2. Основы цифровой электроники

В настоящее время цифровой способ обработки информации преобладает над аналоговым. Основными преимуществами цифровых систем обработки информации являются:

1. меньшее потребление тока;

2. большая помехоустойчивость;

3. меньшая зависимость от температуры окружающей среды;

4. относительная простота технической реализации;

5. наличие эффективных способов обработки информации, представленной в цифровом виде.

В основе большинства современных цифровых схем лежит двоичная система счисления, в которой квантование сигнала осуществляется на 2 логических уровня: уровень логического нуля и уровень логической единицы. Как правило, логическому нулю соответствует 0В, а логической единице - 5В.

Система счисления - это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений чисел. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные (двоичная, десятичная, шестнадцатеричная) и непозиционные (римские цифры). Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.

2.1. Числа, используемые в цифровой электронике. Двоичная система счисления

2.1.1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно

Вспомним перевод чисел из двоичной системы в десятичную и обратно в десятичной системе счисления число

8542=8·10³+5·10²+4·10¹+2·10⁰.

Как видим основанием степени в десятичной системе счисления является число 10, аналогично в Двоичной системе число 2 является основанием степени: 101010=1·2⁵+0·2⁴+1·2³+0·2²+1·2¹+0·2⁰=32+0+8+0+2+0=42.

Обратный перевод осуществляется последовательным делением на 2 и записью остатков от деления в обратном порядке Обратный перевод числа 42 из десятичной системы счисления в двоичную поясняет рис.1.

Рисунок 2.1 - Перевод числа 42 из десятичной системы в двоичную (стрелкой показано направление записи результата)

2.1.2. Двоичная арифметика

Рассмотрим операции сложения, вычитания и умножения двоичных цифр (одноразрядных двоичных чисел):

сложение: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 + перенос.

вычитание: 0-0=0 1-0=1 0-1=1 +заем 1-1=0

умножение: 0·0=0 1·0=0 0·1=0 1·1=1

На основании приведенных выше примеров рассмотрим операции сложения вычитания и умножения для многоразрядных двоичных чисел

Пример на сложение:

Рисунок 2.2 - Сложение

В десятичной системе этому примеру соответствует 170+60=230. Стрелочками показаны соответствующие переносы.

Пример на вычитание:

Рисунок 2.3 - Вычитание

В десятичной системе этому примеру соответствует 134-60=74. Стрелочками показаны заёмы в старших разрядах.

Пример на умножение:

Рисунок 2.4 - Умножение

В десятичной системе этому примеру соответствует 11·5=55.

2.1.3. Представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления

Положительные числа нами были рассмотрены ранее. Рассмотрим способы представления отрицательных чисел в двоичном коде. Существует несколько способов такого представления. Мы рассмотрим три:

1. прямой код (в этом случае в двоичном числе выделяется бит-знака - старший бит). Рассмотрим однобайтное (8 бит) двоичное число со знаком.

Старший бит младший бит

бит-знак мантисса

Рисунок 2.5 - Представление однобайтных чисел со знаком

Если бит-знак равен 0, то число считается положительным, а если бит-знак равен 1 = отрицательным.

Например, 12₁₀=00001100₂

-12₁₀=10001100₂

Недостатком прямого кода является невозможность выполнения арифметических операций.

Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0

00001100

+10001100

10011000 (-24)

Как видим в результате сложения получились число -24, что не равно 0.

2. смещенный код (аналогично прямому коду двоичное число, в смещенном число разделяется на бит-знак и мантиссу, причем, если бит-знак равен 0, то это число отрицательное, а если бит-знак равен 1 - положительное).

Числа здесь представляются так:

Таблица 2.1

Число в смещенном коде	Двоичный код	Число без знака
127	11111111	255
……….	………	..…….
2	10000010	130
1	10000001	129
0	10000000	128
-1	01111111	127
……….	……….	………
-127	00000001	1
-128	00000000	0

Достоинством данной системы является то, что в ней выполняются арифметические операции, правда с учетом коррекции результата. А недостатком является то, что 0 соответствует числу 128.

Рассмотрим сложение: 12+(-12)=0

10001100

+01110100

100000000 (0)

Как видим, в результате операции получилось число 256. Ограничив предел рассмотрения одним байтом, получим 00000000, к этому результату надо прибавить смещение 128.

Рассмотрим сложение: 12+(-13)=0

10001100

+01110011

11111111 (-1)

Как видим, и в данном случае к результату необходимо прибавить 128 и ограничить рассмотрение одним байтом.

3. дополнительный код (это наиболее широко используемый код для представления отрицательных чисел). В нем в числе также выделяется бит-знак в старшем разряде. В дополнительном коде ноль в старшем разряде соответствует положительным числам, а единица - отрицательным числам, но при этом положительные числа представляются как обычно, а отрицательные - в виде записи дополнительного кода.

Рассмотрим порядок перевода числа -9 из десятичной системы в дополнительный код:

1. запишем число без знака: 9;

2. преобразуем число в двоичный код: 00001001;

3. получим обратный код: 11110110;

4. прибавим 00000001 и получим: 11110111.

Если результат операции представлен в дополнительном коде, то для перевода его в десятичный вид используем нижеследующую процедуру

1. запишем дополнительный код: 11110111;

2. получим обратный код: 00001000;

3. прибавим 00000001: 00001001;

4. преобразуем число в десятичный код: -9

Знак минус мы добавили, так как знаем, что наше исходное число в дополнительном коде отрицательное (старший бит равен 1)

Рассмотрим таблицу соответствия чисел представленных в дополнительном коде.

Таблица 2.2

Число со знаком	Двоичный код	Число без знака
+127	01111111	127
……………………….	…………………………	…………………………
+2	00000010	2
+1	00000001	1
+0	00000000	0
-1	11111111	255
-2	11111110	254
-3	11111101	253
……………………….	…………………………	…………………………
-128	10000000	128

В дополнительном коде сохраняются все правила выполнения арифметических операций.