Література

1. Методологія наукових досліджень: Метод. вказівки до проведення комп‘ютерних і практичних занять з дисципліни/Уклад.: А.Л.Концевой, І.М.Астрелін, С.А.Концевой. - К.: НТУУ «КПІ», 2006. – 80 с.

Розділ 4. Оптимізація об'єктів досліджень за моделями другого порядку

В наукових дослідженнях широко відомі ортогональні плани другого порядку, методологія застосування яких дається в [1]. Загальна кількість дослідів при такому плануванні визначається формулою N = 2ⁿ + 2n + N_0, де кожна складова визначає число дослідів 2ⁿ у повному факторному експерименті (ПФЕ), 2n у "зоряних" точках і N₀ у нульовій точці.

Як приклад наводимо композиційний план ортогонального експерименту для двох факторів (рисунок і тaблиця 1).

Рисунок - Координати дослідних точок

Згідно рисунка досліди 1 - 4 — ядро плану (ПФЕ 2²), досліди 5-8 — "зоряні" точки, дослід 9 — дослід у центрі плану (нульова точка).

Рівняння поліному в цьому випадку приймає вид:

. (1)

Зазначимо, що класичний підхід передбачає використання кодованих значень факторів (1; -1; 0; ±а), що дозволяє розрахувати вручну коефіцієнти рівняння регресії за методом найменших квадратів (МНК) у матричній формі. На сучасних комп‘ютерах МНК може бути використаний для розрахунків коефіцієнтів рівняння типу (1)

, (2)

в якому фактори , ,... надані в натуральному вигляді (тобто фактори мають розмірність фізико-хімічних та інших величин). Одержані таким чином моделі є більш зручними у користуванні, тому що не потребують переводу значень параметрів у кодовану форму перед їх підстановкою у рівняння регресії.

Мета роботи: розрахунок в середовищі Excel коефіцієнтів рівняння другого порядку і пошук екстремуму функції для 2-х і 3-х змінних стану хімічного процесу.

Вихідні дані

Таблиця 1 – Результати експерименту для

№	Натуральні значення		Кодовані значення		Вихід, %
1	70	23,2	+1	+1	10,78·N/5
2	70	22,0	+1	-1	1,74·N/5
3	62	23,2	-1	+1	24,05·N/5
4	62	22,0	-1	-1	16,16·N/5
5	70	22,6	+1	0	6,26·N/5
6	62	22,6	-1	0	20,10·N/5
7	66	23,2	0	+1	17,96·N/5
8	66	22,0	0	-1	9,49·N/5
9	66	22,6	0	0	13,72·N/5

Варіант N дорівнює останній цифрі номеру залікової книжки.

Алгоритм розрахунку

1. Скласти таблицю (матрицю) даних за рівнянням (1) - фактори задані в кодованому вигляді, тобто створити колонки Х₁, Х₂, Х₁·Х₂, Х₁², Х₂², і знайти коефіцієнти рівняння за допомогою функції ЛИНЕЙН (див. роботу 3). Перед використанням функції ЛИНЕЙН необхідно зберегти (записати) файл програми тому, що при некоректному використанні цієї функції можливо «зависання» комп‘ютера. Ця функція повертає коефіцієнти у зворотньому порядку відносно правої частини рівняння (1).

2. Розрахувати значення за отриманим рівнянням.

3. Оцінити якість опису результатів експерименту за відносним відхиленням, %, і .

4. Знайти оптимум функції з обмеженнями на фактори, що визначені в таблиці 1. Для цього звернутися в меню Сервис, надстройка Поиск решения. Якщо ця надстройка не встановлена, звернутися до команди Надстройки, відмітити Поиск решения, Ок.

Зауваженя. Настройка надбудови «Поиск решения» в Excel 2007.

Лівою кнопкою миші клацнути по кнопці Office (лівий верхній кут). У вікні, що відкрилося, обираємо функцію Параметры Excel. У вікні обрати вкладку Надстройки. В даній вкладці знизу навпроти Управление обираємо Надстройки Excel. Після обрання клацнути на Перейти. У вікні відмітити Поиск решения, ОК. Поиск решения з‘являється у вкладці Данные.

Порядок пошуку оптимуму описано нижче за текстом.

Для випадку з трьома невідомими (таблиця 3) рівняння регресії приймає вид (фактори в кодованому і натуральному виді:

(3)

. (4)

Алгоритм розрахунків (на окремому листі) за рівняннями (3, 4) повністю відповідає вищенаведеним 4 пунктам.

