telnov-machanika-and-TO
.pdf
Написать ответ не представляет труда (писать не будем). Максимальный угол соответствует случаю равенства нулю дискриминанта уравнения. Но мы найдем макс. угол более простым способом. Если в
системе ц.и. частица вылетает под углом q0 , то в соответствие с (42.15)
в лабораторной системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tg q = |
py |
|
|
|
|
p0 sin q0 |
|
|
|
sin q0 |
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||
p |
g(p |
0 |
cos q |
+ E V c2 ) |
g(cos q |
+V v |
) |
||||||||||
|
x |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||
Найдем max(tg J), |
|
|
|
|
|
¢ |
|
Легко получить, |
|||||||||
приравняв(tg q) = 0 . |
|||||||||||||||||
происходит при cos q0 = -v0 V . Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
tg q |
= |
|
|
v0 |
|
sin q |
= |
g0v0 |
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
|
|
g V 2 -v02 |
m |
|
gV |
|
|
|
||||||
(46.9)
что это
(46.10)
где g = 1 / 1 -V 2/ c2 , g |
0 |
= 1 / |
1 -v 2 |
/ c2 . |
|
|
0 |
|
3. В качестве примера рассмотрим распад p0 -мезона на два g - кванта.
Скорость p0 -мезона V всегда меньшеv0 = c , т.е. решение одно-
значно и нет предельного угла. Из формулы преобразования энергии (42.10) в случае фотона
|
|
E(1 - |
V |
cos q) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E0 |
= |
|
c |
|
|
|
|
, |
|
E0 = mpc |
2 |
2 |
(46.11) |
|||
1 -V 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
0 |
1 -V 2 |
c2 |
|
|
|
||||||
|
|
E = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(46.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
cos q |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||
Отсюда находим максимальную и минимальную энергию фотонов (при q = 0 и q = p , соответственно)
|
|
= |
E0 1 -V 2 c2 |
= |
m c2 |
1 +V c |
= E |
1 |
+V/c |
, (46.13) |
||||
E |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||
max |
|
V |
|
2 |
|
1 -V c |
p |
2 |
||||||
|
1 - |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
121
|
|
= |
E0 1 -V 2 c2 |
= |
m c2 |
|
1 -V c |
= E |
1 |
-V/c |
. (46.14) |
|||
E |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||
min |
|
V |
|
2 |
1 +V c |
p |
2 |
|||||||
|
1 + |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем энергетический спектр фотонов в лабораторной системе. В
системе покоя p0 распределение по углу вылета фотона изотропно (для других частиц может быть и по-другому)
dP (вероятность) = |
dW0 |
= |
2psin q0dq0 |
= - |
1 d(cos q ) . |
(46.15) |
|
|
|
||||||
|
4p |
|
4p |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь элемент телесного угла dW 0 записан в сферической системе ко-
ординат(рис.5), где координаты задаются (R,q,j). Возьмем сферу ра-
диуса R, и маленькую площадку на ней в интервале углов отq до q +dq и от j до j +dj . Нетрудно сообразить, что она будет близка
к квадратной с площадью dS = R sin qdq Rdj. Телесный угол, по определению, dW = dS / R2 , отсюда dW = sin qdqdj . Поскольку угло-
вое распределение в рассматриваемом распаде может зависеть только от q , то можно проинтегрировать по j, что дает 2p. Т.е. в качестве
площадке на сфере мы берем кольцо от q до q +dq. В знаменателе (46.15) 4p происходит от того, что полный телесный угол равен пло-
щади сферы 4pR2 , деленной на R2 , таким образом полная вероятность рассеяться на любой угол равна единице (говорят, что такое распределение нормировано на единицу).
