telnov-machanika-and-TO

Если в системе ракеты снаряд выпускать перпендикулярно ракете, то в лабораторной системе vy = vc/g (поскольку vx¢ = 0 ) и tg J = vc/gV .

§ 23. Аберрация

Пусть в системе S ¢ движется тело со скоростью v¢ под углом q¢ к оси OX ¢. Найдем, под каким углом к оси X это тело движется в системе S, рис. 22.

В случае если тело движется с предельной скоростью v¢ = c , например свет, можно легко получить выражения для sin q и cosq , заме-

тив, что и в системе S скорость света также равна c. Тогда

51

Пример. Пусть в космическом корабле произошла вспышка света. Нетрудно получить направления лучей в лабораторной системе:

Видим, что свет, испущенный в системе корабля в переднюю полусферу, соберётся в конус sin q = 1g вокруг направления движения

корабля. Это явление называют «эффектом фары».

Явление аберрации искажает картину звёздного неба. Рассмотрим, что увидят наблюдатели в космическом корабле. Воспользуемся формулами (23.4) и учтем, что свет от звёзд падает на корабль, т.е. нужно заменить c на -c . Пусть в лабораторной системе луч света падает на корабль по углом q к направлению движения. Тогда в системе корабля

Передняя полусфера неба соберется в системе отсчёта корабля в угол

Более того, в иллюминатор на носу корабля будут видны звезды из задней полусферы, которые не были видны, когда корабль покоился. В этом нет ничего удивительного: если дождь бьет вам на спину, то при движении вперед капли будет падать на вас спереди.

Явление звёздной аберрации впервые наблюдал Брэдли в 1725 году. В результате орбитального движения Земли относительно Солнца, угол, под которым видны звёзды, меняется в течение года на величину

V/c » 10-4 . Пример нерелятивистской аберрации – изменение направления падения капель дождя при движении наблюдателя.

52

§ 24. Эффект Доплера

При наблюдении звёздного неба из кабины движущегося космического корабля меняется не только распределение звёзд на небе, но и изменяется их цвет и яркость. Как известно, свет характеризуется частотой, длиной волны и скоростью распространения. Пусть волна воз-

где k = wc . В заданной точке пространства поле меняется с периодом (фаза, wt -kz , меняется на 2p)

Сдругой стороны, k = wc , откуда следуют тривиальные

Здесь k – волновой вектор, направленный в сторону распространения волны, его модуль определен (24.4).

Переходим, наконец, к нашей задаче – преобразованию частоты и волнового вектора волны при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Здесь может возникнуть вопрос, зачем нам нужно знать преобразование вектора k ? Во-первых, оказывается, между w и k имеется глубокая связь – они образуют 4-вектор; во-вторых, для квантов электромагнитного поля, фотонов, энергия и импульс равны

53

E = w , p = k (это будет обсуждаться подробно в разделе релятиви-

стская динамика).

Итак, представим себе, что источник в системе S ¢ , движущейся со скоростью V вдоль X создаёт систему плоских ‘электромагнитных волн, распространяющихся из начала координат O¢ под углом q¢ с

длиной волны l¢ = l0 и периодом T ¢ =T0 = l0/c. (для простоты счи-

таем, что происходят короткие вспышки через время T0 ). В лабораторной системе S фронт волны движется под углом q, рис.23.

S

V

источник

Рис. 23

Пусть первый фронт испустился при x ¢ = x = 0 . К моменту очередной вспышки он будет в точке А. Следующую волну в системе S

источник создаст через время t = gT0 (фронт, проходящий через точку

B), это следствие того, что в лабораторной системе время течет в g раз

медленнее, чем по часам движущегося источника волн. За это время в системе S источник сдвинется на расстояние Vt вдоль оси X . На рисунке вспышки обозначены пунктирными линиями. Длина волны, т.е. расстояние между фронтами, будет равна

54

где kx – проекция волнового вектора на ось X. Заменой V -V получаем обратное преобразование

Изменение частоты при движении источника называют эффектом Доплера. Формулы (24.9), (24.10) являются решением задачи в случае, когда движущийся источник испускает волну, движущуюся со скоростью c.

Из (24.9) получаем, что при q = 0

Эффект Доплера существует и в классике при малых скоростях источника (изменение звука сирены движущегося автомобиля). Их нельзя получить из вышеприведенных формул простой заменой скорости света на скорость звука, т.к. скорость звука, в отличие от света, привязана к среде и не является инвариантом при переходе из одной инерциальной системы в другую, как мы видели в начале этого параграфа.

Используя формулы (24.9) и (24.10) нетрудно получить формулы

55

Вспоминая определение 4-вектора (§ 15), мы видим, что четверка

события R{ct, r} , т.е. по формулам Лоренца.

