитуда затухает как e-gt , и частота не-

константу находим, дифференцируя (56.11) и приравнивая v0 при

t= 0 :

x¢(t) = -ge-gt (c1 cos Wt +c2 sin Wt) +e-gt (-c1W sin Wt +c2Wcos Wt) ,

Если w0 < g , то в (56.8) выражение под корнем становится отрицательным и решение

В этом случае решение апериодическое, при затухании совершается менее одного колебания. Константы c1, 2 легко находятся из начальных

условий, аналогично предыдущему случаю (найдите сами).

Наконец, рассмотрим случай g = w0 . Если подставитьg = w0 в (56.16), то получим x = c e-gt , это неверно! Одна константа не может

146

удовлетворить двум начальным условиям (координата и скорость). В теории дифференциальных уравнений показывается, что решением

уравнения x + 2gx + w02x = 0, при g = w0 является

Константа c2 , может быть и не малой величиной (хотя содержит малую e), если константы b1 и b2 очень большие и противоположные по

знаку. Начальные условия учитываются аналогично (56.14). В результате получается

Таким образом, получены решения для всех случаев свободных колебаний с затуханием.

§ 57. Вынужденные колебания

Рассмотрим движение осциллятора с затуханием под действием внешней гармонической силы F(t) = F0 cos wt (для удобства, выбором на-

чала отсчета времени, делаем начальную фазу равной нулю). Уравнение движения

Как обсуждалось в §55, общим решением данного уравнения является сумма решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного (с правой частью) уравнения. Найдем это ча-

стное решение. Записываем силу в виде F = F0eiwt и ищем решение в

откуда

147

т.е. амплитуда в резонансе в Q раз (Q—добротность) больше, чем при статическом воздействии.

При g w0

148

Исследуем теперь поведение относительной фаза d, даваемой (57.5). Эта формула записана так, что числитель равен синусу, а знаменатель косинусу этой фазы. Отсюда находим относительный сдвиг фазы координаты и силы

w = 0 d = 0,

Интересно посмотреть сдвиг фазы для скорости. Если x = cos wt , то

по фазе на p2 , а, значит, сдвиг фазы скорости относительно силы будет

т.е. в резонансе скорость и сила находятся в фазе, при этом мощность, закачиваемая в осциллятор максимальна.

Общее решение уравнения колебаний под действием внешней силы есть сумма решения однородного уравнения и найденного частного решения, (57.15)

149

Левая половина формулы описывает быстрые колебания на суммарной частоте, а правая медленные биения на разностной частоте, т.е. ампли-

Потери энергии осциллятора при малом затухании

При малом затухании, w0 g

Это, следует так же из того, что E µ v2 µ x2 µ (e-gt )2.

Работа сил при вынужденных колебаниях

Если осциллятор с малым затуханием колеблется с постоянной амплитудой, то мощность внешних сил равна потери энергии на трение

Например, при облучении атомов светом происходит рассеяние света, мощность дается формулой (57.22), где F0 = eE0 .

§ 58. Параметрический резонанс

При вынужденных колебаниях к осциллятору прикладывается внешняя сила. Но внешнее воздействие может также осуществляться путем изменения во времени параметров системы. При некоторых частотах из150