telnov-machanika-and-TO

Как возникла Вселенная, что было до этого - пока не ясно, но дальнейшие детальные наблюдения могут помочь ответить на этот вопрос.

Другое непонятное явление – куда-то подевалась антивещество (антиматерия)? Предполагается, что вначале материи и антиматерии было поровну, а сейчас осталась только материя (протоны, нейтроны, электроны). Не будь такого нарушения симметрии в природе – все бы проанигилировало, остались бы одни фотоны. Вообще, если бы константы были немного другими, то не было бы ни атомов, ни нас с вами.

Еще один важный результат: оказывается Вселенная плоская, т.е. два параллельных лучи света не пересекутся, или сумма углов в треугольнике равна 180 град. То, что на малых расстояниях это так, знали давно, но сейчас проверено, что это так до расстояний сравнимых с размером видимой Вселенной. Этот размер составляет примерно ско-

рость света, умноженную на время жизни Вселенной, т.е. около 1028 см. Определить геометрию Вселенной и найти ее среднюю плотность

удалось путем изучения маленьких (10-5 ) температурных неоднородностей в распределении реликтового излучения по небесной сфере.

Поведение Вселенной на больших масштабах определяется гравитационными силами. Если гравитационная потенциальная энергия тел

мала по сравнению с mc2 , то гравитационные взаимодействия можно описывать ньютоновским законом всемирного тяготения. В противном случае, для нейтронных звезд, черных дыр, и для описания расширения Вселенной используется Общая теория относительности Эйнштейна

(1916 г).

Таким образом, современная физика изучает пространственные масштабы от 10-18 до 1028 см, скорости от нуля до скорости света, гравитационные поля от слабых до сверхсильных. Для описания динамики явлений при соответствующих условиях используются ньютоновская механика, специальная теория относительности (которые мы будем изучать), а также квантовая механика и общая теория относительности. Можно, конечно, использовать квантовую механику для описания движения пушечного ядра, но это слишком сложно, при этих условиях прекрасно работает и ньютоновская механика.

Что еще важно для курса Механики из области Большой физики? Наш мир трехмерный и его можно описывать евклидовой геометрией (что не работает вблизи плотных астрономических объектов). Мы так привыкли к этому, что даже не задумываемся. А могло бы быть и не так! Сейчас, теоретики пытающиеся построить общую теорию мироздания, оперируют с размерностями пространства более 10. В соответ-

11

ствие с их гипотезой мы не видим эти дополнительные размерности, поскольку максимальная длина в этих направлениях для света и других частиц очень маленькая, но предполагается, что гравитационные взаимодействия свободно распространяются в пространстве с размерностью больше, чем три. Это, конечно, пока только непроверенные гипотезы.

Даже первый закон Ньютона совершенно неочевиден. Со времен Архимеда считалось, что тела движутся только тогда, когда к ним приложена сила, что логически возможно. Галилей доказал, что это не так: он сформулировал закон инерции, в соответствие с которым свободное тело в любой инерциальной системе движется прямолинейно с постоянной скоростью. Но и Галилей не совсем прав. Как было упомянуто выше, темная энергия заставляет двигаться ранее покоящиеся относительно друг друга тела. Тем ни менее, на масштабах меньше галактических эти эффекты малы и в земных условиях мы можем использовать механику Ньютона-Эйнштейна, предполагающую существование инерциальных систем отсчета.

§ 4. Эталоны и системы единиц

Для измерений физических величин используются линейки, часы, весы, вольтметры, амперметры и множество других приборов. Для калибровки приборов нужны эталоны. Первичные талоны должны быть максимально стабильными во времени. Необходимо также иметь способ сравнивать вторичные эталоны с первичными с высокой относительной точностью.

Сколько всего нужно первичных эталонов? С точки зрения фундаментальной физики достаточно всего три эталона, например: расстояния (длины), времени и массы. Используя см, г, с можно составить размерность любой другой величины. Именно такой подход используется в системе единиц СГС (Сантиметр-Грамм-Секунда).

Найдем, например, размерность электрического заряда. В системе

[e] г1/2см3/2сек-1 . Систему СГС, включающую электрические величи-

ны, называют СГСЭ.

