5 Рішення хвильового рівняння методом характеристик [1]

Рівняння (6), до якого зводиться математична модель іонітного фільтра, являє собою квазілінійне однорідне рівняння в частинних похідних гіперболічного типу. При рішенні його з допомогою метода характеристик задача інтегрування цього рівняння рівносильна задачі інтегрування наступного характеристичного рівняння: dτ=dz/V_w *.

Деякі пояснення: рівняння (6) запишемо як З урахуванням рівняння (8) отримаємоПісля ділення обох частин рівняння на постійнуw отримаємо Останнє рівняння запишемо як характеристичне рівняння *.

Інтеграл рівняння* U = z – V_w∙τ являється рішенням рівняння (6).

При τ=0 характеристичний інтеграл стає рівним: u=z. За умовою задачі с є функція z и τ і при τ=0 с=f(z), відповідно, при τ=0 с=f(u). Рішення задачі, де функціональна залежність z від концентрації представлена в явному виді являється рівняння: _.

При τ=0 функція дає початковий розподіл іона В шаром іоніту. З фізичної точки зору останнє рівняння є рівнянням руху концентраційних точок фронту. Воно дозволяє розрахувати розподіл іона, що поглинається, вздовж шару іоніту z для різних моментів часу.

Підстановкою рівняння (13) в формулу (10) отримаємо формулу розрахунку безрозмірної хвильової швидкості як функцію концентрації іона в розчині і значення константи k:

(14)

Безрозмірна хвильова швидкість Vwave є не тільки функцією концентрації згідно рівняння (14), але змінюється також у часі τ та за висотою фільтра z тому, що концентрація с, в свою чергу, залежить від τ і z згідно рівняння (9).

Похідна dQ/dC за рівнянням (13) підставляється в рівняння (14) і отримане рівняння (15) використовується при створенні програми розрахунків для вирішення хвильового рівняння методом характеристик, реалізація якого надана в розділі 2:

, (15)

де безрозмірна висота шару фільтра z змінюється від 0 до 1.

Відмітимо, що розрахунок V_wave за рівняннями (14) і (15) дає однаковий результат для однакових k при умові рівності заданої концентрації С в рівнянні (14) і концентрації С(Z), що відповідає певній координаті Z в рівнянні (15). В розділі 2 формулою задається початковий розподіл концентрацій вздовж фільтра, при z =0 C=C₀=1, при z =1 С≈0.

Враховуючи те, що надалі використовуються безрозмірні відносні концентрації С, координата Z і безрозмірний час t, в розрахунках буде використано безрозмірна V_wave замість Vw. При цьому рівнянням характеристики є: Z(t,Z)=Z+t∙Vwave(Z,k).

Мета роботи: аналіз динаміки іонного обміну – побудова динамічних характеристик процесу в середовищі MathCad – опис просторово-часового розподілу концентрації в фільтрі.

6 Розрахунок обміну однозарядних іонів[1]

Вихідні дані

Порозність іоніту: p:=0.6.

Концентрація іону В у воді, г-екв/м³, с₀:=6.

Повна обмінна ємність іоніту (катіоніту), кг-екв/ м³, q₀:=2

Концентраційні константи рівноваги:

для опуклої ізотерми: ; для увігнутої ізотерми: . Концентрація домішок у воді:

Зауваження: замість символу безрозмірної концентрації "С" (в деяких версіях MathCad це не вдається застосувати) тут і далі використано "с".

Алгоритм розрахунку

Розподілювальне співвіднощення: є безрозмірним, тому необхідно привести с₀ і q₀ до формально однакової розмірності кг-екв/ м³:

с_о= с₀∙10^-3, після чого розрахувати Rat.

1. Розрахувати ізотерми адсорбції за рівнянням (13).

Для зручності багатоваріантних розрахунків у середовищі MathCAD є доцільним використання запису формули розрахунку у вигляді функції змінних:

У дужках вказуються змінні, замість яких можна підставити будь-яку визначену до того величину (величина може задаватися або у вигляді конкретного значення, або у вигляді матриці – у такому випадку значення функції також буде матрицею). Отже у випадку виклику функції у вигляді Q(c,k1) замість деякої змінної k у розрахунках значення функції Q буде підставлятися раніше задане значення k1 =2.

Варто зауважити, що, оскільки концентрація домішок задана як деякий ряд числових значень, то він не є матрицею і тому не має конкретного значення. У цьому випадку, для будь-яких розрахунків, які включають застосування концентрації необхідно проводити запис у вигляді функції від концентрації. Отримані значення функції також будуть числовим рядом, а не матрицею.

2. Розрахувати значення хвильової швидкості за рівнянням (14).

3. Побудувати двовимірні графічні залежності Q(c,k1)=f(c), Q(c,k2)=f(c) та Vwave(c,k1)=f(c), Vwave(c,k2)=f(c). Мають бути отримані рисунки аналогічні нижченаведеним.

.

Рисунок 2 – Опукла та увігнута ізотерми адсорбції

Рисунок 3 – Безрозмірна хвильова швидкість в залежності від концентрації іона, що видаляться з розчину.

4. Розв’язати хвильове рівняння методом характеристик, використовуючи рівняння (15).