Из формулы
E = gE |
(1 + |
|
V |
cos q ) |
(46.16) |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
c |
0 |
|
|||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos q |
= ( |
E |
|
-1) |
c |
, |
(46.17) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
gE0 |
|
|
V |
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(cos q ) = |
cdE |
. |
(46.18) |
|||||||||
|
||||||||||||
|
0 |
V gE0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя (46.18) в (46.15), получаем энергетическое распределение фотонов в лабораторной системе отсчёта
122
dP = - |
c |
|
|
1 |
|
dE , |
(46.19) |
|
2V |
gE |
0 |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. спектр равномерный от Emin |
до |
Emax . Знак минус здесь можно |
||||||
заменить на плюс, он зависит от того откуда отсчитывать энергию. Найдем теперь угловое распределение в лабораторной системе от-
счёта. Исходным снова является угловое распределение фотонов в системе ц.и., в данном случае изотропное(46.15). Для фотонов (световой абберации (23.4))
cos q0 = EPx¢¢ =
откуда нетрудно получить d(cos
g(P cos q -V2 E) |
cos q -V c |
||||||||||
|
|
c |
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
g(E -PV cos q) |
1 - |
V |
cos q |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||
q0 ) = |
|
d(cos q) |
|
. |
|
|
|
||||
|
æ |
V |
|
|
ö2 |
|
|
|
|||
2 |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||
|
g |
ç1 - |
|
|
cos q÷ |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
ç |
|
c |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
Подставляя в (46.15), получаем искомое угловое распределение
(46.20)
(46.21)
dp = - |
1 |
|
|
d(cos q) |
|
. |
(46.22) |
|||
2 |
|
|
æ |
V |
|
ö2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
ç |
|
÷ |
|
|
||
|
|
g |
|
ç1 - |
|
|
cos q÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ç |
|
c |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
В общем случае, зная угловое распределение в системе ц.м. и используя формулы преобразования углов можно найти угловые распределения для любого распада.
§ 47. Неупругие столкновения, пороги рождения частиц, встречные пучки
1. Общий подход
При неупругом столкновении (слипании) двух частиц с массами m1 и m2 с 4-импульсами P1 = {E1, p1 }, P2 = {E2, p2 } образуется частица с массой
M 2c4 = P2 = (P + P )2 |
= (E |
1 |
+ E |
)2 -(p + p |
)2 . (47.1) |
||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
2.Столкновение движущейся частицы с покоящейся частицей
Вэтом случае
123
E = E |
|
+ E |
|
= E |
|
+m c2 |
(47.2) |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 . |
|
p = p1 + p2 |
= p1 |
|
|
|
|||
Образовавшаяся частица движется со скоростью
v = |
c2p |
= |
|
|
p1 c2 |
, |
(47.3) |
|
E |
E |
1 |
+m c2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
ее масса в соответствие с(47.1)
M 2c4 = (E +m c2 )2 - p2 = m2c4 +m2c4 +2E m c2 |
(47.4) |
|||||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
M 2 = m2 |
+m2 |
+ 2E m |
2 |
/ c2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, для рождения частицы с массой M при столкновении движущейся частицы с неподвижной необходима энергия
|
|
(M 2 -m2 |
-m2 )c2 |
|
|
E1 |
= |
1 |
2 |
(47.5) |
|
|
2m2 |
||||
|
|
|
|
||
Пример. Антипротон был впервые наблюден в реакции
p + p p + p + p + p |
(47.6) |
при соударении протонов, выпущенных из ускорителя, с неподвижной мишенью. Найдем минимальную энергию протонов, при которой идет данная реакция.
Масса всех конечных частиц на пороге рождения M = 4mp (mp – масса протона). Тогда из (47.5) находим
E |
1 |
= 7m c2 |
» 6.5 ГэВ. |
(47.7) |
|
p |
|
|
Специально для этой задачи в Беркли, США, был построен ускоритель на такую энергию, на котором 1955 году на нем был открыт антипротон.
