1.1.10. Завдання для самостійної роботи

Знайти похідні функцій:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.
33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.
57.	58.
59.	60.
61.	62.
63.	64.

Знайти похідні другого порядку від функцій:

67.	68.
69.	70.
71.	72.
73.	74.

Знайти диференціали функцій:

75.	76.
77.	78.
79.	80.
81.	82.
83.	84.
85.	86.
87.	88.
89.	90.

21. Рівняння руху точки вздовж осі ОХ має вигляд:

.

Знайти швидкість і прискорення в моменти часу t₀ = 0,t₁ = 1, t₂ = 10.

21. При якій концентрації кисню реакція окислення

2 NO + O₂ = 2 NO₂

відбувається з найбільшою швидкістю? Швидкість реакції визначається за формулою , деx– концентрація кисню в %,h– константа.

21. Психофізичний закон Вебера–Фехнера відображає залежність гучності L від інтенсивності звуку I: L = k lg. Побудувати гра­фік залежності L(I) та L'(I) .

Дослідити на екстремум функції:

94.	95.
96.	97.
98.	99.

2. Функції декількох змінних

1.2.1. Частинні похідні і диференціали функції декількох змінних

Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залеж­ності, що іс­нують у природі. У багатьох прикладних задачах доводиться ма­ти справу з функціями декількох зміннихy = f (x, t)абоu = f (x, y, z, t). Наприклад, чисельність популяції бактерій є функцією часу, температури і концентрації по­жив­них речовин. Зменшення кров’я­ного тиску залежить від кількості введеного лікарського препарату, маси тіла паці­єнта, часу тощо.

Для cпрощеннярозглядатимемо функцію двох незалеж­них зміннихz = f (x, t). Способи задання функції двох змінних, як і у випадку однієї змінної, можуть бути різними. Ми найчастіше будемо використовувати аналітичний спосіб задання. Областю визначення функції у цьому випадку вва­жа­ється множина всіх точок площини, для яких формула має зміст. Зафіксуємо t = t₀, тодіz– функція лише однієї змінноїx. Її прирістΔzдорівнює:

Δz = f (x₀ + Δx, t₀) – f (x₀, t₀).

Утворимо відношення та знайдемо границю цього відношення при

.

Ця величина називається частинною похідноювід функ­ціїz = f (x, t)за змінноюx у точці(x₀, t₀). Відповідно, частинна похідна по зміннійtу цій точці дорівнює:

.

Будемо вважати, що функція z = f (x, t)має частинну по­хід­нув околі деякої точкиМ. Якщо при цьому існує частинна похідна поtвід, то її називаютьзмішаною частинноюпохідноюв точціМ:

.

Справедливе співвідношення:

.

Якщо похідну беруть двічі по одній і тій же змінній, то її позначають:

.