telnov-machanika-and-TO

X

x(t)

Используются различные обозначения производной:

dx(t) - по Лейбницу dt

x¢(t)- по Лагранжу

x - по Ньютону

Все это мгновенная скорость v(t). Ускорение, по определению

Выпишем производные от элементарных функций, часто встречающихся в физических задачах (подробности в курсе мат. анализа)

21

Дифференцирование произведения и дроби функций: Пусть f (x) = u(x)v(x) , тогда

Аналогично находятся производные от любых произведений и дробей, в частности

22

Дифференцирование сложной функции: Пусть естьf (u), где u = g(x). Тогда

Используя эти довольно простые правила, можно найти производную от любой функции, являющейся комбинацией элементарных математических функций. Задача всегда имеет решение.

При движении в пространстве удобно использовать векторное описание, при этом мгновенная скорость, рис. 12,

23

§ 8. Обратная задача кинематики

При движении под действием силы известно ускорение a(t) и необходимо найти v(t) и r(t).

В одномерном случае перемещение – это плошадь под кривой v(t),

рис, 14, которая находится как сумма малых перемещений. При стремлении шага суммирования к нулю сумма переходит в

определенный интеграл

Примечание: следует различать «перемещение» и «пройденный телом путь». Перемещение в (одномерном случае) – это разница координат конечной и начальных точек

день ездил по городу и вернулся в гараж, тогда перемещение равно нулю, а путь равен изменению показаний одометра (счетчика пробега). Таким образом, путь и перемещение равны только при одномерном движения в одном направлении.

Итак, известна скорость v(t), нужно найти путь S(t), как это сделать математически? Поскольку мы знаем, что v(t) = S ¢(t) , то задача сводится к нахождению такой функции S(t), чтобы ее производная равнялась скорости v(t). Эта задача, обратная нахождению производ-

ной, называется взятием интеграла от функции. Интеграл от f(x)записывается так

где функция F(x) такая, что F ¢(x) = f (x) , ее называют первообразной функцией от f(x). Константа в (8.4) отражает тот факт, что

24

первообразная определена с точностью до константы, поскольку

Поэтому такой интеграл называют неопределенным интегралом. Можно представить, что неопределенный интеграл – это площадь под кривой f(x), где x меняется от некого постоянного, но

неопределенного значения, до переменного значения x .

Для того, чтобы найти площадь S в области a < x <b нужно от значения неопределенного интеграла в точке b отнять его значение в точке a , при этом константа выпадет и получается определенный интеграл, равный разности значений первообразной в точках b и a

a

Таким образом обратная задача кинематики сводится к взятию интегралов, т.е. нахождению первообразных.

Для некоторый функций интеграл находится сразу, например, поскольку (sin x)¢ = cos x , то ò cos x dx = sin x +const . В отличие от

процедуры нахождения производной, взятие интеграла является более сложной задачей. Не для всякой функции, состоящей из элементарных функций, можно найти первообразную, выражающуюся через элементарные функции.

Если функция сложная и интеграл не берется, то для физиков это не проблема, т.к. любой определенный интеграл можно быстро найти с помощью компьютера, разбив отрезок ab на малые отрезки Dx и

просуммировав f (xi )Dx . Однако, всегда приятно когда ответ задачи

можно выразить не числом, а формулой для произвольных a и b . Техника нахождения интегралов излагается в курсе

математического анализа. Ниже приведена таблица некоторых простейших интегралов

Пример: пусть скорость v =bt2 (b –число), найти перемещение за время от t1 до t2 . Ответ находится путем взятия определенного

интеграла

25

Эту же задачу можно сформулировать несколько иначе: пусть скорость v =bt2 , найти как путь (перемещение) зависит от времени,

если x = x0 в момент t0 . В этом случае берется неопределенный интеграл, а константу находится из начальных условий:

Подставляя сюда x = x0 , t = t0 находим const = x0 - b3 t03 . Окончательный ответ

Мы расмотрели прямую и обратную задачю кинематики в декартовой системе кординат. Она сводиться к простому дифференцированию и интегрированию по каждой из проекций.