При столкновении с неподвижной мишенью энергия налетающей частицы идет как на "создание" массы рождаемой частицы, так и на её кинетическую энергию. При этом доля энергии, идущая на создание
массы, падает с ростом энергии. Из (47.4) при E1 m1,m2 находим
Mc2 |
2m2c2 |
|
|||
E |
|
|
|
. |
(47.8) |
E |
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
3. Встречные пучки. |
|
|
|
|
|
При слипании навстречу летящих частиц с энергиями E0 |
и нуле- |
||||
вым суммарным импульсом образуется частица с массой
124
Mc2 = 2E |
, |
(47.9) |
0 |
|
|
при этом вся энергия переходит в энергию покоя конечной частицы. Для рождения одной и той же частицы с массой М на ускорителе с неподвижной мишенью и на встречных пучках в первом случае потребуется существенно большая энергия. Из (47.5) и (47.9) находим
|
E |
1 |
|
M 2 |
-m2 |
-m2 |
|
|
|
= |
|
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E0 |
|
|
Mm2 |
|||
При m1 = m2 = m и |
|
M m |
|
|
|||
|
|
|
E1 E0 |
» M m . |
|||
Иначе, ускоритель со встречными пучками с энергией E0 тен ускорителю с неподвижной мишенью с энергией
E1 » 2E0 E0 . mc2
(47.10)
(47.11)
эквивален-
(47.12)
Первый ускоритель со встречными электрон-электронными пучками, построенный в 1964 году в Институте ядерной физики Новосибирске,
имел энергию E0 » 200 МэВ и диаметр около 1 м. Для получения тех
же эффектов при соударении с неподвижной мишенью необходим ускоритель с энергией
E |
1 |
= 200 2 200 |
= 160000 МэВ= 160 ГэВ. |
(47.13) |
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
Размеры кольцевого электронного ускорителя с такой энергией составили бы несколько десятков километров. В 1966 году там же в ИЯФ заработал первый в мире ускоритель со встречными электрон-
позитронными (e+e- ) пучками. С тех пор встречные пучки стали основным инструментом изучения материи, с помощью которых были сделаны важнейшие открытия.
Максимальная энергия в e+e- -столкновениях, достигнутая к настоящему времени, составляет 2E0=200 ГэВ (LEP, ЦЕРН), в pp - со-
ударениях 2E0 = 2000 ГэВ (Tevatron, США), в pp столкновениях 2E0 = 14000 ГэВ (LHC, ЦЕРН). Ускоритель LHC находится в том же
тоннеле периметром 27 км вблизи Женевы, где до этого располагался LEP. Самые массивные из открытых частиц, Z0- бозон с массой 92
ГэВ/c2 , Хиггсовский бозон – 126 ГэВ) и t-кварк – 172 ГэВ/c2.
125
§ 48. Магнитное поле
Инвариантность заряда. Плотность заряда и плотность тока в разных системах отсчёта.
Законы электромагнетизма были установлены экспериментально. В их формулировке наибольшая роль принадлежит ряду замечательных ученых: К. Гауссу (1777-1855), А. Амперу (1775-1836), М. Фарадею (1791-1867). Полное завершение теория электромагнитных явлений получила в 60-ых годах XIX века в работах Д. Максвелла (1831-1879). Однако природа этих законов оставалась загадочной. Специальная теория относительности позволила объяснить все электромагнитные явления, опираясь только на два фундаментальных экспериментальных факта:
1. Закон Кулона. В природе существуют электрические заряды, и сила взаимодействия между неподвижными зарядами
F = |
q1q2 |
r |
(48.1) |
|
r3 |
||||
|
|
|
2. Величина электрического заряда не зависит от скорости.
Второй постулат вытекает из электрической нейтральности атомов. Заряд атома водорода, как следует из экспериментов, составляет менее
10-20 e (e -заряд электрона). Скорость электронов в атоме водорода v / c ~ 10-2 . Если бы заряд как-то менялся за счет эффектов теории
относительности, |
то |
можно |
было |
бы |
ожидать |
Dq/q ~ g -1 ~ (v/c)2 ~ 10-4.
Постулат об инвариантности электрического заряда можно сформулировать в другом, удобном для использования виде: сила, дейст-
вующая на пробный заряд в поле, создаваемым неподвижным зарядом,
не зависит от его скорости. Можно показать, что это утверждение согласуется с приведенным выше экспериментальным фактом.
