telnov-machanika-and-TO

верху лестницы (человек наверху). В этом случае предельный угол не зависит от коэффициента трения о стенку и равен

Этот ответ можно получить сразу, если рассмотреть момент сил относительно верхней точки, он равен N1L cos a -N1Lm1 sin a = 0 , откуда

следует (87.14).

Устойчивость

Положение равновесия может быть устойчивым и неустойчивым. Например, маятник в нижней точке устойчив, а в верхней неустойчив.

Положение тела (системы) устойчиво, если при сдвиге из положения равновесия потенциальная энергия возрастает, т.е. нужно затратить работу, чтобы сдвинуть. При неустойчивом положении, наоборот, при сдвиге система потенциальная энергия уменьшается, и тело приобретает кинетическую энергию. Приведенный выше пример с маятником удовлетворяет этому условию.

Рассмотрим более сложный пример: брус, лежащий на круглом бревне. В исходном положении центр тяжести бруса находится на вы-

a R

221

Веревка вокруг столба

Рассмотрим еще одну статическую задачу, имеющую практическое применение. Пусть веревка намотана на столб и ее тянут за концы с

силами T1 и T2 . При каком отношении сил будет проскальзывание, если угол соприкосновения со столбом Da, коэффициент трения k ?

Рассмотрим две точки веревки, отстоящие на угол da . Сила давления веревки на столб на участке da равна dN =Tda , где T — натяжение веревки. Здесь мы пренебрегли разностью натяжений веревки в точках a и a +da, поскольку это дает добавку второго порядка в разность сил, пропорциональную dTda. При проскальзывании сила трения на данном участке равна dT = kdN = kTda, откуда получаем формулу Эйлера

Например, если сделать 5 оборотов веревки вокруг бревна, то для k = 0.5 получим T2/T1 = 6.6 106 . Так можно рукой удержать у прича-

ла океанский корабль.

222

Г Л А В А X

ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Гидродинамика рассматривается подробно в курсе физики сплошных сред, однако было бы несправедливо в курсе механики рассматривать только твердые тела и не упомянуть жидкие.

§88. Гидростатика

Вжидкости, налитой в сосуд, имеется давление

На погруженное в жидкость тело действует сила, равная весу вытесненной жидкости (закон Архимеда). Он следует из того, что такой же объем заполненный такой же жидкостью будет находиться в равновесии. Поскольку сумма сил, действующая на боковую поверхность объема, не зависит от того, что внутри, то отсюда следует вывод, что выталкивающая сила равна весу жидкости в этом объеме, направлена вверх и приложена к центру масс вытесненной жидкости

Однако, если подводная лодка ляжет на дно, то закон Архимеда не работает, ее прижимает ко дну сила, равная весу столба воды, находящейся над лодкой.

§ 89. Стационарные течения, закон Бернулли

Пусть поток жидкости обтекает неподвижное тело. Скорости жидкости в разных точках различные, но в каждой конкретной точке постоянны во времени. Такие течения называются стационарными. Для

223

S1 и скорость жидкости V1 , а на выходе S2 и V2 . Количество жидко-

сти в трубке не меняется, отсюда следует условие непрерывности (сколько втекает, столько вытекает)

Закон Бернулли

Рассмотрим течение идеальной жидкости, без вязкости, не испытывающей трения о стенки трубки. Нетрудно заметить, что кинетические энергии одинаковой по объему порции жидкости на входе и выходе различаются, это происходит за счет давлений, совершающих работу над жидкостью. Давление, действующее на боковую поверхность трубок тока, работы не совершают, т.к. действуют перпендикулярно направлению движения жидкости. Работа сил, действующая на левый

торец трубки (сила, умноженная на перемещение) A1 = P1S1V1t , работа сил справа A2 = -P2S2V2t (знаки минус, поскольку сила и перемеще-

ние имеют противоположные направления). Работа равна разности кинетической энергии вышедшей и вошедшей одинаковых порций жидкости

Если вход и выход находятся на разной высоте, нужно учесть еще изменение потенциальной энергии рассматриваемой порции жидкости, в результате получим закон Бернулли

224

Для горизонтальной трубы с переменным сечением давление в узких местах трубы будет меньше, чем в широких. Этот эффект используется в системах горячего водоснабжения для понижения температуры воды, подаваемой в батареи, путем добавления охлажденной выходной воды к горячей воде, приходящей из котельной. На первый взгляд, на выходе из дома давление воды меньше, чем на входе и подмешать выходную воду к входной невозможно. Однако, если входную трубу на некотором коротком участке специально сузить, то там давление может стать меньше, чем на выходе из дома и подмешивание становится возможным.

Пусть жидкость обтекает покоящийся шар. Линии тока будут огибать шар. Однако одна линия, идущая к центру шара, упрется перпендикулярно в шар и оборвется, т.е. скорость станет равной нулю. Отличие давление в этой точке от давления вдалеке от шара находится из

уравнения Бернулли и равно DP = rV2 2 .

Формула Торричелли

Рассмотрим вытекание воды из широкого бака через дырку, расположенную на высоте h ниже уровня воды в баке. Трубка тока воды,

Это формула Торричелли.

