1.4.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Звичайне диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:

F (x, y, y', y'') = 0.

Загальний вигляд неоднорідного диференціального рів­нян­­ня другого порядку:

y'' + py' + qy = f (x),

де f (x)– доданок, вільний від невідомої функції. Якщо , то

y'' + py' + qy = 0

– однорідне диференціальне рівняння другого порядку.

Будемо шукати розв’язок однорідного диференціально­го рівнянняy'' + py' + qy = 0у вигляді, де–деяка константа. Отримаємо першу та другу похідні:;.

Підставивши y, y', y'' в рівняння, отримаємо

або.

Ми отримали характеристичне рівняння для даного однорід­но­го. Це характеристичне рівняння є квадратним і має корені:

.

Залежно від знака дискримінанта можливі три варіанти:

1) >0.В цьому випадку обидва корені різні й існує два лінійно незалежні розв’язки:y₁=iy₂ =. Загальний розв’язок (загальний інтеграл) має вигляд:

,

де C₁iC₂– постійні коефіцієнти.

2) = 0.Утакому випадку₁=₂=– кратний корінь. Частинні розв’язкизгідно з (1.16) вибираються у вигляді:y₁=таy₂ = x.Загальний розв’язок:

.

3) Останній із випадків є найбільш складний і найбільш цікавий водночас. При < 0 коренями є комплексні спряжені числа

,

де – уявна одиниця,= ­–– дійсна частина,i = – уявна частина комплексного числа. Частинні роз­в’язки диференці­аль­но­го рівняння мають вигляд:

,

.

Ми скористались формулою Ейлера

.

Складемо дві незалежні лінійні комбінації цих розв’яз­ків таким чином:

,.

Загальний розв’язок можна подати у вигляді:

.

Записавши константи іяк , ма­ти­мемо:

.

Отриманий розв’язок являє собою рівняння, котре описує коливальний процес, причому амплітуда коливань зростає при > 0, залишається постійною при = 0і зменшується при < 0. В механічних коливаннях роль аргументуx відіграє час t, а функції y – зміщення тіла від положення рівноваги.

Таким чином, задача розв’язання однорідного дифе­рен­ціаль­ного рівняння зводиться до розв’язання відповідного алгебраїчного характерис­тичн­ого рівняння. Залежно від знака дискримінанта характерис­тич­ного рів­нян­ня, загаль­ний розв’язок набуває одного із трьох поданих вище видів.

1.4.5.Практичне заняття

Приклад 1. Отримати диференціальні рівняння, які опи­су­ють зміну маси (концентрації) лікарського препарату при: а) внутріш­ньо­м’язoвому та пероральному введенні; б) при вливанні за допомогою крапельниці.

а) При внутрішньом’язoвому та пероральному введенні рівняння (1.20) набуває вигляду

. (1.21)

Другий доданок у правій частині характеризує поступове надходження препарату з деякого депо (частина м’язoвої тканини, таблетка):

. (1.22)

Процес зменшення маси препарату в депо на прикладі розчинення таблетки більш детально описано в параграфі 1.1.9 (при­клад 9). Підставивши (1.22) в (1.21),отримаємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку, яке описує процеси зміни маси лікарського препа­ра­ту в однокамерній фармако­кіне­тич­ній моделі зі всмокту­ван­ням

, (1.23)

де M₀–початкова маса препарату в депо, k– константа елімінації,r– деяка постійна величина, яка характеризує швидкість всмоктуван­ня.

б) Внутрішньовенне вливання за допомогою крапель­ниці дозволяє вводити лікарський препарат зі ста­лою швидкістюQ. Швидкість виведення, як і в попередніх випадках, прямо пропор­цій­на масі препарату в крові. Диференціальне рівняння даної фармакокі­не­тичної моделі має вигляд:

.

Це неоднорідне лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

Приклад 2.Розв’язати рівнянняxyy' + 1 = y.

Розв’язок.Запишемо рівнянняувигляді

.

Помноживши обидві частини рівняння на dxі розділив­ши наx(y –1), дістанемо

.

Змінні відокремлено. Проінтегруємо обидві частини рів­нян­ня, яке найзручніше записати у вигляді:

.

Ми скористались тим, що yможна подати якy = (y – 1) + 1. Резуль­тат інтегрування:

y + ln|y–1| = ln|x| + C.

Остання рівність, яка встановлює залежність між змін­ни­миx та y, і є загальним розв’язком заданого диферен­ціаль­ного рівняння. Варто за­уважити, що, виконуючи ділен­ня на виразx(y–1),ми припускали, щоx  0 iy  1, і таким чином, могли втратити розв’язкиy = 0 і y = 1. Підставляючиy = 0 i y = 1у вихідне рівняння, переконуємось, щоy = 1є його розв’язком, a y = 0– нi.

Приклад 3. Система містить 100лводи, в якій розчи­не­но 10кг солі. У систему неперервно подається вода з об’єм­ною швидкістю. Скільки солі залишиться в системі через 1годину?

Розв’язок.Нехайm(t)– кількість солі в момент часуt;dm– зміна кількості солі за деякий достатньо малий промі­жок часуdt, протягом якого можна вважати концентрацію солінезмінною;Q – швидкість витікання розчину. Тоді зміна кількості солі за часdt є . Таким чином, ми отри­ма­ємо диференціальне рівняння

або .

Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

.

Скориставшись початковими умовами: m₀= 10 кгпри, знайдемоC= 10 кг. Оскільки , то

.

Підставивши t= 1 год, матимемоm= 10e^–3 0.5 кг.

Приклад 4. Знайти розв’язок рівняння гармонічних ко­ли­вань, деy = f (t).

Розв’язок.Характеристичне рівняння має вигляд

² +² = 0.

Рівняння має два комплексно спряжені корені: ₁ = i, ₂ = = – i. Отже, загальний розв’язок має вигляд

y = C₁cos t + C₂ sin t.

Дану функцію можна записати у вигляді

y = A sin( t + ₀),

де Ai₀– константи, які виражаються черезС₁ і С₂.

Приклад 5. Розв’язати диференціальне рівняння

y'' – 4y' + 3y = 0.

Розв’язок.Складаємо характеристичне рівняння

² – 4 + 3 = 0.Його корені

_{1, 2}= 2.

Таким чином, ₁= 3,₂= 1. Отже, розв’язок має вигляд

y = C₁e^3x + C₂e^x.

Приклад 6.Розв’язати рівнянняy'' – 6y' + 9y = 0.

Розв’язок.Характеристичне рівняння має вигляд:

² – 6 + 9 = 0.Його корені

₁ = ₂ = 3.

Розв’язок диференціального рівняння відповідно до (1.16) запишемо у вигляді

y = C₁e^3x + C₂xe^3x = e^3x (C₁ + xC₂).

Приклад 7.Розв’язати рівнянняy''–2y'+2y=0.

Розв’язок. Характеристичне рівняння² – 2 + 2 = 0має комп­лек­сні корені₁ = 1 – i, ₂ = 1+ i.Значить, загаль­ним розв’язком є