Плотность зарядов зависит от системы отсчёта. Действительно, пусть в покоящемся цилиндре длиной l0 и сечением S0 содержится
заряд с объёмной плотностью r0 . При движении цилиндра со скорость v , параллельной оси цилиндра, сечение остаётся неизменным S = S0 ,
а длина сократится:l = l |
0 |
1 -v2 |
c2 . Из условия сохранения заряда по- |
|
|
|
|
лучаем |
|
|
|
126
r = |
r0 |
. |
(48.2) |
|
1 -v2 c2 |
||||
|
|
|
Плотность тока (заряд, протекающий через см2 в с)
j = rv = |
r0v |
. |
(48.3) |
|
1 -v2 c2 |
||||
|
|
|
Нетрудно видеть, что {rc, j} = {r0gc, r0gv}= {r0u0, r0u} является 4-
вектором, поскольку пропорционален 4-скорости, а значит преобразуется по правилу
|
|
|
V |
|
1 -Vvx |
|
|
|
|
||
|
¢ |
|
|
|
c2 |
|
|
, |
(48.4) |
||
r |
= g(r - c2 |
j) = r |
1 -V 2 |
c2 |
|||||||
|
|||||||||||
jx¢ = g(jx |
- rV ), |
jy¢ = jy , |
|
jz¢ = jz . |
(48.5) |
||||||
Обратное преобразование получается заменойV на -V .
Взаимодействие движущегося заряда с током.
Известно, что на движущийся заряд действует магнитное поле, создаваемое током. Попытаемся понять природу такого взаимодействия.
Рассмотрим цилиндр, в котором положительные заряды с плотностью r движутся вправо со скорость V , а отрицательные заряды с
плотностью -r налево с той же скоростью. Ясно, что в целом цилиндр
V
q
v
-v
мулой (48.4) плотности
является нейтральным и не действует на покоящиеся относительно него заряды.
Пусть параллельно оси цилиндра (проводника) движется заряд q со скоростью V . Будет ли на него действовать сила? Для ответа на этот вопрос перейдем в систему движущегося заряда. В этой системе отсчёта в соответствии с фор-
зарядов будут
r+¢ |
V |
|
vV |
) , |
(48.6) |
= g(r+ -c2 |
j+) = gr(1 |
- c2 |
127
r-¢ |
V |
|
vV |
). |
(48.7) |
= g(r- - c2 j-) = -gr(1 + c2 |
|||||
Здесь было учтено, что |
|
|
|
|
|
r+ = r, r- = -r, |
j+V = r+vV = rv, |
j-V = r-(-v)V = rv .(48.8) |
|||
Суммарная плотность зарядов будет |
|
|
|
|
|
|
dr¢ = r+¢ + r-¢ = - |
2grvV |
|
|
|
|
|
. |
|
(48.9) |
|
|
c2 |
|
|||
Получается, что в системе отсчёта, сопутствующей движущемуся заряду q, проводник имеет отличную от нуля плотность зарядов, а стало быть, создает электрическое поле и притягивает заряд q! Этим и объясняется природа сил, действующих на движущиеся заряды.
Найдем эту силу для данном случае. Пусть расстояние от оси проводника до заряда q равно r. Оно не изменяется при переходе в систему покоя заряда q (поперечный разме не меняется). Линейный
проводник создает электрическое поле (34.14) |
|
|||
E = |
2l |
, |
(48.10) |
|
r |
||||
|
|
|
||
где l – линейная плотность зарядов. В нашем случае сила притяжения будет равна
|
¢ |
|
4grvVS |
|
|
Fy¢ = |
2dr S |
q = - |
|
q . |
(48.11) |
r |
rc2 |
Переведем эту силу в неподвижную относительно проводника систему отсчета, воспользовавшись формулой преобразования сил (43.7).
Поскольку vx¢ заряда q в его системе покоя равна нулю, то
¢ |
|
|
4rvVS |
|
|
|
2IV |
|
|
|
rc2 |
|
= -q |
|
rc2 . |
(48.12) |
|||||
Fy = F /g = -q |
|
|
||||||||
Здесь учтено, что полный ток в лабораторной системе равен |
|
|||||||||
I = 2rvS . |
|
|
|
|
|
(48.13) |
||||
Эту силу можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| F |= q |
V |
B, |
B = |
2I |
. |
|
(48.14) |
|||
|
rc |
|
||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||
Величину B называют магнитным полем.