Широко используется также система СИ (Система Интернациональная), которая принята в качестве основной большинством стран мира. Отличие СИ от СГСЭ состоит не только в том, что в первой ис-

12

пользуются килограммы и метры, а во второй граммы и сантиметры. Главное отличие состоит в том, что в системе СИ не три, а существенно больше эталонов. Это произошло по «историческим» причинам: некоторые эталоны, например единицу силы света кандела (до 1970 г. свеча) ввели потому, что в то время не представлялось возможным выразить силу света через более фундаментальные величины. Еще одна причина – это желание «упростить» формулы, используемые в технике. Это привело, в частности, к тому, что размерности электрического и магнитного поля в системе СИ различные, хотя это одно и то же электромагнитное поле. Одним словом, система СИ очень неудобная для физики, даже вредная. Тем не менее, система СИ используется широко в технике и быту, а система СГСЭ в физике (наряду с СИ) и особенно в теоретической физике.

В данном пособии, как и в большинстве университетских учебников, материал излагается в системе СГС. и даются правила пересчета физических величин в систему СИ и обратно. К счастью, в механике все формулы выглядят одинаково в обеих системах единиц, разница появляется только при использовании законов электродинамики.

Итак, в СГС нужно всего 3 эталона. В течение истории эталоны многократно менялись. Выбор новых, более стабильных эталонов определялся уровнем развития техники. Современные эталоны следующие:

Время.

Одна секунда – это 9 192 631 770 периодов излучения цезия-133 (оп-

ределенная линия излучения). Относительная точность 10-14.

Длина

До недавнего времени один метр был равен расстоянию двумя черточками на линейке из определенного сплава. Ввиду того что скорость света одинакова во всех системах отсчета в 1983 г был введен новый эталон метра:

Один метр – это длина пути, проходимая светом за 1/299792458 сек. Поскольку скорость света вошла в определение эталона, то с данного момента считается, что она известна бесконечно точно, поэтому неопределенность длины такая же как точность измерения времени.

Масса

С 1889 г в качестве килограмма используется платиноиридиевый эталон. Однако атомы эталона теряются (3·10-8 массы за 100 лет), поэтому планируется сменить эталон массы на более стабильный. Это может быть, например, некоторое количество атомов определенного

13

сорта (атомы все одинаковы). Можно также привязать эталон массы к

постоянной Планка. Действительно, mc2 и w имеют размерность энергии, для частоты есть эталон. Скорость света и постоянная Планка будут считаться точно известными (по определению), отсюда возникает эталон массы.

Как уже подчеркивалось, ко всем законам нужно относиться осторожно, они неточны при определенных условиях. Не исключено, что постоянная Планка и скорость света зависят от возраста Вселенной. Этот вопрос изучается, например, путем сравнения спектров атомов в лаборатории со спектром атомов от далеких звезд. Пока изменения фундаментальных констант во времени не обнаружено.

14

Г Л А В А II

НЕРЕЛЯТИВИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

§5. Пространство, время, системы координат

Вэтой главе мы будем рассматривать случай малых (нерелятивистских) скоростей, v c . Классическая механика опирается на следующие представления, почерпнутые из эксперимента:

1. В мире существуют тела, движущиеся под действием сил. Задание сил и начальных условий определяет полностью поведение системы в любой последующий момент времени.

2. Все физические процессы происходят в пространстве и времени. Предполагаются следующие свойства пространства:

равноправие всех точек пространства (однородность);равноправие всех направлений (изотропность);евклидовость (сумма углов в треугольнике равна π).

Предполагается, что во всем пространстве можно ввести единое время, текущее везде равномерно и одинаково. По умолчанию предполагается, что движение тел никак не влияет на свойства пространства и времени.

Тела состоят из материальных точек, т.е. тел, размерами которых при рассмотрении можно пренебречь. В природе существуют твёрдые тела, в которых относительное расположение точек остаётся приблизительно неизменным. Их этих твердых тел можно сделать линейки для измерения расстояния между точками, выбрав одну из них за единицу масштаба. Между двумя точками можно провести бесконечное число линий. Кратчайшая из них называется прямой, а её длина расстоянием.

Точки пространства сами по себе не могут быть помечены, они имеют смысл только по отношению к материальным телам. Для описания пространства нужно указать тело отсчёта (или некоторое количество материальных точек, расстояние между которыми не изменяется). К этим телам можно прикрепить оси координат, а затем, используя жесткий масштаб (линейку), можно определить координаты любой точки. Координаты удаленных объектов можно найти также методом триангуляции, основанном на прямолинейном распространении света.

Совокупность тел, относительно которых определяется положение точек пространства, называется системой координат, а сами эти тела базисными. Минимальное количество тел, равное количеству чисел необходимых для однозначного задания положения точек в простран-

15

стве, называется размерностью пространства. Мы живём в трехмерном пространстве. Задание, например, расстояний до трёх опорных точек задает координату в пространстве. Можно за три точки жестко закрепить декартову систему координат, тогда положение точки будет характеризоваться тремя числами (x,y,z ). Другие, наиболее популяр-

ные системы отсчета – это цилиндрическая и сферическая системы координат.

