1.4.6. Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь:

1. y' = 2y2	13. x(1 – y2)dx + y(1 + x2)dy = 0
2. y' = 6x5 + 1	14. y'ln y = 5xy
3. xyy' = 0.5	15.
4. xyy' = 1 – x2	16. y' tg x = y
5. xy' = 2y	17. xyy' = 1 – x
6. (x + a)dx = xdy	18. eyy' = 4x3
7. y' = – x	19.
8. y' = – x/y	20.
9. y' = – y/(1 + x)	21.
10.	22.
11. y' tg x = y	23.
12. y' = – y/x	24.

Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь:

25. (1 + e^x) yy' = e^x, якщоy =1 при x =0.

21. y' tg x = y ln y, якщо y = e при x =/4.

22. sin xdx = – dy, якщо y = e при x = 0.

23. (x + 1)dy = y dx, якщо y = 8 при x = 1.

24. y dy – x dx = dx, якщо y = 0 при x = 2.

25. Швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла і довколишнього середовища. До якої температури охолод­жується тіло за 30 хвилин, якщо за 10 хвилин воно охолодилось від 100 до 60^оС? Температура довколишнього середовища не­змін­на.

26. Знайти закон зменшення маси лікувального препарату в орга­нізмі людини, якщо через 1 годину після введення 10 мг пре­парату його маса зменшиться вдвічі. Вважати, що швидкість роз­чинення прямо пропорційна до часу.

27. У логістичній моделі розмноження вважають, що число народ­же­них за одиницю часу (швидкість зростання) пропорційне чи­сель­ності популяції. Число померлих (швидкість зменшення) визначається формулою, що має два доданки, один з яких про­пор­­ційний чисельності популяції, а другий – квадрату чисель­ності. Отримайте диференціальне рівняння логістичної моделі розмноження. Розв’яжіть його.

28. В однокамерній лінійній фармакокінетичній моделі вважається, що зменшення маси рівномірно розподіленого лікарського пре­па­рату прямо пропорційне масі цього препарату. Коефіцієнт пропорційності k називають константою елімінації. Записати ди­ферен­ціальне рівняння однокамерної фармакокінетичної моделі і знайти його розв’язок.

29. Кінетика хімічних реакцій першого порядку описується рівнян­ням

dx/dt = k (a – x),

де k– константа реакції. Одержати розв’язок за умови: а = 10, k = 0.2.

21. Тіло рухається з прискоренням а і початковою швидкістю υ₀. Отримайте закон руху цього тіла і знайдіть шлях, пройдений за перші 10 хв руху.

22. Розвиток епідемії описується рівнянням dN/dt = – сN(a + b – N), де N(t) –кількість хворих в момент часу t; с, а, b – константи. Показати, що частинним розв’язком цього рівняння є функція .

Знайти загальні розв’язки рівнянь:

37. y'' – 5y' + 6y = 0	45. y'' + 4y' + 13y = 0
38. y'' – y = 0	46. y'' + 2y' + y = 0
39. y'' – y' = 0	47. y'' – 4y' + 2y = 0
40. y'' + y = 0	48. y'' – hy' = 0 (h  0)
41. y'' – 2y' + 2y = 0	49. (y' – y)/y'' = 3
42. y'' + 49y = 0	50. y'' + 2y = 0
43. y'' – 4y + 10 = 0	51. y'' + 2y' + 5 = 0
44. y'' + 3	52. y'' – 4y' + 4y = 0