225

Гидравлический удар

Пусть по трубе течет вода со скоростью V . Если кран быстро перекрыть, то вода начнет останавливаться, кинетическая энергия будет переходить в энергию сжатия и по воде со скоростью звука (c ) побежит волна сжатия в воде. Сила, действующая на торец трубы равна импульсу воды, останавливающейся за единицу времени. Отсюда находим давление

Скорость звука в воде 1435 м/с. При скорости воды 1 м/с в трубах возникнет давление P = 1.4 107 дин/см2 = 1.4 106 н/м2 » 14 атм. Это

явление называется гидроударом. Чтобы трубы не разорвало, краны нужно закрывать медленно (за времена большие, чем время распространения ударной волны вдоль трубы до широкой магистральной трубы). Если попытаться пальцем быстро заткнуть кран с текущей водой, то ввиду гидроудара из-под пальца вначале брызнет струйка воды (даже при низком давлении в водопроводе), затем держать напор воды становится намного легче.

Кумулятивный снаряд

В конце Второй мировой войны Германия стала использовать фаустпатроны, которые пробивали 20 см броню. Они состоят из металлического конуса, окруженного взрывчаткой. При взрыве образуется струя металла, летящая впе-

ред с огромной скоростью. Для объяснения ме- α u ханизма возникновения струи достаточно закона Бернулли.

При взрыве возникает очень большое давление и металлический конус ведет себя как жидкость. Пусть скорость металла u . Перейдем в

систему отсчета, движущуюся направо со скоростью V = u/sin a. В

этой системе отсчета металл течет вдоль стенки конуса со скоростью V0 = u/tg a и затем растекается вдоль оси направо и налево с той же

скоростьюV0 (следует из формулы Бернулли при P = const ).

226

Найдем, какая доля струи потечет направо. Пусть струя с сечением S падает на плоскость под углом a. Из закона сохранения импульса

Возвращаясь обратно в лабораторную систему, отсчета находим скорость струи, летящей направо

Пусть u = 2 км/с, a = 20 , тогда VR = 11.4 км/с, это больше, чем

вторая космическая скорость. Хотя масса этой струи мала, но она уносит большую часть кинетической энергии металлического конуса. Такая концентрация энергии называется кумуляцией. Максимальное дав-

ление возникает в точке разделения потоков и равно P = rV02/2, при-

мерно 1.5 106 атм. в нашем случае (в центре Земли 3.7 млн. атм.). Казалось бы, что при уменьшении угла конуса можно еще в несколько раз увеличить скорость струи, однако здесь возникнет ограничение, связанное с объемной сжимаемостью металла.

Длина струи равна длине образующей конуса. При столкновении струи с броней, последняя ведет себя тоже как жидкость, и точка со-

прикосновения движется вглубь брони со скоростью VR/2 , и глубина проникновения оказывается равной длине струи.

227

Г Л А В А XI

ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

§ 90. Неинерциальные системы отсчета. Неинерциальные силы.

До сих пор исследовалось движение тел относительно инерциальных систем отсчета, в которых справедливы Законы Ньютона.

Рассмотрим теперь движение тела (материальной точки) относи-

Т.е., если движение рассматривается относительно системы отсчета, ускоренно движущейся относительно инерциальной системы отсчета, то во втором законе Ньютона, кроме реальной силы, появляется до-

полнительное слагаемое -ma0 . Это не реальная, а фиктивная сила,

имеющая чисто кинематическое происхождение, пропорциональная массе тел (как и гравитационная сила). Такие силы называют силами инерции. Они появляются в неинерциальных системах отсчета.

Казалось бы, рассматривай все в инерциальных системах, тогда все просто, никаких сил инерции. Это так, но иногда удобно систему коор-

228

динат связывать с ускоренно движущимися телами, такими как вращающаяся Земля или ускоренно движущаяся тележка.

Рассмотрим тележку, движущуюся с ускорением a , на которой стоит подставка с висящим на нитке грузиком, рис.84. На какой угол отклонится грузик?

В инерциальной системе задача рассуждения следующие:

229

§ 91. Силы инерции во вращающейся системе отсчета

Центробежная сила.

Для того, чтобы тело было неподвижно относительно диска, вращающегося с угловой скоростью w , к нему нужно приложить центростремительную силу

Чтобы объяснить неподвижность тела в системе вращающегося диска нужно объявить, что кроме реальной силы (например, натяжение веревки, связывающей тело с осью) в этой системе действует сила инерции

направленная от центра. Ее называют центробежной силой. Эта сила уравновешивает натяжение веревки, и тело остается неподвижным относительно вращающегося диска. Такой силы нет в инерциальной лабораторной системе, ее вводят только при рассмотрении движения во вращающейся системе отсчета.

Кориолисова сила

Рассмотрим движение тела со скоростью v относительно обода вращающегося диска. Для такого движения в неподвижной системе координат должна действовать центростремительная сила

Наблюдатель, сидящий на диске, видит, что веревка натянута с таким натяжением, значит в этой системе отсчета натяжение веревки уравновешено силами инерции

Первый член в (91.4) это уже знакомая центробежная сила, третий член

– это обычная центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, второй член, F = 2mwv , зависит как от угловой скорости вращения диска, так и от скорости движения тела относительно диска, называется Кориолисовой силой ( Г. Кориолис, 1792-1843).

230