Правила визначення похибок

Обчислювана величина	Абсолютна похибка,	Відносна похибка,
u = x  y
u = x y
u = xn

Як видно з таблиці, у ряді випадків при розрахунках зручніше спочатку обчислювати відносну похибку, а потім абсолютну, користуючись співвідношенням:

.

Для знаходження похибок у випадках, які не представ­ле­ні у таблиці, спочатку знаходять повний диференціал функції, а потім, скориставшись наближеною рівністю, знаходять абсолютну похибку. Знаки в доданках при цьому вибирають таким чином, щоб похибка була максимальною.

1.2.4. Практичне заняття

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції: .

Розв’язок. Розглядаючиyяк постійну величину, знай­де­мо частинну похідну функціїz(x, y) за змінноюx

.

Аналогічно знайдемо частинну похідну за змінною y,при цьому зміннуx вважатимемо константою

.

Приклад 2.При лікуванні деякого захворювання одночасно використовують два препарати. Реакціяu(пода­на у відповідних одиницях деякого фізіологічного парамет­ра) наxодиниць першого препарату таy одиниць другого має залежність:

.

Яка кількість другого препарату y викликає максималь­ну реакцію при фіксованій дозі першого?

Розв’язок. Знайдемо частинну похідну

.

Прирівнявши її до нуля, знайдемо критичні точки: , y = 0, x = a, y = . Змісту даної задачі відповідає лишеy = . Легко переконатись, що при вказаному зна­чен­ніуфункція має максимум, оскільки при переході через цю точку в напрямку зростанняузнак похідної змінюється з “+”на “–“.

Приклад 3.Знайти повний диференціал функції трьох незалеж­них змінних

.

Розв’язок.Вважаючи сталимиyіz, знаходимо частинну похідну функції за зміннимиx, yіz:

;;.

Повний диференціал функції знаходимо, користуючись форму­лою (1.12). В результаті маємо

d

Мал. 1.9.

u .

Приклад 4.Знайти гра­дієнт функціїу точ­ціА(1; 1).

Розв’язок.Знайдемо час­тин­ні похідні за зміннимихтаyі обчислимо їх значення у точціА(1; 1):

,; ,.

Таким чином, згідно з (1.13), причому градієнт має своїм початком точкуА(1; 1) (мал. 1.9).

Приклад 5.Знайти формулу для відносної похибки при обчис­лен­ні об’єму конуса, якщо вимірюються його лінійні розміри.

Розв’язок.Об’єм конусаV = (1/3)R²H. Абсолютна по­хиб­каΔVможе бути замінена повним диференціалом:

ΔV  dV = (1/3) (2RHdR + R²dH).

Враховуючи, що _VdV/V, знайдемо відносну похибку:

.

1.2.5. Завдання для самостійної роботи

1. Реакція на ін’єкцію лікарського препарату масою m (мг) опису­єть­ся функці­єю

,

де t –час, поданий у годинах;y – деякий фізіологічний параметр;a = const. Знайти частинні похідні. Через який проміжок часу після ін’єкції реакція буде максимальною при заданій дозі препарату?

Знайти частинні похідні функцій:

2.	10. u = (xy)z
3.	11. u = zxy
4.	12.
5.	13. u = ln(x2y)
6.	14. u = ex ln y
7.	15. z = y ln x
8.	16. u = x tg y
9.	17. u =

Знайти повні диференціали функцій:

18.	19.
20. z = x2y3	21.
22.	23.
24. z = sin2y + cos2x	25. z = yxy
26. z = arcsin	27.
28.	29. u = z x y
30. z = ln(x2+y2)	31. u = arctg
32. z = lncos3(x2y3) z = x3 + y3 – 3xy

Знайти градієнти функцій:

33. gradz в точці (5; 3), якщо .

21. gradz в точці (1; 1), якщо .

22. Показати, що відносна похибка в 1% при визначенні довжини радіуса дає відносну похибку приблизно в 2% при обчисленні площі кола і поверхні кулі.

23. Знайти вираз для відносної похибки величини , якщоx i y знахо­дять­ся безпосередньо.