1.5.12. Завдання для самостійної роботи

1. В ящику знаходиться 10 кульок: 3 білих та 7 чорних. З нього на­вздо­гад витягають одну кульку. Яка ймовірність того, що ця кулька буде білою? чорною?

21. В умові задачі 1 витягають чорну кульку і не повертають в ящик. Яка ймовірність витягнути після цього чорну кульку? Білу?

22. В умові задачі 1 дістали білу кульку і не повернули в ящик. Яка ймовірність дістати після цього чорну кульку? Білу?

23. В ящику знаходиться 10 кульок: 2 білих, 4 чорних, 1 червона та 3 сині. Знайдіть імовірність появи білої, або чорної, або червоної кульки при одноразовій операції витягування кульки з ящика. Вка­жіть різні способи розв’язання. Використовуйте поняття “про­тилежні події”.

24. Яка ймовірність того, що в сім`ї із двома дітьми будуть діти різної статі? Ймовірність народження хлопчика 0.52, стать на­ступної дитини не залежить від статі попередньої.

25. Яка ймовірність того, що в сім’ї з чотирма дітьми будуть діти різної статі?

26. Деяке захворювання вдається вилікувати у 96%, причому у 85% не спостерігається рецидив. Яка ймовірність того, що у хворого, взятого навмання з даним діагнозом, не буде рецидивів?

27. Знайти ймовірність сумісної появи герба при одному киданні двох монет?

28. У 97% пацієнтів при прийомі певного лікарського препарату спостерігається зниження кров’яного тиску, при цьому у 0.2% пацієнтів виникають алергічні реакції. Записати повну групу по­дій, які можуть спостерігатись при прийомі даного препарату. Яка ймовірність алергії за відсутності бажаних наслідків (зни­ження кров’яного тиску)?

29. На кожні 10 000 білетів лотереї розігрується 150 речових і 350 грошових виграшів. Яка ймовірність виграшу, байдуже речового чи грошового, у власника одного лотерейного білета?

30. При лікуванні деякого захворювання використовуються 3 лікар­сь­ких препарати, кожен із яких дає алергічні реакції у 0.1% випадків. Яка ймовірність, що у хворого, вибраного довільним чином, не буде алергії при прийомі трьох препаратів одночасно?

31. У деяку лікарню поступають пацієнти з чотирма видами хвороб. Багаторічні спостереження показують, що цим групам захво­рювань відповідають ймовірності: 0.1, 0.4, 0.3 та 0.2. Для ліку­вання захворювань, які мають ймовірності 0.1 та 0.2, необхідне переливання крові. Яку кількість хворих слід забезпечити кро­в’ю, якщо протягом місяця поступило 1000 хворих?

32. У сім’ї двоє дітей. Враховуючи, що ймовірність народження хлопчика 0.52, визначити ймовірність того, що в сім’ї:

а) двоє хлопчиків; б) хоча б одна дівчинка; в) старша дитина – дівчинка, а менша – хлопчик; г) один хлопчик.

21. Яка ймовірність того, що при сполученні цифр 1, 2 та 3 одер­жимо число 123? Не вийде число 123?

22. В ящику 8 кульок: 3 білих і 5 чорних. Знайдіть ймовірність того, що послідовно одна за одною буде витягнуто дві чорні кульки? Дві білі кульки?

23. Ймовірність влучення стрільцем у десятку дорівнює 0.3, а в дев’ятку – 0.7. Визначити ймовірність того, що цей стрілець при трьох пострілах набере не менше 29 очок.

24. Медична сестра обслуговує в палаті чотирьох хворих. Ймовір­ність того, що протягом години перший хворий зажадає уваги сестри – 0.2, другий – 0.3, третій – 0.25, четвертий – 0.1. Знайти ймовірність того, що протягом години всі чотири хворих зажада­ють уваги.

25. В ящику знаходиться 7 чорних і декілька білих кульок. Яка ймовір­ність витягнути білу кульку, якщо ймовірність дістати чорну кульку дорівнює 1/6? Скільки білих кульок в ящику?

26. Під час епідемії в одному з населених пунктів 60% мешканців виявились хворими. З кожних 100 хворих 10 потребують термінової медичної допомоги. Знайти ймовірність того, що будь-якому навмання взятому мешканцю необхідна термінова медична допомога.