Таблиця 2 – Результати експерименту для

№ досліду	Кодовані значення			Натуральні значення			Ступінь окиснення
				,моль/л	,рН	,хв.	,%
1	-1	-1	-1	0,027	0,5	10	13,921/N
2	1	-1	-1	0,037	0,5	10	14,026/N
3	-1	1	-1	0,027	1,5	10	10,963/N
4	1	1	-1	0,037	1,5	10	11,068/N
5	-1	-1	1	0,027	0,5	20	55,481/N
6	1	-1	1	0,037	0,5	20	55,690/N
7	-1	1	1	0,027	1,5	20	51,323/N
8	1	1	1	0,037	1,5	20	51,531/N
9	-1,215	0	0	0,026	1	15	29,479/N
10	1,215	0	0	0,038	1	15	29,667/N
11	0	-1,215	0	0,032	0,392	15	31,629/N
12	0	1,215	0	0,032	1,608	15	27,302/N
13	0	0	-1,215	0,032	1	8,925	9,825/N
14	0	0	1,215	0,032	1	21,07	59,654/N
15	0	0	0	0,032	1	15	29,573/N

Правила використання надбудови «Поиск решения» при пошуку оптимуму функції

УВАГА: при зверненні до другого варіанту «Поиск решения» (наприклад, перехід від кодованих до натуральних значень факторів) на тому самому листі система (надбудова) залишить останні (попередні) умови, а тому необхідно обов’язково змінити всі пункти діалогового вікна! Рекомендація: виконати розрахунки 2-х і 3-х факторного експерименту на окремих листах.

Для факторів, заданих в натуральному або кодованому виді, пошук оптимуму функції з урахуванням обмежень на фактори виконується наступним чином.

1. Бажано створити окремі таблиці для зручності користування (далі приклад для 3-х факторного експерименту).

Таблиця 3 – Обмеження на фактори згідно умов 3-х факторного експерименту.

Фактор	Z1	Z2	Z3		Фактор	X1	X2	X3
Max					Max	1,215	1,215	1,215
Min					Min	-1,215	-1,215	-1,215

2. Для пошуку оптимуму необхідно скласти таблиці залежно від виду факторів (натуральні чи кодовані):

Таблиця 4 – Пошук оптимуму 3-х факторного експерименту

Z1	Z2	Z3	Yопт		X1	X2	X3	Yопт
1	2	3	4		1	2	3	4

3. Комірки 1, 2, 3 (це не значення факторів!) таблиці 4 зі змінними (тобто з факторами) залишити пустими. В комірку 4 таблиці 4 (в якій виконується пошук оптимального значення Y) ввести рівняння поліному (одне з наступних):

=a₀+a₁*Z₁+a₂*Z₂+a₃*Z₃+a₁₂*Z₁*Z₂+a₁₃*Z₁*Z₃+a₂₃*Z₂*Z₃+a₁₁*Z₁^2+a₂₂*Z₂^2+a₃₃Z₃^2,

=b₀+b₁*X₁+b₂*X₂+b₃*X₃+b₁₂*X₁*X₂+b₁₃*X₁*X₃+b₂₃*X₂*X₃+b₁₁*X₁^2+b₂₂*X₂^2+b₃₃X₃^2.

Коефіцієнти а₀, а_1, ..., b₀, b_{1, …,} b₃₃ ввести шляхом абсолютних посилань на розраховані значення (поставити курсор на координату комірки в рівнянні і натиснути F4), а невідомі змінні ввести посиланням на комірки 1, 2, 3 таблиці 4.

4. Зайти в меню «Сервис» - надбудова «Поиск решения». В діалоговому вікні необхідно виконати наступні дії:

«Целевая ячейка» - вибрати комірку (4 таблиці 4) з набраним рівнянням.

«Равной» - задати необхідні умови пошуку оптимуму (максимальне або мінімальне), що залежать від поставленої задачі.

«Изменяя ячейку» - виділити комірки 1, 2, 3 таблиці 4 з невідомими значеннями змінних (тобто адреси пустих комірок).

«Ограничения» - «Добавить» з’являється діалогове вікно, у якому в пункті «Ссылка на ячейку» послідовно виділити (зробити посилання на) комірки 1, 2, 3 таблиці 4, а в пункті «Ограничение» послідовно виділити (зробити посилання на) комірки із таблиці 3 і ввести логічний вираз (<= , >=); «Добавить» - ввести наступне обмеження. По закінченні «ОК».

Для кожної змінної повинно бути мінімум два обмеження (максимальне та мінімальне значення згідно умов експерименту, що наведені у таблиці 3). При необхідності задати обмеження на параметр оптимізації (наприклад, Yопт задано у %) «Добавить», виділити комірку 4 таблиці 4 і ввести логічний вираз «<= 100». «Выполнить».

5. Якщо оптимальне значення знайдено, необхідно його зберегти (діалогове вікно); в іншому випадку перевірити умови пошуку оптимуму, або задати нові умови пошуку, починаючи з пункту 4 - «Целевая ячейка».

Індивідуальна самостійна робота

1. Пункти 1 – 4 реалізувати для випадку, коли фактори задано в натуральному вигляді (для і).

Контрольні питання

Композиційне планування. Композиційний план для двох факторів (рисунок). Композиційний план другого порядку для трьох факторів (рисунок). Центр експерименту. Необхідність обмеження фактора при пошуку оптимуму. Методи пошуку оптимуму.