2 Хвильове рівняння для концентрації

Функція q є складною функцією двох змінних: τ та с, тому її часткову похідну можна представити у вигляді:

та перетворити рівняння (3) матеріального балансу на:

, (6)

де c(z, τ) - концентрація іонів В у розчині на момент часу τ на відстані z від входу в колонку.

Перетворимо дане рівняння у більш зручний вигляд. Для цього спочатку винесемо спільний множник за дужки:

.

Перенесемо вираз у праву частину рівняння:

.

Враховуючи те, що швидкість w постійна величина, приходимо до хвильової форми запису рівняння збереження (матеріального балансу):

(7)

Позначимо множник перед як:

(8)

Параметр являє собою хвильову швидкість, тобто є швидкістю пересування шаром іоніту розчину з заданою концентрацією іона та називається швидкістю пересування концентраційних точок фронту. З врахуванням виразу (8) рівняння (7) перетворюється на:

. (9)

3 Рівняння збереження в безрозмірній формі [1]

Незалежна змінна - координата - в безрозмірній і відносній формі вводяться наступним чином: Z=z/L; а незалежна змінна – час - в безрозмірній формі t= τ w/L.

Відносна концентрація домішок в розчині, залежна змінна: C=c(z,τ)/c_{0 ,} де с₀ – сумарний вміст іонів А и В в розчині: с₀=с_A+с_B. Відносна концентрація домішок в іоніті: Q=q(c)/q₀ , де q₀ – сумарний вміст іонів А и В в іоніті: q₀=q_A+q_B – повна обмінна ємність іоніту.

При цьому Z, Q і С змінюються від 0 до 1.

Безрозмірна хвильова швидкість Vwave визначається як:

.

Помножимо чисельник та знаменник на :.

Враховуючи вираз , остаточно отримуємо:

(10)

де - розподілювальне співвідношення.

Тоді рівняння матеріального балансу (9) в безрозмірній формі запишеться наступним чином:

(11)

4 Рівняння ізотерми іонного обміну

Ізотерма іонного обміну зазвичай дає залежність активності іона (див. рівняння (1) – випадок рівнозарядних іонів) в іоніті від його активності в розчині в рівноважних умовах при заданій температурі. Класична форма ізотерми рівняння (5) за мономолекулярної адсорбції задається рівнянням Ленгмюра (а – коефіцієнт адсорбції):

(12)

Тут і далі для спрощення активності іонів замінюються на їх концентрації. Формула (12) свідчить про те, що рівноважне значення q зменшується зі зменшенням концентрації розчину с на вході в фільтр. За великих значень концентрації с (а∙с >>1) рівноважне значення q наближається до q₀ – значенню повної обмінної ємності.

У безрозмірній формі рівняння статики іонного обміну базується на більш точному рівнянні обмінної адсорбції (див. роботу Д1) і має вигляд:

, (13)

де k – константа рівноваги – залежить від температури і визначає форму ізотерми іонного обміну (адсорбції).

За значень k >> 1 ізотерма адсорбції буде опуклою в координатах Q - C, отже іоніт переважно поглинає іони з розчину і рівняння (13) перетворюється на рівняння Ленгмюра (12).

При k << 1 – крива ізотерми адсорбції увігнута. У цьому випадку k характеризує процес витиснення іонів з іоніту.

Рівність k = 1 призводить до лінійної ізотерми Q = C. Це свідчить про те, що гіпотетичний іоніт не має жодної вибірковості до іонів А у порівнянні з іонами В.