27. Ймовірність попадання стріли у мішень р = 0.9. Знайти ймовір­ність трьох попадань при трьох пострілах.

28. Ймовірність попадання у мішень р = 0.8. Яка ймовірність, що при трьох пострілах не буде жодного попадання?

29. Ймовірність того, що стрілець при одному пострілі виб’є 10 очок дорівнює 0.1; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0.3. Яка ймовірність того, що при одному пострілі стрілець виб’є не менше 9 очок?

30. Першу групу крові має 37% європейців. Скільки донорів потрібно, щоб з ймовірністю не меншою, ніж 0.9 отримати кров даної групи?

31. Для провізорської практики на 30 студентів виділено 15 місць у Києві, 8 – у Львові, 7 – у Харкові. Яка ймовірність того, що два довільним чином вибрані студенти попадуть на практику в одне місто?

32. Серед 18 пацієнтів у двох від’ємний резус-фактор. Знайти ймовірність того, що серед двох довільним чином вибраних виявиться від’ємний резус-фак­тор.

33. Студент вивчив 70% екзаменаційних питань. Яка ймовірність отримати позитивну оцінку? У білеті 3 питання, оцінка пози­тивна, якщо відсоток правильних відповідей перевищує 60%.

34. У відділенні 30% хворим, крім основних ліків, призначили фізіотерапевтичні процедури. Ймовірність одужання в 10-денний строк хворих цієї групи – 0.95, інші хворі одужують у цей термін з ймовірністю р = 0.70. Деякий пацієнт одужав у 10-денний термін. Яка ймовірність, що він проходив курс фізіотера­пев­тичних процедур?

35. У діагностичний центр у рівних кількостях потрапляють пацієнти з трьох консультативних пунктів. Ймовірність, що діагноз буде підтверджено для пацієнтів з направленням першого пункту 0.8, з другого – 0.5; третього – 0.4. В одного пацієнта діагноз підтвердився. Яка ймовірність, що він був направлений першим пунктом?

36. Хворому потрібне переливання крові. Ймовірність, що кров виявиться придатною, дорівнює 0.2. Яка ймовірність, що з 10 донорів хоча б у одного група крові буде придатною?

37. В аптеці є два лікарських препарати, які можуть бути викорис­тані при даному захворюванні. Ймовірність позитивного резуль­тату при вико­ристан­ні першого препарату – 0.8; другого – 0.9. Яка ймовірність того, що взятий навмання препарат дасть пози­тивний результат?

38. У сім`ї є 5 дітей. Яка ймовірність того, що двоє з них хлопчики? Вважати ймовірності народження хлопчика і дівчинки рівними 0.52 та 0.48, відповідно.

39. Ймовірність витрат понад норму деякого компоненту за добу дорівнює 0.1. Яка ймовірність, що за тиждень перевитрат не буде протягом чотирьох діб?

40. Кожен із стрільців зробив по одному пострілу. Ймовірність враження цілі першим р₁ = 0.8; другим р₂ = 0.3. Об`єкт вражений одним попаданням. Яка ймовірність того, що влучив перший стрілець?

41. Серед донорів, які здають кров, 8 чоловік мають першу групу крові, 5 чоловік – другу, 5 чоловік – третю, 3 чоловіки – четверту. Чому дорівнює ймовірність того, що серед двох донорів, які перші здали кров: а) обидва донори були з четвертою групою крові; б) хоч би один донор був з третьою групою крові?

42. Показати, що ймовірність отримати хоча б одну одиницю при киданні 4 гральних кубиків більша, ніж імовірність отримати хоча б одну пару одиниць при 24 киданнях двох кубиків.

43. Посилаючись на багаторічні спостереження, виклик лікаря у деякий будинок оцінюється ймовірністю 0.4. Знайдіть імовір­ність того, що з п’яти викликів лікаря два виклики будуть у даний будинок.

44. З десяти облігацій в середньому виграє одна. Яка ймовірність того, що з двадцяти облігацій виграє лише одна?

45. Хворому необхідно зробити переливання крові. Ймовірність того, що група крові виявиться придатною р(А) = 0.3. Знайти ймовірність того, що з п’яти донорів у двох група виявиться придатною.