Приведем ещё один красивый вывод формул для преобразования w и k . В системе источника S ¢ волна имеет вид cos(w¢t¢ -k¢x¢). В "не-

подвижной" системе S поле пропорционально cos(wt -kx). Заметим

теперь, что там, где поле равно нулю, оно равно нулю в любой системе. Отсюда следует, что фаза волны (то, что стоит в скобке) является инвариантом

его сомножители при t,x,y,z в левой и правой частях равенства, получаем

что и решает поставленную задачу. Все эти формулы запоминать не надо. Достаточно помнить, что {w/c, k} – это 4-вектор, который

преобразуется так же как {ct, r} .

Заметим, что полученные формулы преобразования {w/c, k} для света содержат сразу и эффект Доплера и аберрацию. Действительно,

что совпадает с формулой (23.4).

При рассмотрении аберрации был пример искажения картины звездного неба при его рассмотрении из кабины космического корабля. Было получено, что вся передняя полусфера соберется в угол 1/g . А

как изменится цвет звезд? Это можно найти из формулы (24.9), только у скорости света нужно поменять знак, т.к. свет идет кораблю. Более точно, знак нужно поменять, потому-что для света, идущего в сторону корабля, cos q имеет противоположный знак по сравнению со случаем,

56

частота света в системе корабля w¢ = gw. Таким образом, звезды

соберутся в область малых углов относительно направления движения корабля, и, кроме того, их цвет станет более коротковолновым (для глаза станут более фиолетовыми) .

§ 25. Свойства 4-векторов, собственное время, 4- вектор скорости

Ранее мы дали определение 4-вектору как четверке чисел, преобразующихся при переходе в другую инерциальную системе так же, как и

4-вектор события R = {ct, r} , т.е. A = {a0,a1,a2,a3 } – 4-вектор, если a0 = g(a0¢ + ba1¢), a1 = g(a1¢ + ba0¢), a2 = a2¢, a3 = a3¢ . (25.1)

Разница двух 4-векторов, очевидно, является тоже 4-вектором. Назовём скалярным произведением двух 4-векторов

т.е. скалярное произведение 4-векторов является инвариантом преобразований Лоренца. Отсюда следует, в частности, что

Эта величина уже обсуждалась в §16, где было показано из общих соображений, что она является инвариантом при переходе из одной инерциальной системы в другую .

57

Если s2 > 0 , то интервалы называется времениподобными, если s2 < 0 – пространственноподобными.

где v скорость, с которой виновник событий переместился из одной точки в другую. Тогда

т.е. интервал времениподобный.

Пусть два события произошли рядом по координате и времени, то-

гда

произошли в одном месте, рядом с покоящимися там часами. Тогда,

Это мы уже получали ранее.

Понятие интервала и собственного времени оказывается очень полезным для конструирования других 4-векторов. Имея 4-вектор события R , можно построить 4-вектор скорости. Для этого его нужно продифференцировать по некоторой скалярной величине, имеющей размерность времени и инвариантной при преобразованиях Лоренца. Такой скаляр у нас есть – это собственное время. Определим 4-скорость соотношением

Учитывая, что dt = dtg , находим компоненты um

58

является инвариантом при преобразованиях Лоренца, как положено быть любому 4-вектору. 4-скорость нам понадобится для нахождения релятивистского импульса.

59

Г Л А В А IV

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА

§ 26. Законы Ньютона

До сих пор мы рассматривали кинематику, раздел механики, изучающий движение тел, не вдаваясь в вызывающие его причины. Раздел механики, изучающий причины движения тел, называется динамикой. Существование в природе максимальной скорости движения коренным образов влияет на законы динамики. Однако вспомним сначала основные положения нерелятивистской динамики.

Еще древние интересовались законами движения, однако их взгляды, основанные в основном на созерцании и философствовании, были далеки от действительности, даже приближенно. Так греческий философ Аристотель (~384 до н. э.) считал, что для всякого движения (даже с постоянной скоростью) нужно внешнее воздействие. Причина, по которой катится шар, Аристотель называл силой, которая передается шару из окружающей среды. Такие воззрения существовали очень долго. Только в начале 17 века Галилей с помощью экспериментов ясно показал, что скорость свободного тела сохраняется сама по себе, а сила связана не со скоростью тела, а его ускорением. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики. Основные же законы механики сформулировал Ньютон (1687).

По современным воззрениям, законы механики Ньютона верны в широкой области применимости. Однако при скоростях близких к скорости света нужно использовать механику Эйнштейна, а при малых размерах и скоростях (mvr < ) квантовую механику (см. Введение).

Выпишем, а затем рассмотрим законы Ньютона более детально.

Первый закон Ньютона.

Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка (тело), при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Такое тело называется свободным, а его движение – свободным движением по инерции.

60