Для описания движения тел в пространстве нужно к системе опорных тел (системе координат) добавить еще часы в каждой точке пространства. Часами может быть любой периодический процесс, слабо зависящий от внешних воздействий. В классической механике предполагается, что все часы в пространстве независимо от движения идут одинаково, однако, это не так при больших скоростях. Система координат, снабженная часами, является системой отсчёта.

Декартова (x,y ) и полярная (r,j) системы координат на плоскости

изображены на рис. 1 и 2.

Переход от декартовых координат к полярным и обратно дается фор-

16

Системы координат в пространстве: декартова (x,y,z ), цилиндрическая (r,j,z ) и сферическая (r, q,j), показаны на рис. 3, 4 и 5. Декар-

Z Z

това система в пространстве бывает двух видов: правая и левая. В правой системе (рис. 3-5) направление оси Z находится по правилу буравчика (штопора): при вращении ручки штопора в плоскости XY от оси X к оси Y он будет вкручиваться в направлении оси Z . Левой системе координат соответствует противоположное направление оси Z . Обычно используется правая система координат.

В сферической системе координат угол q меняется от 0 до p , угол j от 0 до 2p. Справа от рис.5 приведены формулы перехода сфериче-

ских к декартовым координатам и обратно.

Рис. 5

17

§ 6. Векторы

Положение можно также задать радиус-вектором r (или жирное r ) с началом в точке отсчета (O) и кон-

Zцом в рассматриваемой точке (A), рис. 6. Он имеет направление и длину r =| r |.

получается более короткая запись, не нужно записывать уравнения по каждой проекции. Математически векторы могут быть представлены в виде строки с его компонентами в пространстве. Так радиус-вектор

где i, j, k - единичные вектора в направлении осей X,Y,Z . То же для

Пример. Пусть скорость одного тела равна v1 , второго v2 , чему равна их относительная скорость?

18

Видим, что операция вычитания вектора эквивалентна прибавлению

вектора с противоположным направлением. Пристраивая вектор (-v1) к концу вектора v2 , рис. 9, находим построением вектор vотн .

Заметим, что относительную скорость можно найти более простым построением. Сведем начало векторов v1 и v2 в одну точку, рис.10.

Вектор, идущий от конца вектора v1 к концу вектора v2 , и будет век-

тор относительной скорости. Действительно, исходное выражение для относительной скорости vотн = v2 - v1 – то же самое, что и

v1 + vотн = v2 , соответствующее рис. 10. Для векторов создана векторная алгебра:

b = ga - умножение на число

| c |=| a || b | sin j. Направление вектора c перпендикулярно

aи b и находится по правилу буравчика при повороте a к

bпо кратчайшему пути, поэтому a × b = -b× a .

Для скалярного и векторного произведений работает распределительный закон: (a + b)c = ab + bc

Запишем скалярное и векторное произведение через компоненты векторов. Скалярное произведение двух векторов (ax ,ay,az ) и (bx ,by ,bz )

c = (ab) = (iax + jay + kaz )(ibx + jby + kbz ) = axbx +ayby +azbz (6.4)

19

при этом учтено, что (ii) = (jj) = (kk) = 1 , а (ij) = (jk) = (ik) = 0 .

Убедимся, что получается формула c = (ab) =| a || b | cosj .

Пусть a = (cos a, sin a), b = (cos b, sin b) , и j = b -a, тогда

ab = cos acos b + sin asin b = cos(b -a) = cosj – все верно.

Найдем теперь компоненты векторного произведения:

Впринципе можно придумать и другие операции векторами, но они не применяются, т.к. для них не работает распределительный закон.

Вданном курсе нам понадобятся еще произведения трех векторов:

в результате такого произведения получается скаляр, соответствующий объему параллелепипеда, построенного из этих векторов.

Еще одно произведение трех векторов – это двойное векторное произведение

Здесь в результате получается вектор. Это выражение можно получить прямой проверкой.

§ 7. Прямая задача кинематики, скорость и ускорение

Прямая задача кинематики заключается в нахождении скорости v(t) из известного r(t)и ускорения a(t) из v(t) и. Рассмотрим сначала

одномерную задачу.

Мгновенная скорость v = DDxt при Dt 0 в момент времени

t = t0 , будет ни что иное, как производная функции x(t), равная тан-

генсу угла наклона между касательной к графику и положительным направлением оси t .

20