46. Стрілець при одному пострілі влучає в ціль з ймовірністю 0.8. Визначити ймовірність 7 влучень у серії з 10 пострілів.

47. Вважаючи всі комбінації статі дітей рівноймовірними, знайти, яку частку серед сімей з шістьма дітьми становлять сім’ї з двома хлопчиками.

48. Лівші становлять у середньому 1% населення. Яка ймовірність, що в колективі з 200 чоловік буде 3 лівші?

49. Лікування певного захворювання приводить до повного одужання у 75%. Лікувалось 5 осіб. Яка ймовірність, що повніс­тю одужають четверо? Записати закон розподілу випад­кової величини Х, яка полягає в повному одужанні певної кількості m (m = 0, 1 , 2, 3, 4, 5) із вказаної групи пацієнтів.

50. Розв’язати задачу (приклад 8) при умові, що обстежується 70 чоловік, яких ділять на 10 груп по 7 осіб.

51. У грошовій лотереї випущено 100 білетів. Розігрується 1 виграш в 50 грн. і 10 виграшів в 1 грн. Знайти закон розподілу випадко­вого виграшу для власника одного лотерейного білета. Обчис­лити математичне сподівання одержаної випадкової величини.

52. Знайти розподіл випадкової величини, яка одержується при киданні правильного однорідного кубика з пронумерованими гранями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Перевірити, чи виконується умова нормування.

53. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини за умовою задачі 2.

54. Кидають два гральних кубики. Очки, які випадають, додаються. Записати закон розподілу випадкової величини X, яка дорівнює цій сумі. Знайти її математичне сподівання і середнє квадра­тич­не відхилення. Визначити ймовірність виграшу, якщо він випла­чується при X > 10. Яка ймовірність P (X > 5) чи P (7 < X < 8) більша?

55. Закон розподілу випадкової величини Х задано таблицею:

X	1	2	5
P	0.3	0.5	0.2

Знайти дисперсію та математичне сподівання.

21. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величи­ни, яка має щільність розподілу f (x) = asinx в інтервалі (0; ).

22. Закон розподілу випадкової величини Х задано таблицею:

X	2	4	6
P	0.7	0.2	0.1

Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхи­лен­ня.

21. Проводиться обстеження групи спортсменів із 30 чоловік. При вимірюванні обхвату грудної клітини встановлено, що у двох вона дорівнює 90 см, у чотирьох – 97 см, у трьох – 97 см, у шістьох – 98 см, у сімох – 101 см. Записати закон розподілу для величини обхвату грудної клітини. Знайти математичне споді­ван­ня М(X) та середнє квадратичне відхилення .

22. Неперервна випадкова величина X визначається густиною ймовірності f(x). Знайти М(X), D(X), якщо

21. Дискретна випадкова величина має п’ять можливих значень. Чотири з них дорівнюють –2; –1; 1; 2, а відповідні їм ймовірності 0.1; 0.3; 0.2; 0.2. Знайти закон розподілу та дисперсію, якщо М(X) = 0.7.

22. Ймовірність попадання при пострілі р = 0.8. Стрільба ведеться до першого попадання. Число витрачених снарядів випадкова величина Х. Скласти таблицю її розподілу, якщо в розпоряд­женні 3 снаряди.

23. Випадкова величина має щільність розподілу:

Знайти коефіцієнт а. Побудувати графік щільності розподілу.

21. Зріст дорослої жінки є випадковою величиною, що має нормаль­ний закон розподілу з параметрами: а = 164 см, σ = 5.5 см. Знай­ти функцію щільності розподілу. Яка ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (160 см – 170 см).

22. Випадкова величина Х описується нормальним законом розпо­ділу з параметрами а = 6 і σ = 2. Знайти ймовірність того, що Х прийме значення з інтервалу (4; 8).

23. Обчислити коефіцієнт кореляції між випадковими величинами X і Y:

    X	3.1	1.5	3.7	2.8
    Y	1.7	1.2	3.0	2.5

24. Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з а = 0.5 і σ² = 1/8. Знайти ймовірність того, що значення випадкової величини Х попаде в інтервал (0.4; 0.6).