В проведенном выше рассмотрении были взят проводник наполненый положительными и отрицательными зарядами
128
(движущимися в противоположные стороны) для того, чтобы занулить электрическую силу в лабораторной системе. Если бы рассматривали только один тип зарядов, то в лабоаторной системе было бы и электрическое и магнитное поле, причем
| B |=| E | |
v . |
(48.15) |
|
c |
|
Это видно из ф-лы (48.6), где первый член соответствует электрической, второй магнитной силе.
Зачем понадобилось вводить магнитное поле, если это всего лишь проявление релятивистского эффекта (порядка Vv/c2 ) в действии элек-
трических сил? Просто, исторически, силу, действующую на неподвижный заряд, отнесли к электрическому полю, а составляющую силы, связанную с движением пробного заряда, к магнитной силе.
Сила взаимодействия двух токов
Имея формула (48.14) для силы, действующей на заряд, движущийся параллельно току, можно найти силу взаимодействия двух токов.
Пусть имеется два тонких проводника на расстоянии r с токами I1 и I2 . В соответствие с (48.14) сила, действующая со стороны первого тока на один электрон во втором проводнике равна
F = -e |
v2 |
B = -e |
v2 |
|
2I1 |
. |
(48.16) |
|
|
|
|||||
1 |
c |
|
c |
|
cr |
|
|
|
|
|
|
||||
Количество электронов на единицу длины второго проводника равно N = I2 / ev2 . Это следует из определения силы тока как количества
заряда, протекающее через сечение проводника за единицу времени. Умножая (48.16) на, N получаем искомую силу взаимодействия двух токов на единицу длины
F = - |
2I1I |
2 |
. |
(48.17) |
2 |
|
|||
|
c r |
|
|
|
Это закон, А. Ампера, установленный экспериментально в 1820 г. Токи, текущие в одном направлении, притягиваются; токи, текущие в противоположном направлении, отталкиваются. Это следует непосредственно из силы Лоренца.
Ниже будут приведены формулы для электромагнитных сил в общем виде.
129
§ 49. Сила Лоренца
Используя сформулированные в начале предыдущего параграфа постулаты и теорию относительности можно рассчитать силу взаимодействия между двумя произвольно движущимися зарядами. Действительно, раз известна сила, действующая со стороны покоящегося заряда, то можно найти силу в любой движущейся системе отсчета. Оставим эти расчеты для курса электричества и приведем только конечный результат.
Сила, действующая на заряд, движущийся со скоростью V , со стороны заряда, источника поля, движущегося со скоростью v равна
F = q(E + V ´B) , |
(49.1) |
|
|
c |
|
где Ε и B – это электрическое и магнитное поля, создаваемое источ- |
||
ником полей. Эта сила называется силой Лоренца. |
|
|
В случае взаимодействия двух зарядов |
|
|
év |
ù |
(49.2) |
B = ê |
´Eú . |
|
êc |
ú |
|
ë |
û |
|
Направление E и B показано на рис. 37. Магнитное поле, как и электрическое, можно изображать силовыми линями.
Поскольку магнитная составляющая силы Лоренца (49.1) перпен-
Eдикулярна скорости заряженной частицы, формула, то работы она не совершает.
B |
В случае линейного провода с током сило- |
вые линии имеют форму кольца, охватываю- |
vщие проводник. Направление поля находится по правилу буравчика (штопора): если штопор
вкручивать в направлении тока, то движение Рис. 37 точек на ручке штопора указывают направле-
ние магнитного поля.
В общем случае, электрические и магнитные поля могут создаваться множеством зарядов, это может быть чисто электрическое поле или только магнитное поле (поле проводника с током) – во всех случаях сила, действующая на заряд, дается силой Лоренца. Хендрик Лоренц нашел выражение для этой силы в 1892 году.
130