В векторной форме

t

r(t) = ò v(t) dt + r(t0 ),

v(t) = ò a(t) dt + v(t0 ).

t0

Здесь каждое векторное уравнение является удобной записью трех уравнений для движения по каждой проекции.

Еще немного математики.

В физике часто требуется упростить формулы, содержащие малые величины, сохранив при этом главные члены содержащие эти малые величины. Приведем некоторые полезные математические приемы.

Это нетрудно проверить, возведя обе части в квадрат, получается слева 1 + x , справа 1 + x + x2/4 . Последним членом можно

пренебречь, т.к. он следующего порядка малости по сравнению со вторым членом, содержащим x .

26

2.f (x) = 11 ++ ab , где a, b 1.

Домножая числитель и знаменатель на (1 -b) и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем

f (x) = 1 + a = (1 + a)(1 - b) = 1 + a - b -ab » 1 + a - b . (8.12) 1 + b (1 + b)(1 -b)

Ряд Тейлора

Любую гладкую функцию вблизи точки точки a можно разложить в ряд Тейлора

Действительно, продифференцировав выражение один раз (учитывая, что (xn )¢ = nxn-1 ), получаем f ¢(a + x) = f ¢(a) + члены, содержащие

малый параметр x . Продифференцировав дважды, получаем

f ¢¢(a +x) = f ¢¢(a)+ малые члены, и т.д., Тем самым мы проверили, что

при малых x производные всех порядков у функций слева и справа равны. Такое может быть только, если равны сами функции. Разложение в ряд некоторых функций, которые нам понадобятся в дальнейшем,

Во всех приведенных примерах предполагается x 1.

27

§ 9. Ускорение при криволинейном движении

Движение по окружности

vПолучается, что ускорение направлено к центру

vокружности.

Изменение вектора скорости находим совместив начала начального и конечного векторов скорости. Тогда вектора начальной, конечной скорости и изменения скорости образуют равнобедренный треугольник с углом при

вершине dj. Изменение скорости по модулю равно

а вектор изменения скорости направлен к центру окружности

28

где er – вектор единичной длины, направленный вдоль радиусавектора точки. Отсюда ускорение

центростремительное ускорение an , перпендикулярное скорости

(«нормальное» ускорение). Этот результат эквивалентен формуле (9.4). Если меняется абсолютное значение скорости, то кроме центростремительного ускорения добавляется тангенциальное

ускорение at , направленное вдоль окружности (вдоль направления скорости) равное

где ej - единичный вектор в направлении скорости, v – модуль скорости (скаляр). Полное ускорение при движении по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорение при произвольном движении

Рассмотрим случай произвольного движения. Известно , что через любые три точки можно провести окружность. Выберем три ближайшие точки на траектории и проведем окружность. Как было показано выше, полное ускорение будет суммой тангенцального и нормального ускорений

Здесь n = -er – единичный вектор в направлении центра окружности, t = ej – единичный вектор в направлении скорости. Отсюда получаем способ нахождения R. Поскольку t и n перпендикулярны, то

29

A = Ax2 + Ay2 . Если, известны декартовы компоненты скорости и

ускорения, то по этой формуле легко найти радиус кривизны. Рассмотрим еще один способ нахождения R, используя векторное

произведение. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна полному ускорению умноженному на синус угла между ускорением и скоростью, то она может быть записана в виде

Если ускорение и скорость лежат в плоскости X-Y, то единственная составляющая векторного произведения неравная нулю направлена по Z. Используя формулу (6.6) для векторного произведения, находим

§ 10. Прямая задача кинематики в полярной системе кординат

В некоторых случаях, например при описании движении планет, удобно ползоваться не декартовой, а полярной системой координат.

30